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Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 1
Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2
1.1.1 - Os nu´meros reais
1.1.2 - Espac¸o R2
No curso de Matema´tica 1, foi estudado o Ca´lculo Diferencial e Integral baseado no conjunto dos nu´meros
reais, R. Neste curso de Matema´tica 2, faremos esse mesmo estudo com uma classe mais geral, que chamaremos
de espac¸o Rn. Este primeiro cap´ıtulo introduz o caso particular do espac¸o R2 e estabelece algumas operac¸o˜es
que podem ser definidas nele.
1.1.1 - Os nu´meros reais
O conjunto dos nu´meros reais, R, apresenta diversas caracter´ısticas que tornam poss´ıvel definir sobre ele
conceitos como o de limites, derivadas e integrais. Tal conjunto permite que nele sejam definidas operac¸o˜es de
soma e de produto com as seguintes propriedades.
Propriedades da soma: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos
S1) α+ β ∈ R (o conjunto R e´ fechado quanto a` soma);
S2) α+ β = β + α (comutativa);
S3) (α+ β) + γ = α+ (β + γ) (associativa);
S4) ∃ 0 ∈ R tal que α+ 0 = α (existeˆncia do elemento neutro);
S5) para qualquer α ∈ R, existe um −α ∈ R tal que (−α) + α = 0 (existeˆncia de elementos inversos).
Propriedades do produto: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos
P1) α · β ∈ R (o conjunto R e´ fechado quanto ao produto);
P2) α · β = β · α (comutativa);
P3) α · (β · γ) = (α · β) · γ (associativa);
P4) ∃ 1 ∈ R tal que 1 · α = α (existeˆncia do elemento neutro);
P5) para qualquer α ∈ R, α 6= 0, existe um 1
α
∈ R tal que 1
α
· α = 1 (existeˆncia de elementos inversos).
Propriedade mista: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos
M1) α · (β + γ) = α · β + α · γ (distributiva da soma com relac¸a˜o ao produto).
Ale´m dessas propriedades, que sa˜o comuns a conjuntos como o dos nu´meros racionais Q e dos nu´meros
complexos C, os nu´meros reais tambe´m apresentam a propriedade adicional de que os seus elementos sa˜o
ordenados, isto e´, que ha´ uma relac¸a˜o que determina qual elemento desse conjunto e´ maior que o outro. Essa
propriedade de ordenac¸a˜o tambe´m existe para os nu´meros racionais, mas na˜o para os complexos.
Uma outra propriedade, que diferencia os nu´meros reais dos racionais e´ que, para todo par de nu´meros
reais, existe sempre um nu´mero real entre eles. Isto deixa de ser verdade para os nu´meros racionais, que podem
ter entre dois de seus elementos um nu´mero irracional, que na˜o pertence a esse conjunto. E´ essa propriedade
que torna poss´ıvel definir limites (chegar o mais pro´ximo poss´ıvel de um nu´mero sem, no entanto, alcanc¸a´-lo)
e todo o Ca´lculo subsequente, sobre os nu´meros reais.
Observac¸a˜o: rigorosamente falando, o conjunto dos nu´meros reais e´ um corpo ordenado completo, melhor
definido na Leitura Complementar 1.1.1, que trata da definic¸a˜o mais formal desse conjunto.
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Geometricamente, podemos representar os nu´meros reais como sendo pontos sobre uma reta ordenada,
como na figura a seguir.
. . . . . .
-3 -2 -1 0 1 2 31/21/4-3/2 e
√
2 pi
1.1.2 - Espac¸o R2
O conjunto R2, que deve ser lido “erre dois”, e´ o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), onde x e y
sa˜o nu´meros reais, isto e´:
R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} .
Por pares ordenados entendemos conjuntos tais que (x, y) = (a, b) se, e somente se, x = a e y = b, isto e´, a
ordem em que os elmentos sa˜o escritos e´ importante. Isto contrasta com a notac¸a˜o {a, b} de um conjunto, que
e´ equivalente a {b, a}. Os pares ordenados (1, 2), (−1, 0), (1/4, π) sa˜o todos elementos do conjunto R2. Note
que (2, 1) 6= (1, 2) se ambos pertencem ao R2.
a) Representac¸a˜o geome´trica
Da mesma forma como nu´meros reais podem ser representa-
dos como pontos em um reta ordenada, os elementos do espac¸o
R2 podem ser rperesentados como pontos em um espac¸o euclid-
iano. Para isto, representamos um par ordenado (a, b) como o
ponto de ordenada a e abscissa b (figura ao lado).
E´ fa´cil notar da figura ao lado que o R2 na˜o e´ um conjunto
ordenado. Na˜o podemos, por exemplo, determinar se (1, 2) e´
maior ou menor que (1, 1). Na˜o podemos nem definir o conceito
de ordem nessas circunstaˆncias.
x
y
a
b b (a, b)
Exemplo 1: represente o par ordenado (3, 2)
no plano cartesiano.
Soluc¸a˜o:
x
y
0 1 2 3
1
2 b
Exemplo 2: represente o par ordenado
(−2, 1) no plano cartesiano.
Soluc¸a˜o:
x
y
0−2 −1
1b
Exemplo 3: represente o par ordenado
(3/2,−1) no plano cartesiano.
Soluc¸a˜o:
x
y
0 1 1, 5 2
−1 b
Exemplo 4: represente o par ordenado
(−2,−1) no plano cartesiano.
Soluc¸a˜o:
x
y
0−2 −1
−1
b
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b) Soma
Tambe´m podemos definir uma operac¸a˜o de soma para elementos do R2. Dados dois elementos (a1, a2) e
(b1, b2) de R
2, enta˜o a soma deles e´ definida como (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).
Exemplo 1: fac¸a a soma dos elementos (1, 2) e (3,−4) do R2.
Soluc¸a˜o: (1, 2) + (3,−4) = (1 + 3, 2− 4) = (4,−2).
Exemplo 2: fac¸a a soma dos elementos (−1, 3) e (1,−3) do R2.
Soluc¸a˜o: (−1, 3) + (1,−3) = (−1 + 1, 3− 3) = (0, 0).
A operac¸a˜o de soma apresenta as seguintes propriedades, dados os elementos (a1, a2), (b1, b2), (c1, c2) ∈ R2:
S1) (a1, a2) + (b1, b2) ∈ R2 (o conjunto R2 e´ fechado quanto a` soma);
S2) (a1, a2) + (b1, b2) = (b1, b2) + (a1, a2) (comutativa);
S3) [(a1, a2) + (b1, b2)] + (c1, c2) = (a1, a2) + [(b1, b2) + (c1, c2)] (associativa);
S4) ∃ (0, 0) ∈ R2 tal que (a1, a2) + (0, 0) = (a1, a2) (existeˆncia do elemento neutro).
c) Produto por um escalar
Na˜o podemos definir uma operac¸a˜o semelhante ao produto entre dois nu´meros reais para elementos do
R2. No entanto, podemo definir a operac¸a˜o produto por um escalar, que consiste em fazer o produto de um
elemento do R2 por um elemento de R. Dado um elemento (a1, a2) ∈ R2 e um elemento α ∈ R, definimos o
produto desse elemento pelo escalar α como α(a1, a2) = (αa1, αa2).
Exemplo 1: fac¸a o produto do elemento (1, 4) do R2 pelo escalar 3 ∈ R.
Soluc¸a˜o: 3(1, 4) = (3 · 1, 3 · 4) = (3, 12).
Exemplo 2: fac¸a o produto do elemento (−4, 12) do R2 pelo escalar 1/4 ∈ R.
Soluc¸a˜o:
1
4
(−4, 12) =
(
1
4
· (−4), 1
4
· 12
)
= (−1, 3).
O produto por um escalar apresenta as seguintes propriedades, dados dois elementos (a1, a2), (b1, b2) ∈ R2
e os elementos α, β ∈ R:
P1) α(a1, a2) ∈ R2 (o conjunto R2 e´ fechado quanto ao produto por um escalar);
P2) α [β(a1, a2)] = (αβ)(a1, a2) (associativa);
P3) para o elemento 1 ∈ R, 1(a1, a2) = (a1, a2) (existeˆncia do elemento neutro).
