Aula 01 - Conjunto, Subconjunto - Fundamentos de Matemática

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Fundamentos da Matemática
Aula 01:
Conjuntos
Exemplos Iniciais:
a) Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um 
elemento desse conjunto.
b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é 
um elemento desse conjunto.
c) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada 
aluno é um elemento desse conjunto.
d) As turmas de um campus formam um conjunto; cada turma 
é um elemento desse conjunto.
-Representação de um conjunto
Representação Tabular:
Exemplo:
O conjunto cujos elementos são as vogais do alfabeto:
{a, e, i, o, u}
O conjunto cujos elementos são as consoantes:
{b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}
A mudança na ordem dos elementos não altera o conjunto e os 
elementos podem aparecer mais de uma vez no conjunto, fato 
que também não altera tal conjunto.
Exemplo: 
A= {a,e,i,o,u} A= {u,i,o,a,e} , 
B= {a,n,t,o,n,i,o}, o certo seria: B= {a,n,t,o,i}
Representação Através de Diagrama de Venn: 
Exemplo:
Representação Através de uma Propriedade:
Eventualmente, não é conveniente escrever todos os elementos 
do conjunto, principalmente por conta da elevada quantidade 
de elementos. Neste caso, podemos descrever tal conjunto por 
uma propriedade comum a todos os seus elementos.
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um 
conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, 
então o conjunto A pode ser descrito por:
A = {x | x tem a propriedade p}
(Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal 
que x tem a propriedade p”.)
Exemplo:
a) A = {x I x é um país da Europa}
O conjunto A é formado por todos os países da Europa.
b) B = {x I x é mamífero}
O conjunto B é formado por todos os mamíferos}
c) {x I x é um Estado da Região Sudeste do Brasil}
Lê-se: ‘’x’’ tal que ‘’x’’ é um Estado da Região Sudeste do Brasil
Exercício:
1. Construa o diagrama de Venn dos conjuntos A = {1, 2, 3} e
B = {2, 3, 4, 5, 6}:
-Relação de Pertinência
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do 
conjunto B. Indicamos estes fatos respectivamente por:
u Є A (Lê-se ‘’u pertence a A’’) e u B (Lê-se ‘’u não pertence a B’’)
A relação entre um conjunto e itens que podem ou não estar 
entre seus elementos é denominada relação de pertinência.
Є (pertence) e (não pertence)
Exemplo:
Considere o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8}. Podemos dizer que:
2 Є A: O elemento 2 pertence ao conjunto A.
3 A: O elemento 3 não pertence ao conjunto A.
-Tipos de Conjuntos
Conjunto Unitário:
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
a) C = {5}
b) B = {x I x é estrela do sistema solar}
Conjunto Vazio:
Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento, ou 
seja. Um conjunto vazio é representado pelos símbolos Ø ou { }.
Exemplo:
a) D = {x I x é número e x.0 = 5} = Ø
b) E = {x I x é computador sem memória} = { }
c) {x I x é um número ímpar múltiplo de 4}, pois não existe 
múltiplo de quatro que seja ímpar.
Atenção:
Quando os símbolos { } ou Ø aparecerem dentro de um 
conjunto, listados, visíveis, o conjunto vazio deve ser tratado 
como elemento desse conjunto.
Exemplo:
Considere o conjunto A = {Ø, 1, 2, 3}. 
Temos que Ø Є A, pois Ø é um elemento do conjunto A.
Conjunto Finito:
É aquele que conseguimos chegar ao “�m” da contagem de 
seus elementos.
Exemplo:
a) B = {1, 2, 3, 4}
b) D = {x | x é brasileiro}
c) H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
Conjunto In�nito:
É aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais 
chegaremos ao “�m” da contagem.
Exemplo:
a) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b) A = {x Є N I x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}
• a • 1
• 9
• 3
•4
• e
• i
• o
• u
A B
A B
U
1
2
3
4
5
6
Є/
Є/
Є/
Conjuntos Iguais:
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os 
mesmos elementos. Pode-se, na realidade, dizer que 
representam o mesmo conjunto, ainda que denominados de 
maneira distinta.
