Aula 02 - Conjunto Numérico, Intervalo - Fundamentos de Matemática

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Fundamentos da Matemática
Aula 02:
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais (N)
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
O conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero):
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
Operações em N:
Adição
Multiplicação
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Inteiros não negativos: todos os números inteiros que não são 
negativos.
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} , logo: (Z+=N)
Inteiros não positivos: todos os números inteiros que não são 
positivos.
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Inteiros não negativos e não-nulos: conjunto Z+ excluindo o zero. 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}, logo: Z*+ = N*
Inteiros não positivos e não nulos: todos os números do 
conjunto Z- excluindo o zero.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
Operações em Z:
Adição
Multiplicação
Divisão (* 1/3)
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração:
a/b, onde a Є Z e b Є Z*.
Q é um conjunto que engloba os números inteiros (Z).
Pode ocorrer:
Números decimais �nitos (5/2 = 2,5).
Dízimas periódicas (números decimais in�nitos periódicos),
como 1/3 = 0,333333…
Frações para representar os Racionais (Q):
Própria: quando o numerador é menor que o denominador:
2/3
Imprópria: quando o numerador é maior que o denominador: 
5/3
Mista: quando é constituída por uma parte inteira e uma fracionária:
2 2/3 = 2 + 2/3 = 8/3
Conjunto dos Números Irracionais (I)
Formam um conjunto de valores que não podem ser expressos 
na forma de uma fração.
Números decimais in�nitos não-periódicos.
PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência 
pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265358979 ...
Também são irracionais todas as raízes não exatas:
 2 =1, 41421356230950...
 3 =1.73205080756887...
Conjunto dos Números Reais (R)
Os números reais formam um conjunto numérico que 
compreende os números racionais e irracionais.
É a união do conjunto dos racionais (Q) com os irracionais (I)
R=Q U I
Operações em R:
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
Intervalos Numéricos
Os números reais podem ser representados sobre uma reta 
com as seguintes características:
a) Intervalo aberto de�nido pelos números reais a e b:
Neste intervalo, simbolizado por ]a, b[, estão de�nidos todos os 
números reais que são maiores que a e menores que b.
b) Intervalo semiaberto à direita (ou semifechado à esquerda) 
de�nido pelos números reais a e b:
Neste intervalo, simbolizado por [a, b[, estão de�nidos todos os 
números reais que são maiores ou iguais a a e menores que b.
c) Intervalo semiaberto à esquerda (ou semifechado à direita) 
de�nido pelos números reais a e b:
Neste intervalo, simbolizado por ]a, b], estão de�nidos todos os 
números reais que são maiores que a a e menores ou iguais a b.
d) Intervalo fechado de�nido pelos números reais a e b:
Neste intervalo, simbolizado por [a, b], estão de�nidos todos os 
números reais que são maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.
Exercícios
1) Considere os conjuntos de números reais A = {x Є R | 0 < x < 2} 
e B = { x Є R | -3 < x < 1}. Determine os conjuntos: AUB, A B e 
(AUB) - (A B).
С С /Є Є/
2) Represente os seguintes subconjuntos de R na reta numérica:
a) A = { x Є R | x > -3/2 }
b) B = { x Є R | 2 < x < 5 }
3) Considere os conjuntos: A = { x Є R, x > 0}, B = { x Є R, x = 1} e
C = { x Є R, –3 < x = 2}, determine:
a) A B
Resposta: ]0 , 1]
b) AUC
Resposta: ]-3 , ∞)
c) (AUC) - (A B)
Resposta: ]-3 , 0] U ]1 , ∞)
4) Considere os conjuntos D = ] –∞, –1[, E = ] –5, 2 [ e F = ] –1, 4], 
determine:
a) D F
Resposta: ]-5 , -1]
b) EUF
Resposta: (–∞, 2[
c) (EUF) - (D F)
Resposta: (–∞, -5] U [-1 , 2[
|\—
|\—
Conjuntos Numéricos
Números
Reais
Números
Racionais
Números
Irracionais
Números
Inteiros
Números 
Naturais
a b
a b
a b
a b
U 
U 
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Aula 02:
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais (N)
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
O conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero):
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
Operações em N:
Adição
Multiplicação
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Inteiros não negativos: todos os números inteiros que não são 
negativos.