O produto por um escalar junto com a soma apresenta ainda as seguintes propriedades mistas, dados
elementos (a1, a2), (b1, b2) ∈ R2 e os elementos α, β ∈ R:
M1) α [(a1, a2) + (b1, b2)] = α(a1, a2)+α(b1, b2) (distributiva da soma com relac¸a˜o ao produto por um escalar);
M2) (α+ β)(a1, a2) = α(a1, a2) + β(a1, a2) (distributiva do produto por um escalar com relac¸a˜o a` soma).
Observac¸a˜o: conjuntos que teˆm as propriedades de soma e de produto por um escalar que acabamos de des-
crever sa˜o chamados espac¸os vetoriais e sa˜o geralmente estudados em cursos de A´lgebra Linear. A Leitura
Complementar 1.1.2 traz um pouco mais de detalhes sobre isto.
A soma e o produto por um escalar podem ser utlizadas simultaneamente, como no exemplo a seguir.
Exemplo 3: calcule 3(2,−1) + (−5)(−4, 2).
Soluc¸a˜o: 3(2,−1) + (−5)(−4, 2) = 3(2,−1)− 5(−4, 2) = (6,−3)− (−20, 10) = (26,−13).
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 4
d) Representac¸a˜o vetorial
Um outro conjunto de objetos que apresentam exatamente as mesmas propriedades da soma e produto por
um escalar va´lidas para o R2 e´ o conjunto dos vetores em um plano. Vetores podem ser vistos como segmentos
de retas orientados (pedac¸os de retas com um sentido determinado) que na˜o esta˜o presos a um determinadolugar do espac¸o (uma definic¸a˜o mais rigorosa e´ feita na Leitura Complementar 1.1.3). Podemos representar um
vetor no plano como uma seta partindo da origem (0, 0) e terminando em algum ponto (a, b), como na figura
a seguir.
x
y
a
b b
Note que ha´ uma correspondeˆncia imediata entre um ve-
tor que termina no ponto (a, b) com o pro´prio elemento de
(a, b) ∈ R2. Por isso, e´ comum representarmos elementos
do R2 como vetores no plano. Essa representac¸a˜o e´ par-
ticularmente u´til quando queremos mostrar a soma de dois
elementos de R2 ou o produto de um elemento do R2 por
um escalar geometricamente. Os pro´ximos dois exemplos
mostram como essas operac¸o˜es podem ser representadas em
termos de vetores em um plano cartesiano.
Exemplo 1: represente vetorialmente os pares ordenados (3, 3) e (4, 1) e a sua soma.
Soluc¸a˜o: os dois pares ordenados esta˜o representados vetorialmente no primeiro gra´fico a seguir e a sua soma, dada
por (3, 3) + (4, 1) = (7, 4), e´ representada no segundo gra´fico a seguir.
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3 (3, 3)
(4, 1)
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
(7, 4)
Exemplo 2: represente vetorialmente o par ordenado (3, 2) e o produto dele pelo escalar 2.
Soluc¸a˜o: o par ordenado (2, 1) e o seu produto pelo escalar 2, 2(3, 2) = (6, 4) esta˜o representados no gra´fico a
seguir.
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
(3, 2)
(6, 4)
Exemplo 3: represente vetorialmente o par ordenado (4, 1) e o produto dele pelo escalar −1.
Soluc¸a˜o: o par ordenado (4, 1) e o seu produto pelo escalar −1, −1(4, 1) = (−4,−1) esta˜o representados no gra´fico
a seguir.
x
y
0−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1 (4, 1)
(−4,−1)
Em termos vetoriais, a soma de dois pares ordenados (a1, a2) e (b1, b2) pode ser vista como o resultado da
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 5
chamada regra do paralelogramo dos vetores, que consiste em desenhar representac¸o˜es dos dois vetores com
suas origens no mesmo ponto e, a partir da´ı, desenhar um paralelogramo tomando como lados os dois vetores. A
soma dos dois vetores sera´ representada, enta˜o, pela diagonal desse paralelogramo. Os vetores no lado esquerdo
e abaixo recebem os nomes ~u, ~v e ~s, uma notac¸a˜o comum quando nos referimos a vetores.
Outra forma de executar graficamente a soma de vetores e´ colocando um em seguida do outro, como na
figura a` direita e abaixo. A resultante parte da origem do primeiro ate´ a extremidade do segundo.
~u
~v
~u
~v
~s
~u
~v
~s
Ja´ o produto por um escalar na˜o altera a direc¸a˜o de um vetor, mas somente modifica o seu comprimento e,
caso o produto seja por um nu´mero negativo, tambe´m o seu sentido (como mostrado no exemplo 3).
Observac¸a˜o: utilizando o produto por um escalar e a soma, podemos, inclusive, gerar todos os elementos do
R2 a partir de somente dois elementos desse conjunto, como, por exemplo, os elementos (1, 0) e (0, 1). Isto se
faz escrevendo (a1, a2) = a1(1, 0) + a2(0, 1). Os conjunto desses dois elementos que geram todos os outros e´
chamado de base do espac¸o R2 e e´ melhor estudado em cursos de A´lgebra Linear.
e) Aplicac¸a˜o
Uma aplicac¸a˜o de pares ordenados (elementos do R2) em Economia e´ a compilac¸a˜o de dados e a sua
representac¸a˜o em um plano cartesiano. O conjunto de pares ordenados a seguir mostra o ı´ndice Dow Jones, que
mede o desempenho da Bolsa de Valores de Nova Yorque, e o Ibovespa, que mede o desempenho da Bolsa de
Valores de Sa˜o Paulo, para o meˆs de setembro de 2008. O primeiro elemento de cada par ordenado corresponde
ao ı´ndice Dow Jones e o segundo elemento, ao ı´ndice Bovespa:
(11516, 54404), (11532, 53527), (11188, 51408), (11220, 51939), (11510, 50717), (11230, 48435),
(11268, 49633), (11433, 51270), (11421, 52392), (10917, 48416), (11059, 49228), (10609, 45908),
(11019, 48422), (11388, 53055), (11015, 51540), (10854, 49593), (10825, 49842), (11022, 51828),
(11143, 50782), (10365, 46028), (10850, 49541).
Colocados em um plano cartesiano, como mostrado a seguir (primeiro gra´fico a` esquerda), esses pares
ordenados revelam uma relac¸a˜o entre os dois ı´ndices, o que fica mais claro quando colocamos, um pro´ximo ao
outro, os gra´ficos dos dois ı´ndices com relac¸a˜o ao tempo, somente nos dias em que houve negociac¸o˜es (dois
u´ltimos gra´ficos, abaixo e a` direita).
Dow Jones
Ibovespa
10.200 10.400 10.600 10.800 11.000 11.200 11.400
45.000
47.000
49.000
51.000
53.000
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Dia
Dow Jones
2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30
10.200
10.800
11.400
Dia
Ibovespa
2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30
4.500
4.900
5.300
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Existem ainda meios mais complexos de se aplicar o espac¸o R2 a dados econoˆmicos ou financeiros. Algums
desses sera˜o vistos nos pro´ximos dois cap´ıtulos. A Leitura Complementar 1.1.4 mostra como descrever pontos
em um plano cartesiano em termos de coordenadas polares.
Resumo
• Espac¸o R2. O espac¸o R2 e´ o conjunto de pares ordenados (x, y) tais que x, y ∈ R (o conjunto dos
nu´meros reais), ou seja: R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}.
• Representac¸a˜o geome´trica. Um elemento do R2, ou seja, um par ordenado (a, b), pode ser
representado graficamente como o ponto de ordenada a e abscissa b em um sistema de coordenadas
cartesiano, como na figura abaixo.
x
y
a
b b (a, b)
• Soma. Dados dois elementos (a1, a2) e (b1, b2) de R2, enta˜o a soma deles e´ definida como
(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).
• Propriedades da soma. Dados os elementos (a1, a2), (b1, b2), (c1, c2) ∈ R2:
S1) (a1, a2) + (b1, b2) ∈ R2 (o conjunto R2 e´ fechado quanto a` soma);
S2) (a1, a2) + (b1, b2) = (b1, b2) + (a1, a2) (comutativa);
S3) [(a1, a2) + (b1, b2)] + (c1, c2) = (a1, a2) + [(b1, b2) + (c1, c2)] (associativa);
S4) ∃ (0, 0) ∈ R2 tal que (a1, a2) + (0, 0) = (a1, a2) (existeˆncia do elemento neutro).
• Produto por um escalar. Dado um elemento (a1, a2) ∈ R2 e um elemento α ∈ R, definimos o
produto desse elemento pelo escalar α como α(a1, a2) = (αa1, αa2).