Exemplo:
a) Considere os conjuntos A e B assim de�nidos.
A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e} e
B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a}.
Temos que A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos 
elementos, não importando a ordem em que os elementos 
foram escritos.
b) O conjunto dos jovens brasileiros do sexo masculino que 
completam 18 anos este ano e o conjunto de jovens brasileiros 
que devem fazer o alistamento militar obrigatório este ano são, 
na verdade, o mesmo conjunto. São iguais, pois possuem os 
mesmos elementos, ainda que denominados de maneira distinta.
Conjuntos Diferentes:
Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se “A é diferente de B”).
Conjunto Universo (U):
Contém todos os elementos que possam vir a pertencer a 
conjuntos de�nidos no contexto considerado, é o conjunto que 
possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.
Exemplo:
a) Quais são os números menores que 5? A resposta irá 
depender do conjunto universo considerado.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, 
teremos como resposta o conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais 
pares, teremos como conjunto solução S = {0, 2, 4}.
b) O conjunto formado pelos brasileiros com mais de 65 anos e o 
conjunto formado pelos que deveriam fazer o alistamento militar 
em determinado ano são conjuntos de�nidos a partir de um 
grupo mais amplo, composto por toda a população brasileira.
A população brasileira, portanto, forma um grupo geral, 
universal, a partir do qual podemos de�nir conjuntos menores. 
Por isso, no contexto da criação de conjuntos formados por 
grupos de indivíduos da população brasileira, o conjunto 
formado por toda a população pode ser considerado como o 
conjunto Universo a partir do qual, no contexto de indivíduos 
que a formam, pode-se criar conjuntos menores e formados 
por indivíduos com determinada característica.
O conjunto Universo é simbolizado pela letra U.
No contexto das letras que compõe o alfabeto de um idioma, 
podemos de�nir como Universo o conjunto que contém todas 
as letras do alfabeto, vogais e consoantes, apresentado a seguir.
{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
Conjuntos Disjuntos:
Dois conjuntos são chamados disjuntos quando não possuem 
nenhum elemento em comum. Ou seja, não é possível encontrar 
um elemento que pertença, ao mesmo tempo, aos dois conjuntos.
Exemplo:
a) Consideremos os conjuntos apresentados anteriormente, 
sendo o primeiro formado por idosos e o segundo formado por 
pessoas que deverão fazer o alistamento militar no presente 
ano. Não existe elemento comum a estes dois conjuntos, 
consequentemente os mesmos são disjuntos.
b) Considere os conjuntos das vogais e das consoantes de um 
alfabeto. Como não existe uma letra que seja, simultaneamente, 
uma vogal e uma consoante, pode-se a�rmar que estes dois 
conjuntos são disjuntos.
Fundamentos da Matemática
Aula 01:
Conjuntos
Exemplos Iniciais:
a) Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um 
elemento desse conjunto.
b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é 
um elemento desse conjunto.
c) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada 
aluno é um elemento desse conjunto.
d) As turmas de um campus formam um conjunto; cada turma 
é um elemento desse conjunto.
-Representação de um conjunto
Representação Tabular:
Exemplo:
O conjunto cujos elementos são as vogais do alfabeto:
{a, e, i, o, u}
O conjunto cujos elementos são as consoantes:
{b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}
A mudança na ordem dos elementos não altera o conjunto e os 
elementos podem aparecer mais de uma vez no conjunto, fato 
que também não altera tal conjunto.
Exemplo: 
A= {a,e,i,o,u} A= {u,i,o,a,e} , 
B= {a,n,t,o,n,i,o}, o certo seria: B= {a,n,t,o,i}
RepresentaçãoAtravés de Diagrama de Venn: 
Exemplo:
Representação Através de uma Propriedade:
Eventualmente, não é conveniente escrever todos os elementos 
do conjunto, principalmente por conta da elevada quantidade 
de elementos. Neste caso, podemos descrever tal conjunto por 
uma propriedade comum a todos os seus elementos.