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} , logo: (Z+=N)
Inteiros não positivos: todos os números inteiros que não são 
positivos.
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Inteiros não negativos e não-nulos: conjunto Z+ excluindo o zero. 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}, logo: Z*+ = N*
Inteiros não positivos e não nulos: todos os números do 
conjunto Z- excluindo o zero.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
Operações em Z:
Adição
Multiplicação
Divisão (* 1/3)
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração:
a/b, onde a Є Z e b Є Z*.
Q é um conjunto que engloba os números inteiros (Z).
Pode ocorrer:
Números decimais �nitos (5/2 = 2,5).
Dízimas periódicas (números decimais in�nitos periódicos),
como 1/3 = 0,333333…
Frações para representar os Racionais (Q):
Própria: quando o numerador é menor que o denominador:
2/3
Imprópria: quando o numerador é maior que o denominador: 
5/3
Mista: quando é constituída por uma parte inteira e uma fracionária:
2 2/3 = 2 + 2/3 = 8/3
Conjunto dos Números Irracionais (I)
Formam um conjunto de valores que não podem ser expressos 
na forma de uma fração.
Números decimais in�nitos não-periódicos.
PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência 
pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265358979 ...
Também são irracionais todas as raízes não exatas:
 2 =1, 41421356230950...
 3 =1.73205080756887...
Conjunto dos Números Reais (R)
Os números reais formam um conjunto numérico que 
compreende os números racionais e irracionais.
É a união do conjunto dos racionais (Q) com os irracionais (I)
R=Q U I
Operações em R:
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
Intervalos Numéricos
Os números reais podem ser representados sobre uma reta 
com as seguintes características:
a) Intervalo aberto de�nido pelos números reais a e b:
Neste intervalo, simbolizado por ]a, b[, estão de�nidos todos os 
números reais que são maiores que a e menores que b.
b) Intervalo semiaberto à direita (ou semifechado à esquerda) 
de�nido pelos números reais a e b:
Neste intervalo, simbolizado por [a, b[, estão de�nidos todos os 
números reais que são maiores ou iguais a a e menores que b.
c) Intervalo semiaberto à esquerda (ou semifechado à direita) 
de�nido pelos números reais a e b:
Neste intervalo, simbolizado por ]a, b], estão de�nidos todos os 
números reais que são maiores que a a e menores ou iguais a b.
d) Intervalo fechado de�nido pelos números reais a e b:
Neste intervalo, simbolizado por [a, b], estão de�nidos todos os 
números reais que são maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.
Exercícios
1) Considere os conjuntos de números reais A = {x Є R | 0 < x < 2} 
e B = { x Є R | -3 < x < 1}. Determine os conjuntos: AUB, A B e 
(AUB) - (A B).
2) Represente os seguintes subconjuntos de R na reta numérica:
a) A = { x Є R | x > -3/2 }
b) B = { x Є R | 2 < x < 5 }
3) Considere os conjuntos: A = { x Є R, x > 0}, B = { x Є R, x = 1} e
C = { x Є R, –3 < x = 2}, determine:
a) A B
Resposta: ]0 , 1]
b) AUC
Resposta: ]-3 , ∞)
c) (AUC) - (A B)
Resposta: ]-3 , 0] U ]1 , ∞)
4) Considere os conjuntos D = ] –∞, –1[, E = ] –5, 2 [ e F = ] –1, 4], 
determine:
a) D F
Resposta: ]-5 , -1]
b) EUF
Resposta: (–∞, 2[
c) (EUF) - (D F)
Resposta: (–∞, -5] U [-1 , 2[
U 
U 
U 
U 
A
B
A U B
A B
(A U B) - (A B)
A U B = [-3; 2[
A B = ]0; 1[
(A U B) - (A B) = { x Є R | -3 < x 0 } U { x Є R | 1 x < 2 }
U 
U 
U 
U 
≤ ≤
-3 -2 -1 01 2
-1,5
2 5
A
B
C
A B
A U C
(A U C) - (A B)
U 
U 
-3 -2 -1 0 1 2
+∞
+∞
+∞
-∞
0 1
0 1
0 1
R = 
{ x Є R | 0 < x < 1 } ]0, 1[
R = 
{ x Є R | 0 ≤ x < 1 } [0, 1[
R = 
{ x Є R | 0 ≤ x ≤ 1 } [0, 1]