• Propriedades do produto por um escalar. Dados dois elementos (a1, a2), (b1, b2) ∈ R2 e os
elementos α, β ∈ R:
P1) α(a1, a2) ∈ R2 (o conjunto R2 e´ fechado quanto ao produto por um escalar);
P2) α [β(a1, a2)] = (αβ)(a1, a2) (associativa);
P3) para o elemento 1 ∈ R, 1(a1, a2) = (a1, a2) (existeˆncia do elemento neutro).
• Propriedades mistas. Dados elementos (a1, a2), (b1, b2) ∈ R2 e os elementos α, β ∈ R:
M1) α [(a1, a2) + (b1, b2)] = α(a1, a2)+α(b1, b2) (distributiva da soma com relac¸a˜o ao produto por um
escalar);
M2) (α + β)(a1, a2) = α(a1, a2) + β(a1, a2) (distributiva do produto por um escalar com relac¸a˜o a`
soma).
• Representac¸a˜o vetorial. Um elemento (a, b) do R2 pode ser representado por meio de um vetor,
onde a representac¸a˜o do vetor e´ uma seta que parte da origem e que termina nas coordenadas do
elemento do R2.
x
y
a
b b
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Leitura Complementar 1.1.1 - Nu´meros reais
Como foi dito no texto principal, os nu´meros reais pertencem a` famı´lia dos corpos, mais particularmente,
ele e´ um corpo ordenado completo. Nesta leitura complementar, explicaremos o que isto significa, fornecendo
com isto uma visa˜o mais aprofundada da definic¸a˜o desse conjunto nume´rico.
a) Corpo
Um corpo e´ basicamente um conjunto cujos elementos se comportam aproximadamente como os nu´meros
reais. Para definir um corpo, precisamos de uma operac¸a˜o de soma e uma operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o, de modo
que um corpo e´ um conjunto munido dessas duas operac¸o˜es. Por isso, frequentemente designamos um corpo pelo
s´ımbolo (K,+, ·). No entanto, e´ comum designarmos um corpo simplesmentepor K. Por exemplo, podemos
designar o corpo dos reais como (R,+, ·), so´ que e´ mais frequente chama´-lo simplesmente R.
As operac¸o˜es de soma e produto sa˜o definidas de modo que, se a e b pertencem ao conjunto K, enta˜o a+ b
e a · b tambe´m teˆm que pertencer ao conjunto K. A definic¸a˜o completa e´ feita a seguir.
Definic¸a˜o 1 - Um conjunto K munido de operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o, {K,+, ·}, e´ um corpo
se tiver as seguintes propriedades.
Propriedades da soma: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos
S1) α+ β ∈ K (o conjunto K e´ fechado quanto a` soma);
S2) α+ β = β + α (comutativa);
S3) (α+ β) + γ = α+ (β + γ) (associativa);
S4) ∃ 0 ∈ K tal que α+ 0 = α (existeˆncia do elemento neutro);
S5) para qualquer α ∈ K, existe um −α ∈ K tal que (−α) + α = 0 (existeˆncia de elementos inversos).
Propriedades do produto: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos
P1) α · β ∈ K (o conjunto K e´ fechado quanto ao produto);
P2) α · β = β · α (comutativa);
P3) α · (β · γ) = (α · β) · γ (associativa);
P4) ∃ 1 ∈ K tal que 1 · α = α (existeˆncia do elemento neutro);
P5) para qualquer α ∈ K, α 6= 0, existe um 1
α
∈ K tal que 1
α
· α = 1 (existeˆncia de elementos inversos).
Propriedade mista: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos
M1) α · (β + γ) = α · β + α · γ (distributiva da soma com relac¸a˜o ao produto).
Como ilustrac¸a˜o, vamos tentar montar um corpo com o menor nu´mero de elementos poss´ıvel. Como um
corpo tem que ter os nu´meros 0 e 1, podemos comec¸ar considerando o conjunto {0, 1}, formado somente por
esses dois nu´meros. Este conjunto na˜o e´ um corpo, pois na˜o existe nele a inversa por adic¸a˜o (o nu´mero −1 na˜o
faz parte desse conjunto). Adicionando −1, temos {−1, 0, 1}, que tambe´m na˜o e´ um corpo, pois, por exemplo,
1 + 1 = 2, que na˜o faz parte do conjunto. Seguindo esse racioc´ınio, podemos ver que um corpo na˜o pode ser
definido para um nu´mero finito de elementos caso sejam utilizadas as operac¸o˜es usuais de soma e multiplicac¸a˜o
(no entanto, isto pode mudar caso alteremos essas duas operac¸o˜es).
Tambe´m de acordo com essa definic¸a˜o, o conjunto dos nu´meros naturais, N = {0, 1, 2, · · · }, munido da
soma e multiplicac¸a˜o usuais, na˜o e´ um corpo, pois na˜o possui as propriedades S5 e P5. O nu´mero 2, por
exemplo, pertence aos naturais, mas sua inversa quanto a` soma, −2, ou sua inversa por multiplicac¸a˜o, −1/2,
na˜o pertencem a esse conjunto.
De forma semelhante, o conjunto dos nu´meros inteiros, Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }, munido da soma e
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multiplicac¸a˜o usuais, tambe´m na˜o e´ um corpo, pois na˜o possui a propriedade P5: o nu´mero 2 pertence a Z e
tambe´m o seu inverso quanto a` soma pertence a Z, mas na˜o seu inverso quanto a` multiplicac¸a˜o, 1/2.
Ja´ o conjunto dos nu´meros racionais e´ um corpo, pois possui todas as propriedades de soma e de produto
necessa´rias. Outros exemplos de corpos sa˜o o conjunto dos nu´meros reais, R, e o conjunto dos nu´meros
complexos, C, munidos de suas operac¸o˜es soma e produto usuais. O conjunto dos nu´meros irracionais na˜o pode
ser um corpo, pois
√
2 · √2 = 2, sendo que √2 pertence a esse conjunto mas 2 na˜o pertence aos irracionais.
De modo semelhante, o conjunto dos nu´meros imagina´rios puros (na˜o confundir com o conjunto dos nu´meros
complexos) na˜o e´ um corpo, pois o nu´mero i =
√−1 pertence a esse grupo, mas o produto i · i = −1, na˜o.
Chamaremos rotineiramente os elementos de um corpo de escalares.
b) Corpo ordenado
O conjunto dos reais, munido da soma e do produto usuais, ale´m de ser um corpo apresenta ainda outras
prorpiedades, como a de ser ordenado, o que significa que podemos estabelecer uma relac¸a˜o de ordem entre seus
elementos (por exemplo, 10 e´ maior que 8). Para podermos definir um corpo ordenado, precisamos primeiro
definir de forma mais rigorosa o que significa uma relac¸a˜o de ordem.
Definic¸a˜o 2 - Dada um conjunto K, enta˜o uma relac¸a˜o ≤ entre dois elementos de K e´ uma relac¸a˜o
de ordem parcial se, para quaisquer α, β, γ ∈ K tivermos:
O1) α ≤ α (reflexiva);
O2) se α ≤ β e β ≤ α, enta˜o α = β (anti-sime´trica);
O3) se α ≤ β e β ≤ γ, enta˜o α ≤ γ (transitiva).
A relac¸a˜o de ordem necessa´ria para definir um corpo ordenado tem que ter mais algumas propriedades, o
que a caracteriza como uma relac¸a˜o de ordem total, definida a seguir.
Definic¸a˜o 3 - Dada um conjunto K, enta˜o uma relac¸a˜o de ordem parcial ≤ entre dois elementos de
K, essa e´ uma relac¸a˜o de ordem total se, para quaisquer α, β ∈ K tivermos:
O4) α ≤ β ou β ≤ α (o “ou” utilizado e´ o inclusivo).
A definic¸a˜o de um corpo ordenado e´ dada a seguir.
Definic¸a˜o 4 - Um corpo {K,+, ·} e´ um corpo ordenado se existir uma relac¸a˜o de ordem total α ≤ β
entre dois elementos de K tais que:
S1) α ≤ β ⇒ α+ γ ≤ β + γ se γ ∈ K (compat´ıvel com a soma);
S2) se 0 ≤ α e 0 ≤ β, enta˜o 0 ≤ α · β (compat´ıvel com o produto).