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um 
conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, 
então o conjunto A pode ser descrito por:
A = {x | x tem a propriedade p}
(Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal 
que x tem a propriedade p”.)
Exemplo:
a) A = {x I x é um país da Europa}
O conjunto A é formado por todos os países da Europa.
b) B = {x I x é mamífero}
O conjunto B é formado por todos os mamíferos}
c) {x I x é um Estado da Região Sudeste do Brasil}
Lê-se: ‘’x’’ tal que ‘’x’’ é um Estado da Região Sudeste do Brasil
Exercício:
1. Construa o diagrama de Venn dos conjuntos A = {1, 2, 3} e
B = {2, 3, 4, 5, 6}:
-Relação de Pertinência
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do 
conjunto B. Indicamos estes fatos respectivamente por:
u Є A (Lê-se ‘’u pertence a A’’) e u B (Lê-se ‘’u não pertence a B’’)
A relação entre um conjunto e itens que podem ou não estar 
entre seus elementos é denominada relação de pertinência.
Є (pertence) e (não pertence)
Exemplo:
Considere o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8}. Podemos dizer que:
2 Є A: O elemento 2 pertence ao conjunto A.
3 A: O elemento 3 não pertence ao conjunto A.
-Tipos de Conjuntos
Conjunto Unitário:
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
a) C = {5}
b) B = {x I x é estrela do sistema solar}
Conjunto Vazio:
Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento, ou 
seja. Um conjunto vazio é representado pelos símbolos Ø ou { }.
Exemplo:
a) D = {x I x é número e x.0 = 5} = Ø
b) E = {x I x é computador sem memória} = { }
c) {x I x é um número ímpar múltiplo de 4}, pois não existe 
múltiplo de quatro que seja ímpar.
Atenção:
Quando os símbolos { } ou Ø aparecerem dentro de um 
conjunto, listados, visíveis, o conjunto vazio deve ser tratado 
como elemento desse conjunto.
Exemplo:
Considere o conjunto A = {Ø, 1, 2, 3}. 
Temos que Ø Є A, pois Ø é um elemento do conjunto A.
Conjunto Finito:
É aquele que conseguimos chegar ao “�m” da contagem de 
seus elementos.
Exemplo:
a) B = {1, 2, 3, 4}
b) D = {x | x é brasileiro}
c) H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
Conjunto In�nito:
É aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais 
chegaremos ao “�m” da contagem.
Exemplo:
a) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b) A = {x Є N I x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}
С 
Conjuntos Iguais:
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os 
mesmos elementos. Pode-se, na realidade, dizer que 
representam o mesmo conjunto, ainda que denominados de 
maneira distinta.
Exemplo:
a) Considere os conjuntos A e B assim de�nidos.
A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e} e
B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a}.
Temos que A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos 
elementos, não importando a ordem em que os elementos 
foram escritos.
b) O conjunto dos jovens brasileiros do sexo masculino que 
completam 18 anos este ano e o conjunto de jovens brasileiros 
que devem fazer o alistamento militar obrigatório este ano são, 
na verdade, o mesmo conjunto. São iguais, pois possuem os 
mesmos elementos, ainda que denominados de maneira distinta.
Conjuntos Diferentes:
Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se “A é diferente de B”).
Conjunto Universo (U):
Contém todos os elementos que possam vir a pertencer a 
conjuntos de�nidos no contexto considerado, é o conjunto que 
possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.
Exemplo:
a) Quais são os números menores que 5? A resposta irá 
depender do conjunto universo considerado.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, 
teremos como resposta o conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais 
pares, teremos como conjunto solução S = {0, 2, 4}.
b) O conjunto formado pelos brasileiros com mais de 65 anos e o 
conjunto formado pelos que deveriam fazer o alistamento militar 
em determinado ano são conjuntos de�nidos a partir de um 
grupo mais amplo, composto por toda a população brasileira.