De acordo com esta definic¸a˜o, o corpo dos nu´meros complexos, C, na˜o e´ um corpo ordenado (qual e´ maior,
2 + i ou 2 − i ?). Ja´ os corpos Q e R sa˜o corpos ordenados. Corposo ordenados apresentam ainda outras
propriedades decorrentes destas.
c) Limitante superior, supremo e ma´ximo
Para podermos continuar o nosso estudo sobre nu´meros reais, e´ necessa´rio agora definir outros conceitos, o
que e´ feito a seguir.
Definic¸a˜o 5 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relac¸a˜o de ordem ≤ e um
subconjunto A na˜o-vazio de K, enta˜o L ∈ K e´ um limitante superior de A se, para todo x ∈ A,
enta˜o x ≤ L.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 9
Exemplo 1: considere um subconjunto de R (um intervalo) dado por [1, 2] = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2}. Um li-
mitante superior dele e´ qualquer elemento de L ∈ R tal que 2 ≤ L.
Exemplo 2: considere um subconjunto de R dado pelo intervalo aberto ]−1,√2[= {x ∈ R | − 1 < x < √2}.
Um limitante superior dele e´ qualquer elemento de L ∈ R tal que √2 ≤ L.
Definic¸a˜o 6 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relac¸a˜o de ordem ≤ e um
subconjunto A na˜o-vazio de K, enta˜o L ∈ K e´ um supremo de A se ele for o menor limitante superior
de A.
Exemplo 3: dado o intervalo [1, 2] ⊂ R, o seu supremo e´ o nu´mero 2.
Exemplo 4: dado o intervalo ]− 1,√2[⊂ R, o seu supremo e´ o nu´mero √2.
Definic¸a˜o 7 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relac¸a˜o de ordem ≤ e um
subconjunto A na˜o-vazio de K, enta˜o L ∈ K e´ um ma´ximo de A se ele for um limitante superior de
A e L ∈ A.
Exemplo 5: dado o intervalo [1, 2] ⊂ R, 2 e´ o seu ma´ximo.
Exemplo 6: o intervalo ]− 1,√2[⊂ R na˜o tem ma´ximo.
De modo semelhante, podemos definir os conceitos ana´logos de limitante inferior, ı´nfimo e mı´nimo, o que e´
feito nas definic¸o˜es a seguir.
Definic¸a˜o 8 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relac¸a˜o de ordem ≤ e um
subconjunto A na˜o-vazio de K, enta˜o ℓ ∈ K e´ um limitante inferior de A se, para todo x ∈ A, enta˜o
ℓ ≤ x.
Definic¸a˜o 9 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relac¸a˜o de ordem ≤ e um
subconjunto A na˜o-vazio de K, enta˜o ℓ ∈ K e´ um ı´nfimo de A se ele for o maior limitante inferior de
A.
Definic¸a˜o 10 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relac¸a˜o de ordem ≤ e um
subconjunto A na˜o-vazio de K, enta˜o ℓ ∈ K e´ um mı´nimo de A se ele for um limitante inferior de A
e ℓ ∈ A.
d) Corpo ordenado completo
Como ja´ vimos, tanto o corpo dos nu´meros racionais Q quanto o corpo dos nu´meros reais R sa˜o corpos
ordenados. Para diferencia´-los, precisamos definir uma outra classe de corpos ordenados, que sera´ definida a
seguir.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 10
Definic¸a˜o 11 - Um corpo ordenado K e´ um corpo ordenado completo se ele satisfizer o chamado
axiomado supremo, que diz que todo subconjunto A ∈ K na˜o-vazio e limitado superiormente admite
um supremo.
Exemplo 1: o conjunto dos nu´meros racionais munido da soma e do produto usuais, na˜o e´ um corpo ordena-
do completo. Para mostrar isto, basta um contra-exemplo: consideremos o subconjunto de Q dado por
A =
{
x ∈ Q | x ≤ √2}. Tal subconjunto e´ limitado superiormente (por exemplo, pelo nu´mero 2 ∈ Q), mas
na˜o possui supremo, pois ele seria dado pelo nu´mero irracional
√
2.
Na verdade, o conceito de corpo ordenado completo limita bastante o tipo de conjunto que satisfaz as
condic¸o˜es dessa definic¸a˜o. No´s assumiremos que existe um corpo ordenado completo e que esse corpo e´ dado
pelo conjunto dos nu´meros reais munido das operac¸o˜es de soma e de produto e da relac¸a˜o de ordem total ≤.
e) Postulado de Cantor-Dedekind
Seguem agora treˆs teoremas importantes na determinac¸a˜o de uma propriedade interessante dos nu´meros
reais e que e´ relacionada ao conceito de limite. Comec¸amos mostrando que o conjunto dos nu´meros naturais,
N, na˜o e´ limitado superiormente mas e´ limitado inferiormente pelo nu´mero 0.
Teorema 1 - O conjunto N dos nu´meros naturais na˜o e´ limitado superiormente.
Demonstrac¸a˜o: vamos provar esse teorema por absurdo. Vamos supor que N seja limitado superiormente. Isto
implica que existe um ponto c = sup N. Sendo assim, c e´ a menor das cotas superiores de N, de modo que c− 1 na˜o
pode ser cota superior desse conjunto.
Se este for o caso, existe um n ∈ N tal que c− 1 < n⇔ c < n+ 1, de modo que c na˜o pode ser cota superior de
N. Isto e´ uma contradic¸a˜o que mostra que a hipo´tese esta´ errada e que N na˜o pode ser limitado superiormente.
Teorema 2 - O ı´nfimo do conjunto X =
{
1
n
; n ∈ N} e´ igual a 0.
Demonstrac¸a˜o: temos que provar que 0 e´ a maior das cotas inferiores de X . Levando em conta que
X =
{
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, · · ·
}
,
0 e´ uma cota inferior desse conjunto. Resta provar que ele e´ a maior das cotas inferiores.
Tomando um c > 0, vamos mostrar que ele na˜o pode ser cota inferior de X . Se o fosse, isto implicaria que c < 1
n
para qualquer n ∈ N. No entanto, c < 1
n
⇔ 1
c
> n para todo n ∈ N. Isto contradiz o teorema 7, que diz que o
conjunto N na˜o e´ limitado superiormente. Portanto, 0 e´ a maior das cotas inferiores de X e, portanto, e´ o seu ı´nfimo.
O teorema a seguir auxilia na demonstrac¸a˜o do teorema 4, dos intervalos encaixantes.
Teorema 3 - Dados dois nu´meros a, b ∈ R+, onde R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}, existe um n ∈ N tal que
n · a > b.
Demonstrac¸a˜o: se N na˜o e´ limitado, enta˜o sempre podemos obter um n ∈ N tal que n > b
a
⇔ n · a > b, pois
a > 0. Isto prova o teorema.
Consideremos agora a reta dos reais. Nessa reta, escolhemos alguns nu´meros a1, a2, · · · , an, · · · e outros
nu´meros b1, b2, · · · , bn, · · · de modo que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 11
[ [ [ [ ] ] ] ]
a1 a2 an−1 an bn bn−1 b2 b1· · · · · · · · ·
Podemos construir com esses nu´meros os seguintes intervalos: I1 = [a1, b1], I2 = [a2, b2], · · · , In = [an, bn] e
assim por diante, sendo cada intervalo menor que o outro. Se prosseguimos indefinidamente, a intuic¸a˜o nos diz
que acabaremos chegando a um intervalo de comprimento zero que se reduz a um u´nico nu´mero real.
Na verdade, podemos usar esses intervalos encaixantes para definir um nu´mero real qualquer. Por exemplo,
podemos dizer que o nu´mero
√
2 e´ o limite dos intervalos encaixantes
I1 = [1, 2] , I2 = [1, 4 , 1, 5] , I3 = [1, 41 , 1, 42] , I4 = [1, 414 , 1, 415] , · · · .
De modo semelhante, o nu´mero 0 pode ser definido como o limite infinito dos intervalos encaixantes
I1 = [−1, 1] , I2 =
[
−1
2
,
1
2
]
, I3 =
[
−1
3
,
1
3
]
, I4 =
[
−1
4
,
1
4
]
, · · · .
O teorema a seguir estabelece essa ide´ia intuitiva de forma rigorosa.
Teorema 4 - Dada uma sequ¨eˆncia I1 = [a1, b1], I2 = [a2, b2], · · · , In = [an, bn], · · · , tal que
I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · ,
enta˜o existe pelo menos um nu´mero c tal que c ∈ In para todo n ∈ N.
Demonstrac¸a˜o: o fato de um intervalo conter o outro significa que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1.
Sendo assim, o conjunto A = {a1, a2, · · · , an, · · · } e´ limitado superiormente. Vamos chamar de c o supremo de A
(c = sup A), de modo que an ≤ c para todo n ∈ N. Como qualquer bn e´ cota superior de A, enta˜o c ≤ bn para todo
n ∈ N. Portanto, an ≤ c ≤ bn para todo n ∈ N, de modo que c ∈ In para todo n ∈ N, o que prova o teorema.
O modo como os intervalos encaixantes foram montados indica que o intervalo In aproxima-se cada vez
mais de zero conforme n tende a infinito, ou seja, quando n vai para o infinito, an = bn. Isto nos leva a intuir
que, quando n vai para o infinito, havera´ um u´nico nu´mero c ∈ [a, b] tal que an = c quando n vai para o
infinito e bn = c quando n vai para o infinito. No entanto, esta afirmac¸a˜o na˜o pode ser provada, porque ela
na˜o e´ necessariamente verdadeira, e e´ dada como um postulado (uma regra que se aceita sem provas) para o
conjunto dos nu´meros reais. Portanto, para nu´meros reais, vale que an = bn = c quando n vai para o infinito.
Postulado de Cantor-Dedekind - Dada uma sequ¨eˆncia de intervalos encaixantes · · · ⊂ In ⊂ · · · ⊂ I1,
onde In = [an, bn] tais que an = bn quando n vai para o infinito, enta˜o existe somente um ponto c tal que
c ∈ In para todo n ∈ N.
Note que o que foi provado pelo teorema 4 e´ que haveria pelo menos um ponto c tal que c ∈ In para todo
n ∈ N. E´ outra coisa afirmar que so´ existe um ponto com tal propriedade.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918): grande matema´tico russo. Nasceu em Sa˜o Petersburgo,
Ru´ssia, e mudou-se com sua famı´lia para a Alemanha quando tinha 11 anos de idade. La´ estudou filosofia, f´ısica
e matema´tica. Aos 27 anos interessou-se pela ide´ia de infinito. Trabalhou com conjuntos infinitos e criou a teoria
dos conjuntos. Em seus estudos, criou uma hierarquia para os va´rios tipos de infinito e foi o primeiro a introduzir
a ide´ia de nu´meros transfinitos.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 12
Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916): Richard Dedekind nasceu na cidade de Bruswick, na e´poca
parte do condado de Braunschweig, na atual Alemanha. Seus primeiros interesses foram as cieˆncias naturais, mas
ele logo se decepcionou com a falta que elas tinham de uma estrutura lo´gica adequada. Sua atenc¸a˜o voltou-se, enta˜o
a` matema´tica. Estudou com grandes nomes na Universidade de Go¨ttingen e acabou por ensinar no mesmo cole´gio
em que seu pai havia sido professor, em sua cidade natal, onde residiu com uma irma˜, sendo ambos solteiros, ate´
a sua morte. Quando ensinava Ca´lculo Diferencial e Integral, sentiu que na˜o havia uma definic¸a˜o rigorosa do que
e´ um nu´mero real e inventou o chamado corte de Dedekind, pelo qual definia rigorosamente nu´meros racionais e
nu´meros irracionais. Dedekind tambe´m fez muitas contribuic¸o˜es a diversas outras a´reas da matema´tica e a clareza
de suas demonstrac¸o˜es influenciou gerac¸o˜es de matema´ticos.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 13
Leitura Complementar 1.1.2 - Espac¸os vetoriais
Um espac¸o vetorial e´ um conjunto V munido de uma operac¸a˜o de soma e de uma operac¸a˜o de produto por
um escalar, onde o escalar e´ um elemento pertencente a um determinado corpo K. Por isso, dizemos que o
espac¸o vetorial e´ um conjunto V sobre um corpo K. Para que V seja um espac¸o vetorial, e´ preciso que, se u e
v pertencerem a V , enta˜o u+ v e αu tambe´m pertenc¸am a V , onde α ∈ K. Uma definic¸a˜o mais completa de
um espac¸o vetorial e´ dada a seguir.
Definic¸a˜o 2 - Um conjunto V sobre um corpo K e´ um espac¸o vetorial munido de operac¸o˜es de soma
e produto por um escalar se eletiver as seguintes propriedades.
Propriedades da soma: para quaisquer elementos u, v e w pertencentes a V , temos
S1) u+ v ∈ V (o conjunto V e´ fechado quanto a` soma);
S2) u+ v = v + u (comutativa);
S3) (u+ v) + w = u+ (v + w) (associativa);
S4) ∃ 0 ∈ V tal que v + 0 = v (existeˆncia do elemento neutro);
S5) para qualquer v ∈ V , existe um −v ∈ V tal que (−v) + v = 0 (existeˆncia de elementos inversos).
Propriedades do produto por um escalar: para quaisquer elementos u e v pertencentes a V e
α ∈ K, temos
P1) αu ∈ V (o conjunto V e´ fechado quanto ao produto por um escalar);
P2) α(βv) = (αβ)v (associativa);
P3) para o elemento 1 ∈ K, 1 · u = u (existeˆncia do elemento neutro).
Propriedades mistas: para quaisquer elementos u e v pertencentes a V e α ∈ K, temos
M1) α(u+ v) = αu+ αv (distributiva da soma com relac¸a˜o ao produto por um escalar);
M2) (α+ β)v = αv + βv (distributiva do produto por um escalar com relac¸a˜o a` soma).
As propriedades da soma sa˜o internas ao conjunto V . Ja´ as operac¸o˜es envolvendo o produto por um escalar
sa˜o externas a V , pois envolvem tambe´m o corpo K dos escalares. Vamos parar por aqui e explorar melhor
esta definic¸a˜o no pro´ximo cap´ıtulo.
Os elementos de um espac¸o vetorial, em analogia com o espac¸o dos vetores, sa˜o chamados de vetores. De
acordo com a definic¸a˜o 1, um espac¸o vetorial tem que ter um vetor nulo, que e´ o elemento neutro quanto a`
soma, e que representaremos por 0. Ja´ o elemento neutro quanto ao produto entre vetores na˜o e´ necessa´rio a`
construc¸a˜o de um espac¸o vetorial. Tentemos montar o menor espac¸o vetorial poss´ıvel considerando o conjunto
cujo u´nico elemento e´ o vetor 0: {0}. Apesar desse conjunto na˜o ser um corpo, ele e´ um espac¸o vetorial definido
sobre R, pois 0 + 0 = 0, que pertence a {0}, e α · 0 = 0 pertence a {0} para qualquer α ∈ R. Ale´m disso,
o elemento u´nico desse conjunto apresenta todas as propriedades de um espac¸o vetorial, como e´ mostrado a
seguir.
Exemplo 1: verifique se o conjunto {0} sobre o corpo R, onde a operac¸a˜o de soma e´ definida por 0 + 0 = 0
e o produto por um elemento de R (produto por um escalar) e´ dado por α · 0 = 0 e´ um espac¸o vetorial.
Soluc¸a˜o: para que {0} sobre R seja um espac¸o vetorial, temos que mostar que esse conjunto satisfaz todas as
propriedades necessa´rias.
• Propriedades da soma: para todo elemento 0 ∈ {0}, temos
S1) 0 + 0 = 0 ∈ {0} (fechado quanto a` soma);
S2) 0 + 0 = 0 + 0 (comutativa);
S3) 0 + (0 + 0) = 0 + 0 = (0 + 0) + 0 (associativa);
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 14
S4) existe 0 ∈ {0} tal que 0 + 0 = 0 (elemento neutro);
S5) para todo 0 ∈ {0} existe um −0 = 0 ∈ {0} tal que −0 + 0 = 0 (elemento inverso).
• Propriedades do produto: para 0 ∈ {0} e para qualquer elemento α ∈ R, temos
P1) α · 0 = 0 ∈ {0} (fechado quanto ao produto por um escalar);
P2) α(β · 0) = α · 0 = 0 = β · 0 = β(α · 0) (associativa);
P3) para 1 ∈ R, 1 · 0 = 0 (elemento neutro).