A população brasileira, portanto, forma um grupo geral, 
universal, a partir do qual podemos de�nir conjuntos menores. 
Por isso, no contexto da criação de conjuntos formados por 
grupos de indivíduos da população brasileira, o conjunto 
formado por toda a população pode ser considerado como o 
conjunto Universo a partir do qual, no contexto de indivíduos 
que a formam, pode-se criar conjuntos menores e formados 
por indivíduos com determinada característica.
O conjunto Universo é simbolizado pela letra U.
No contexto das letras que compõe o alfabeto de um idioma, 
podemos de�nir como Universo o conjunto que contém todas 
as letras do alfabeto, vogais e consoantes, apresentado a seguir.
{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
Conjuntos Disjuntos:
Dois conjuntos são chamados disjuntos quando não possuem 
nenhum elemento em comum. Ou seja, não é possível encontrar 
um elemento que pertença, ao mesmo tempo, aos dois conjuntos.
Exemplo:
a) Consideremos os conjuntos apresentados anteriormente, 
sendo o primeiro formado por idosos e o segundo formado por 
pessoas que deverão fazer o alistamento militar no presente 
ano. Não existe elemento comum a estes dois conjuntos, 
consequentemente os mesmos são disjuntos.
b) Considere os conjuntos das vogais e das consoantes de um 
alfabeto. Como não existe uma letra que seja, simultaneamente, 
uma vogal e uma consoante, pode-se a�rmar que estes dois 
conjuntos são disjuntos.
Subconjunto
-Conceito
A relação de inclusão relaciona conjuntos, indicando se um 
conjunto está contido ou não em um outro conjunto. Se todos 
os elementos de um conjunto A pertencerem a outro conjunto 
B, então o conjunto A está contido no conjunto B. Se um único 
elemento do primeiro conjunto A não pertencer ao segundo 
conjunto B, temos que o conjunto A não estará contido no 
conjunto B.
Exemplo:
Considere o conjunto das letras do nosso alfabeto:
A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z}
Temos que A é formado pelo conjunto de vogais (V) e pelo 
conjunto de consoantes (C).
V = {a, e, i, o, u}
C = { b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, x, y, z}
O conjunto das vogais é um subconjunto do conjunto das letras 
do nosso alfabeto.
Simbolicamente, temos:
V C A (Lê-se: V está contido em A), ou
A V (Lê-se: A contém V) 
Um subconjunto de um conjunto é qualquer outro conjunto 
cujos elementos são, necessariamente, elementos do conjunto 
original.
-Propriedades:
1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto:
Simbolicamente: A C B - [ x Є A, x Є B]
Exemplos:
Ø C {1, 2, 3}
Ø C Ø
2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
Simbolicamente: A C A, A
3. Todo conjunto é um subconjunto do conjunto Universo, no 
contexto considerado. Para indicar que um conjunto A não é 
subconjunto de B, escreve-se:
A B (Lê-se ‘’A não está contido em B’’), ou
B A (Lê-se ‘’B não contém A’’)
Exemplo:
a) {a, b, c} {a, b, d}
Atenção:
1. A relação de inclusão (C) é usada exclusivamente para 
relacionar um subconjunto B cpm um conjunto A que contém 
B: B C A.
2. A relação de pertinência ( Є ) é usada exclusivamente para 
relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x 
como elemento: x Є A.
Conjunto cujos elementos são conjuntos
Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos. 
Considere, por exemplo, o conjunto:
P = {Ø, {a}, {b}, {a, b}}
Ø é elemento de P e, portanto, escrevemos Ø ЄP. Além disso, 
temos também que:
{a} Є P, {b} Є P, {a, b} Є P.
Vejamos alguns subconjuntos de P:
{Ø} C P: Todos os elementos de {Ø}, no caso só há o elemento Ø, 
é elemento de P.