• Propriedades mistas: para 0 ∈ {0} e para quaisquer α, β ∈ R, temos
M1) α(0 + 0) = α · 0 = 0 = 0 + 0 = α · 0 + α · 0 (distributiva da soma com relac¸a˜o ao produto por um escalar);
M2) (α+ β)0 = 0 = 0 + 0 = α · 0 + β · 0 (distributiva do produto por um escalar com relac¸a˜o a` soma).
Portanto, {0} sobre R e´ um espac¸o vetorial.
Podemos, agora, considerar o conjunto {0, 1} com as operac¸o˜es-padra˜o de soma e produto por um escalar e
verificar se ele e´ um espac¸o vetorial. Isto na˜o e´ verdade, pois 1 + 1 = 2 6∈ {0, 1}. Do mesmo modo, o conjunto
{−1, 0, 1} tambe´m na˜o e´ um espac¸o vetorial.
O conjunto N = {0, 1, 2, · · · } dos nu´meros naturais na˜o e´ um espac¸o vetorial, pois na˜o tem um elemento
inverso quanto a` soma para todos os seus elementos. Ja´ o conjunto Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · } dos nu´meros
inteiros, que tem um elemento inverso quanto a` soma para qualquer um de seus elementos, na˜o e´ um espac¸o
vetorial se ele for definido sobre o corpo R dos reais, pois, por exemplo, 12 · 1, onde 12 ∈ R e 1 ∈ Z, na˜o pertence
a Z, de modo que ele na˜o e´ fechado com relac¸a˜o ao produto escalar. Mesmo que o produto escalar seja definido
sobre o corpo Q dos nu´meros racionais, o conjunto Z na˜o sera´ fechado quanto ao produto por um escalar. Como
Z na˜o e´ um corpo, na˜o podemos definir Z sobre Z.
Ja´ o conjunto Q, quando definido sobre ele mesmo como corpo, e´ um espac¸o vetorial, pois ele satisfaz todas
as propriedades necessa´rias para tal. Isto pode ser visto analisando as propriedades de um corpo. Da mesma
forma, o conjunto R sobre R tambe´m e´ um espac¸o vetorial.
Tambe´m podemos dizer que R2 e´ um espac¸o vetorial quando definido sobre o corpo R, o que e´ demonstrado
a seguir.
Exemplo 2: verifique se o conjunto dos pares ordenados, R2 = {(x1, x2) | x1, x2 ∈ R}, sobre o corpo R, e´
um espac¸o vetorial, onde a operac¸a˜o de soma e´ definida por (a1, a2)+(b1, b2) = (a1+b1, a2+b2) e o produto
por um elemento de R (produto por um escalar) e´ dado por α(a1, a2) = (αa1, αa2).
Soluc¸a˜o: para que R2 sobre R seja um espac¸o vetorial, temos que mostrar que esse conjunto satisfaz todas as
propriedades necessa´rias.
• Propriedades da soma: para quaisquer elementos a, b, c ∈ R2, temos
S1) a+ b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) ∈ R2 (fechado quanto a` soma);
S2) a+ b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) = (b1 + a1, b2 + a2) = (b1, b2) + (a1, a2) = b+ a (comutativa);
S3) a+ (b+ c) = (a1, a2) + [(b1, b2) + (c1, c2)] = (a1, a2) + (b1 + c1, b2 + c2) = (a1 + b1 + c1, a2 + b2 + c2) =
= (a1 + b1, a2 + b2) + (c1, c2) = [(a1, a2) + (b1, c2)] + (c1, c2) = (a+ b) + c (associativa);
S4) existe o par ordenado 0 = (0, 0) tal que, para qualquer a ∈ R2, 0 + a = a (elemento neutro);
S5) para todo a = (a1, a2) existe um −a = (−a1,−a2) tal que (−a) + a = (−a1 + a1,−a2 + a2) = (0, 0) = 0
(elemento inverso).
• Propriedades do produto: para quaisquer elementos a, b ∈ R2 e para quaisquer elementos α, β ∈ R, temos
P1) αa = α(a1, a2) = (αa1, αa2) ∈ R2 (fechado quanto ao produto por um escalar);
P2) α(βa) = α(βa1, βa2) = (αβa1, αβa2) = (αβ)(a1, a2) = (αβ)a (associativa) ;
P3) para o nu´mero 1 ∈ R, 1 · a = 1 · (a1, a2) = (a1, a2) = a (elemento neutro).
• Propriedades mistas: para quaisquer a, b ∈ R2 e α, β ∈ R, temos
M1) α(a+ b) = α(a1 + b1, a2 + b2) = (α(a1 + b1), α(a2 + b2)) = (αa1 +αb1, αa2 +αb2) = (αa1, αa2) + (αb1, αb2) =
= αa+ αb (distributiva da soma com relac¸a˜o ao produto escalar);
M2) (α+β)a = ((α+ β)a1, (α+ β)a2) = (αa1 +βa1, αa2 +βa2) = (αa1, αa2)+ (βa1, βa2) = αa+βa (distributiva
do produto escalar com relac¸a˜o a` soma).
Portanto, R2 sobre R e´ um espac¸o vetorial.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 15
Leitura Complementar 1.1.3 - Vetores
Esta leitura complementar tem o propo´sito de dar uma definic¸a˜o mais geome´trica e formal de um vetor.
Primeiro, e´ importante perceber que algumas medidas podem ser determinadas completamente por um nu´mero
(tambe´m chamado de escalar), como por exemplo a quantidade de dinheiro em uma conta corrente ou o nu´mero
de pessoas em uma quadra de esportes, ou a massa de um corpo. Outras medidas necessitam de mais do que
isso, como por exemplo a velocidade de um automo´vel e a forc¸a exercida sobre um bloco. Ambas na˜o sa˜o
bem definidas a na˜o ser que se indique a sua intensidade (um escalar), sua direc¸a˜o e seu sentido. Essas tr es
caracter´ısticas sa˜o pro´prias de um objeto que chamamos de vetor. Para dar uma ideia mais rigorosa do que
sa˜o tais objetos, temos, primeiro, que fazer algumas outras definic¸o˜es.
a) Reta orientada e segmento orientado
Uma reta orientada, ou eixo e´ uma reta em que se adota um sentido.
Devemos lembar que uma reta e´, por definic¸a˜o, infinita.
Um segmento orientado e´ um pedac¸o de uma reta orientada, definido
por dois pontos, A e B, sendo A a origem e B a extremidade do segmento
orientado. Tal segmento orientado e´ designadoAB.
Um segmento orientado AB e´ um pedac¸o de reta que esta´ preso entre
os pontos A e B e na˜o pode ser movido para outro lugar no espac¸o. Esta
e´ uma caracter´ıstica que tera´ que ser removida na definic¸a˜o de vetores. b
b
A
B
Estabelecida uma unidade de medida, o mo´dulo (ou medida) de um
segmento orientado e´ o comprimento desse segmento segundo aquela
unidade de medida. O mo´dulo de um segmento orientado AB e´ indicado
por AB.
b
b
A
B
AB
Exemplo 1: o segmento orientado AB ao lado pode ser medido
como tendo mo´dulo AB = 5, 08 cm ou AB = 2′′, depen-
dendo se a unidade adotada e´ o cent´ımetro ou a polegada.
b
b
A
B
Dois segmentos orientados AB e CD teˆm o mesmo mo´dulo se AB = CD.
Exemplo 2: o segmento orientado AB tem mo´dulo
AB = 3 cm e o segmento orientado CD tem o
mesmo mo´dulo, CD = 3 cm.
b
b
A
B
b bC D
A direc¸a˜o de um segmento orientado e´ a orientac¸a˜o deste no espac¸o. Dois segmentos orientados AB e CD
teˆm a mesma direc¸a˜o se as retas sobre as quais eles se baseiam sa˜o paralelas.
Exemplo 3: os segmentos orientados AB, CD e EF teˆm a mesma direc¸a˜o.
b
b
A
B
b
b
C
D
b
b
F
E
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 16
Exemplo 4: os segmentos orientados MN , OP e QR na˜o teˆm a mesma direc¸a˜o.
b
b
M
N
b bO P b
b
R
Q
Uma vez estabelecida uma direc¸a˜o, um segmento orientado pode ter dois sentidos.
Exemplo 5: os segmentos AB e CD teˆm o
mesmo sentido.
b
b
A
B
b
b
C
D
Exemplo6: os segmentos EF e GH teˆm
sentidos opostos.
b
b
E
F
b
b
H
G
Exemplo 7: os segmentos IJ e KL na˜o teˆm a mesma direc¸a˜o. Portanto, na˜o podemos comparar os seus
sentidos.
b
b
I
J
b bK L
Dois segmentos orientados sa˜o equipolentes se eles tiverem o mesmo mo´dulo, a mesma direc¸a˜o e o mesmo
sentido. Dados dois segmentos orientados AB e CD equipolentes, escrevemos AB ∼ CD.
Exemplo 8: AB ∼ CD.
b
b
A
B
b
b
C
D
Exemplo9: EF 6∼ GH, pois estes na˜o teˆm
o mesmo mo´dulo.
b
b
E
F
b
b
G
H
Exemplo 10: IJ 6∼ KL, pois estes na˜o teˆm
o mesmo sentido.
b
b
I
J
b
b
L
K
Exemplo11: MN 6∼ OP , pois estes na˜o teˆm
a mesma direc¸a˜o.
b
b
M
N
b bP O
b) Vetores
Um segmento orientado esta´ preso a um determinado local do espac¸o. Para que possamos definir conceitos
como a soma, precisamos de objetos que na˜o estejam fixados. A definic¸a˜o a seguir, baseada em segmentos de
reta orientados, consegue fazer isto definindo um novo objeto: o vetor.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 17
Dado um segmento orientado AB, o vetor
−−→
AB e´ o conjunto de todos os
segmentos orientados equipolentes a AB, isto e´,
−−→
AB = {XY | XY ∼ AB}.
Portanto, um vetor e´ um conjunto de infinitos segmentos orientados, todos com
mesmo mo´dulo, direc¸a˜o e sentido. Esses segmentos orientados encontram-
se espalhados por todo o espac¸o. Vetores na˜o devem ser confundidos com
segmentos orientados, que ocupam um lugar espec´ıfico no espac¸o.
Um vetor
−−→
AB pode ser representado por qualquer elemento AB ∈ −−→AB
(lembre-se que um vetor e´ um conjunto). Desta forma, dado qualquer ponto
do espac¸o, podemos representar um vetor escolhendo um segmento orientado
pertencente a ele que tenha sua origem naquele ponto. Esta liberdade de
escolha de representac¸a˜o e´ o que possibilita a imensa variedade de operac¸o˜es
e aplicac¸o˜es dos vetores, como veremos em breve. b
b
A
B
O mo´dulo de um vetor, designado |−−→AB|, e´ o mo´dulo de qualquer um de seus segmentos orientados. De
modo semelhante, a direc¸a˜o e o sentido de um vetor sa˜o a direc¸a˜o e o sentido de qualquer um de seus segmentos
orientados.
Vetores no plano podem ser representados como setas partindo da origem em um gra´fico de eixos cartesianos,
como mostrado no texto principal deste cap´ıtulo. Com isto, terminamos nossa definic¸a˜o de vetores.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 18
Leitura Complementar 1.1.4 - Coordenadas polares
Uma forma de determinar um ponto no plano e´ por meio de um par ordenado (x0, y0), onde x0 e´ a coordenada
do ponto sobre o eixo x e y0 e´ a coordenada do ponto no eixo y, sendo que ambos os eixos fazem um aˆngulo de
90o entre eles (primeira figura a seguir). Este e´ o chamado sistema de coordenadas cartesianas. No entanto,
ha´ outras formas de determinar a posic¸a˜o de um ponto no plano. Uma delas, muito utilizada pela astronomia
e pelos militares, sa˜o as coordenadas polares. Nesse tipo de coordenadas, um ponto no plano e´ determinado
por duas coordenadas (segunda figura a seguir): a primeira e´ o raio, que e´ a distaˆncia desse ponto a` origem; a
segunda e´ o seu aˆngulo com relac¸a˜o ao eixo x. Portanto, a posic¸a˜o de um ponto em um sistema de coordenadas
polares tambe´m e´ dada por um par ordenado (r, θ), onde r e´ o raio e θ e´ o aˆngulo.
x
y
b
x0
y0
x
y
r
b
θ
Exemplo 1: posicione em um gra´fico o ponto
de coordenadas polares (r, θ) = (2, 30o).
Soluc¸a˜o:
x
y
2
b
30o
Exemplo 2: posicione em um gra´fico o ponto
de coordenadas polares (r, θ) = (1, 135o).
Soluc¸a˜o:
x
y
1
b
135o
Usando um pouco de trigonometria, podemos estabelecer uma relac¸a˜o entre o sistema de coordenadas carte-
siano e o sistema de coordenadas polares. Considerando a primeira figura a seguir, que representa graficamente
a posic¸a˜o de um ponto de coordenadas cartesianas (x, y) e de coordenadas polares (r, θ), observa-se que podemos
extrair dela um triaˆngulo retaˆngulo de lados x e y e de hipotenusa r (segunda figura a seguir).
x
y
b
x
y
r
b
θ
r
x
y
·θ
Usando a definic¸a˜o do cosseno do aˆngulo θ, temos
cos θ =
x
r
⇔ r cos θ = x⇔ x = r cos θ .
Portanto, conhecendo θ e v, podemos calcular x. De forma semelhante, usando a definic¸a˜o do seno do aˆngulo
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 19
θ, temos
sen θ =
y
r
⇔ r sen θ = y ⇔ y = r sen θ .
Assim, pudemos calcular as componentes do vetor sabendo o seu mo´dulo e o seu aˆngulo de inclinac¸a˜o. A seguir,
mostramos alguns exemplos de ca´lculo desse tipo.
Exemplo 1: escreva o ponto de coordenadas polares (3, 60o) em termos de coordenadas cartesianas.
Soluc¸a˜o: x = r cos θ = 3 cos 60o = 3 · 1
2
=
3
3
; y = r sen θ = 3 sen 60o = 3 ·
√
3
2
=
3
√
3
2
.
Exemplo 2: escreva o ponto de coordenadas polares (2,−45o) em termos de coordenadas cartesianas.
Soluc¸a˜o: x = r cos θ = 2 cos (−45o) = 2 ·
√
2
2
=
√
2 ; y = r sen θ = 2 sen (−45o) = 2 ·
√
2
2
=
√
2.
O caminho inverso pode ser feito escrevendo pontos com coordenadas cartesianas em termos de coordenadas
polares. Comec¸amos escrevendo
x2 + y2 = r2 cos 2θ + r2 sen 2θ = r2( cos 2θ + sen 2θ) .
Usando a identidade trigonome´trica cos 2θ + sen 2θ = 1, ficamos com
x2 + y2 = r2 ⇔ r =
√
x2 + y2 ,
pois r so´ pode ser positivo.
Dividindo as expresso˜es x = r cos θ e y = r sen θ uma pela outra, obtemos
y
x
=
r sen θ
r cos θ
⇔ y
x
=
sen θ
cos θ
⇔ y
x
= tg θ .
Podemos isolar o aˆngulo θ utilizando a func¸a˜o inversa da tangente, a func¸a˜o arcotangente:
θ = arctg
y
x
.
Exemplo 3: escreva o ponto de coordenadas cartesianas (1,−1) em termos de coordenadas polares.
Soluc¸a˜o: r =
√
x2 + y2 =
√
1 + 1 =
√
2 ; θ = arctg
y
x
= arctg
(−1
1
)
= arctg (−1) = −45o.
Exemplo 4: escreva o ponto de coordenadas cartesianas (2, 4) em termos de coordenadas polares.
Soluc¸a˜o: r =
√
x2 + y2 =
√
4 + 16 =
√
20 =
√
22 · 5 = 2
√
5 ; θ = arctg
y
x
= arctg
(
4
2
)
= arctg 2 ≈ 63o.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸oR2 - versa˜o 02/2009 20
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 1.1
Nı´vel 1
Espac¸o R2
Exemplo 1: represente o elemento (2,−1) do R2 em no plano cartesiano.
Soluc¸a˜o:
x
y
−1
1 20
b
E1) Represente os seguintes elementos do R2 no plano cartesiano.
a) (2, 3). b) (−2, 1). c) (2, 0). d) (−1,−2).
Exemplo 2: represente vetorialmente o elemento (2,−1) do R2 no plano cartesiano.
Soluc¸a˜o:
x
y
−1
1 20
E2) Represente vetorialmente os elementos do R2 do exerc´ıcio E1 no plano cartesiano.
Exemplo 3: determine o elemento do R2 representado vetorialmente abaixo.
x
y
1
2
1 2 30
Soluc¸a˜o: (3, 2).