{{a}} C P: Todos os elementos de {{a}}, no caso só há o elemento 
{a}, é elemento de P.
{{a, b}} C P: Todos os elementos de {{a, b}}, no caso só há o 
A
A
С /
С /
С 
/
elemento {a, b}, é elemento de P.
{{a}, {b}} C P: Todos os elementos de {{a}, {b}}, no caso os 
elementos {a} e {b}, são elementos de P.
Conjunto das partes de um conjunto:
Considere o conjunto A = {1, 2}. Vamos escrever os 
subconjuntos de A:
a) com nenhum elemento: Ø
b) com um elemento: {1}, {2}
c) com dois elementos: {1,2}
P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}}
Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto 
cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
Notação: P(A) (lê-se P de A)
Exemplo:
a) No exemplo acima, P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}}.
b) Dado um conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):
P(B) = {Ø, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n. p}, {m, n, p}}
Observe que, no primeiro exemplo (a), o conjunto A tem dois 
elementos e obtivemos P(A) com 4(2²) elementosm isto é, A 
tem 4 subconjuntos.
De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o 
número de elementos de P(A) é 2 .
Exemplo:
Se A = {2, 4, 7, 9, 3}, então P(A) terá 25 = 32 elementos.
União de conjuntos (U):
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A 
com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a 
A ou a B.
Notação: A U B (lê-se "A união B").
A U B = {x | x U A ou x U B}
Propriedades da União de Conjuntos:
Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, a união
A U B será o conjunto A.
B C A A U B = A, para todo A, B.
A operação de união é comutativa.
A U B = B U A, para todo A, B.
A operação de união é associativa.
(A U B) U C = A U (B U C), para todo A, B, C.
Exemplos:
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
A U B = {2, 3, 5, 6, 8, 9}
A = {3, 5}
B={2,3,4,5,6}
A U B = {2, 3, 4, 5, 6} = B
A = {2, 3, 5}
B = {4, 6}
A U B = {2, 3, 4, 5, 6}
Interseção de Conjuntos ( ):
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A com B ao 
conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao 
conjunto B.
Notação: A B (lê-se "A intersecção B").
A B = {x | x A e x B}
Subconjunto
-Conceito
A relação de inclusão relaciona conjuntos, indicando se um 
conjunto está contido ou não em um outro conjunto. Se todos 
os elementos de um conjunto A pertencerem a outro conjunto 
B, então o conjunto A está contido no conjunto B. Se um único 
elemento do primeiro conjunto A não pertencer ao segundo 
conjunto B, temos que o conjunto A não estará contido no 
conjunto B.
Exemplo:
Considere o conjunto das letras do nosso alfabeto:
A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z}
Temos que A é formado pelo conjunto de vogais (V) e pelo 
conjunto de consoantes (C).
V = {a, e, i, o, u}
C = { b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, x, y, z}
O conjunto das vogais é um subconjunto do conjunto das letras 
do nosso alfabeto.
Simbolicamente, temos:
V C A (Lê-se: V está contido em A), ou
A V (Lê-se: A contém V) 
Um subconjunto de um conjunto é qualquer outro conjunto 
cujos elementos são, necessariamente, elementos do conjunto 
original.
-Propriedades:
1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto:
Simbolicamente: A C B - [ x Є A, x Є B]
Exemplos:
Ø C {1, 2, 3}
Ø C Ø
2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
Simbolicamente: A C A, A
3. Todo conjunto é um subconjunto do conjunto Universo, no 
contexto considerado. Para indicar que um conjunto A não é 
subconjunto de B, escreve-se:
A B (Lê-se ‘’A não está contido em B’’), ou
B A (Lê-se ‘’B não contém A’’)
Exemplo:
a) {a, b, c} {a, b, d}
Atenção:
1. A relação de inclusão (C) é usada exclusivamente para 
relacionar um subconjunto B cpm um conjunto A que contém 
B: B C A.
2. A relação de pertinência ( Є ) é usada exclusivamente para 
relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x 
como elemento: x Є A.
Conjunto cujos elementos são conjuntos
Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos. 
Considere, por exemplo, o conjunto:
P = {Ø, {a}, {b}, {a, b}}
Ø é elemento de P e, portanto, escrevemos Ø Є P. Além disso, 
temos também que:
{a} Є P, {b} Є P, {a, b} Є P.
Vejamos alguns subconjuntos de P:
{Ø} C P: Todos os elementos de {Ø}, no caso só há o elemento Ø, 
é elemento de P.
{{a}} C P: Todos os elementos de {{a}}, no caso só há o elemento 
{a}, é elemento de P.
{{a, b}} C P: Todos os elementos de {{a, b}}, no caso só há o 
elemento {a, b}, é elemento de P.
{{a}, {b}} C P: Todos os elementos de {{a}, {b}}, no caso os 
elementos {a} e {b}, são elementos de P.
Conjunto das partes de um conjunto:
Considere o conjunto A = {1, 2}. Vamos escrever os 
subconjuntos de A:
a) com nenhum elemento: Ø
b) com um elemento: {1}, {2}
c) com dois elementos: {1,2}
P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}}
Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto 
cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
Notação: P(A) (lê-se P de A)
Exemplo:
a) No exemplo acima, P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}}.
b) Dado um conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):
P(B) = {Ø, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n. p}, {m, n, p}}
Observe que, no primeiro exemplo (a), o conjunto A tem dois 
elementos e obtivemos P(A) com 4(2²) elementosm isto é, A 
tem 4 subconjuntos.
De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o 
número de elementos de P(A) é 2 .
Exemplo:
Se A = {2, 4, 7, 9, 3}, então P(A) terá 25 = 32 elementos.
União de conjuntos (U):
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A 
com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a 
A ou a B.
Notação: A U B (lê-se "A união B").
A U B = {x | x U A ou x U B}
Propriedades da União de Conjuntos:
Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, a união
A U B será o conjunto A.
B C A A U B = A, para todo A, B.
A operação de união é comutativa.
A U B = B U A, para todo A, B.
A operação de união é associativa.
(A U B) U C = A U (B U C), para todo A, B, C.
Exemplos:
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
A U B = {2, 3, 5, 6, 8, 9}
A = {3, 5}
B={2,3,4,5,6}
A U B = {2, 3, 4, 5, 6} = B
A = {2, 3, 5}
B = {4, 6}
A U B = {2, 3, 4, 5, 6}
Interseção de Conjuntos ( ):
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A com B ao 
conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao 
conjunto B.
Notação: A B (lê-se "A intersecção B").
A B = {x | x A e x B}
Propriedades da Interseção de Conjuntos:
Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, a
interseção A B será o conjunto B.
B C A - A B = B, para todo A, B.
A operação de interseção é comutativa.
A B = B A, para todo A, B.
A operação de interseção é associativa.
(A B) C = A (B C), para todo A, B, C.
Exemplos:
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
A B = {3, 5, 8}
A = {3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
A B = {3, 5} = A
A = {2, 3, 5}
B = {4, 6}
A B = Ø
Diferença de Conjuntos (-):
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B ao 
conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
Notação: A - B (lê-se "A menos B").
A - B = {x | x Є A e x B}
Exemplos:
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
A - B = {2, 6}
B -A = {9}
A = {3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
A - B = { } = Ø
Complementar de um Conjunto (C):
Se A e B são conjuntos tais que A C B, então a diferença B - A é 
chamada complementar de A em B.
Notação: C (lê-se "complementar de A em B").
C = B - A = {x | x Є B e x A}, onde A C B
Exemplos:
A = {3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
Existe C , pois A C B.
C = {2, 4, 6}
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
Como A B, então não existe: C
n
U 
U 
U U U 
U 
U 
U U 
U U U U 
U 
UU 
Є/
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
Є/
С /