E3) Escreva os elementos do R2 representados vetorialmente abaixo.
a)
x
y
1
1 20
b)
x
y
−1
1 2 30
c)
x
y
−1
−2 −1 0
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 21
Soma
Exemplo 4: fac¸a a soma dos elementos (−1, 2) e (3, 5) do R2.
Soluc¸a˜o: (−1, 2) + (3, 5) = (−1 + 3, 2 + 5) = (2, 7).
E4) Calcule as seguintes somas de elementos do R2.
a) (1, 4) + (3, 2). b) (−1, 6) + (4, 6). c) (−2, 4) + (2,−4).
Produto por um escalar
Exemplo 5: fac¸a o produto do elemento (−3, 4) do R2 pelo nu´mero real 3.
Soluc¸a˜o: 3(−3, 4) = (3 · (−3), 3 · 4) = (−9, 12).
E5) Calcule as produtos dos elementos do R2 dados pelos escalares dados.
a) (1, 3) ∈ R2 por 2 ∈ R. b) (−2, 4) ∈ R2 por −3 ∈ R. c) (2, 6) ∈ R2 por √3 ∈ R.
Exemplo 6: dados os elementos (−3, 4) e (2,−1) do R2, calcule 3(−3, 4) − 2(2,−1).
Soluc¸a˜o: 3(−3, 4)− 2(2,−1) = (−9, 12)− (4,−2) = (−13, 14).
E6) Efetue as seguintes operac¸o˜es:
a) 3(−1, 2) + 4(2, 3). b) −1(3, 5) + 4(0, 6). c) (−1, 3) + 4(2, 5) − 2(3, 1).
Nı´vel 2
E1) Encontre os valores de α e β tais que α(1,−2) + β(3,−1) = (−1,−1).
E2) (Leitura Complementar 1.1.4) Um elemento do R2 e´ dado, em coordenadas polares, por (r, θ) = (4, 30o).
Calcule esse elemento em coordenadas cartesianas.
E3) (Leitura Complementar 1.1.4) Um elemento do R2 e´ dado, em coordenadas cartesianas, por (x, y) = (4, 4).
Calcule esse elemento em coordenadas polares.
Nı´vel 3
E1) Dado o triaˆngulo ABC abaixo, onde M e´ o ponto me´dio do lado AC e N e´ o ponto me´dio do lado BC,
prove que MN e´ paralelo a AB e que o seu comprimento e´ metade do comprimento de AB. Use, para isso, a
notac¸a˜o vetorial de um ponto no plano cartesiano.
A B
C
M N
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 22
E2) Dado o triaˆngulo ABC abaixo, onde M e´ o ponto me´dio do lado AB, mostre que o comprimento da reta
AM e´ igual a` metade da soma dos comprimentos dos lados CA e CB. Use, para isso, a notac¸a˜o vetorial de um
ponto no plano cartesiano.
C B
A
M
E3) Prove que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. Use, para isso, a notac¸a˜o vetorial de um
ponto no plano cartesiano.
E4) (Leitura Complementar 1.1.1) Verifique se os seguintes conjuntos, onde sa˜o definidas as operac¸o˜es de soma
e de multiplicac¸a˜o, sa˜o corpos:
a) {−1, 0, 1}. b) conjunto N dos nu´meros naturais. c) conjunto Z dos nu´meros inteiros.
d) conjunto Q dos nu´meros racionais.
E5) (Leitura Complementar 1.1.2) Verifique se os seguintes conjuntos, onde sa˜o definidas as operac¸o˜es de soma
e de produto por um escalar (onde o escalar pertence ao conjunto dos nu´meros reais), sa˜o espac¸os vetoriais:
a) {0, 1}.
b) conjunto de todos os polinoˆmios de grau≤ n: pn(x) = {a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn | a0, a1, a2, · · · , an ∈ R}.
c) conjunto de todas as matrizes m× n: Mm×n =




a11 · · · a1n
...
...
am1 · · · amn

 | a11, · · · , amn ∈ R

.
d) conjunto Q dos nu´meros racionais.
E6) (Leitura Complementar 1.1.2) Verifique se os seguintes conjuntos, com as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o
por um escalar dadas, sa˜o espac¸os vetoriais.
a) Conjunto R com a soma x+ y = x+ ky, k ∈ R, e o produto por um escalar usual, αx = αx.
b) Conjunto R com a soma x+ y = xy e o produto por um escalar αx = xα.
c) Conjunto R2 com a soma (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + kx2, y1 + ky2), onde k ∈ R, e o produto por um escalar
usual, α(x1, y1) = (αx1, αy1).
d) Conjunto R2 com a soma usual, (x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2, y1+y2), e o produto por um escalar α(x1, y1) =
= (αx1, 0).
e) Conjunto R2 com a soma (x1, y1)+(x2, y2) = (y1+y2, x1+x2) e o produto por um escalar usual, α(x1, y1) =
= (αx1, αy1).
Respostas
Nı´vel 1
E1) a)
x
y
1
2
3
1 2
0
b
b)
x
y
1
−2 −1
0
b
c)
x
y
1 2
0
b
, d)
x
y
−2
−1
−1
0
b
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espac¸o R2 - versa˜o 02/2009 23
E2) a)
x
y
1
2
3
1 2
0
b)
x
y
1
−2 −1
0
c)
x
y
1 2
0
, d)
x
y
−2
−1
−1
0
E3) a) (2, 1). b) (3,−1). c) (−2,−1). E4) a) (4, 6). b) (3, 12). c) (0, 0).
E5) a) (2, 6). b) (6,−12). c) (2√3, 6√3). E6) a) (5, 18). b) (−3, 19). c) (1, 21).
Nı´vel 2
E1) α = 2 e β = −1. E2) (x, y) = (2√3, 2). E3) (r, θ) = (4√2, 45o).
Nı´vel 3
E1) Em termos vetoriais, temos que mostrar que
−−→
MN =
1
2
−−→
AB. Utilizando a soma de vetores, sabemos que
−−→
MN =
=
−−→
MC +
−−→
CN . Sendo M o ponto me´dio do lado AC e N o ponto me´dio do lado BC, enta˜o
−−→
MC =
1
2
−→
AC e
−−→
CN =
1
2
−−→
CB.
Portanto,
−−→
MN =
1
2
−→
AC +
1
2
−−→
CB =
1
2
(−→
AC +
−−→
CB
)
=
1
2
−−→
AB.
E2) Em termos vetoriais, temos que mostrar que
−−→
CM =
1
2
(−→
CA+
−−→
CB
)
. Sabemos que
−−→
AM =
1
2
−−→
AB. Pela soma de
vetores,
−−→
CM =
−→
CA+
−−→
AM =
−→
CA+
1
2
−−→
AB. Como
−−→
AB =
−−→
CB − −−→BA, enta˜o −−→CM = −→CA+ 1
2
−−→
CB − 1
2
−→
CA =
1
2
−→
CA+
1
2
−−→
CB =
=
1
2
(−→
CA+
−−→
CB
)
.
E3) Considere o paralelogramo ABCD abaixo.
A B
CD
Vamos chamar de M o ponto me´dio da diagonal AC e de N o ponto me´dio da diagonal BD. Portanto,
−−→
AM =
1
2
−→
AC
e
−−→
BN =
1
2
−−→
BD. Sabemos, tambe´m, que
−−→
AN =
−−→
AB +
1
2
−−→
BD =
−−→
AB +
1
2
(−−→
BA+
−−→
AD
)
=
(−−→
AB − 1
2
−−→
AB
)
+
1
2
−−→
AD =
=
1
2
(−−→
AB +
−−→
AD
)
=
1
2
(−−→
AB +
−−→
BC
)
=
1
2
−→
AC =
−−→
AM . Sendo assim, os pontos M e N coinsidem e as diagonais do paralelo-
gramo cortam-se ao meio.
E4) a) Na˜o e´ um corpo. b) Na˜o e´ um corpo. c) Na˜o e´ um corpo. d) E´ um corpo.
E5) a) Na˜o e´ um espac¸o vetorial. b) e´ um espac¸o vetorial. c) e´ um espac¸o vetorial. d) E´ um espac¸o vetorial.
E6) a) Na˜o e´ um espac¸o vetorial. b) E´ um espac¸o vetorial. c) Na˜o e´ um espac¸o vetorial.
d) Na˜o e´ um espac¸o vetorial. e) Na˜o e´ um espac¸o vetorial.