função 2º grau 20012017 licbiologia2015

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Função do 2º Grau 
Turma: Lic. Biologia 2015 
Cálculo I – 4 horários 
 
 
 
Capanema, 20 de janeiro de 2017. 
- Caracterização geral função do 2º grau 
Definição: y = f(x) = ax2 + bx +c a ≠ 0 
Podemos resumir tais passos com alguns possíveis gráficos: 
Função Polinomial de 2º Grau – (Parábola) 
  cbxaxxf  2 cbxaxy  2
x
 xf 0a 0a
Concavidade voltada para 
cima 
x
y
Concavidade voltada para 
baixo 
  cbxaxxf  2 cbxaxy  2
x
 xf
x
y
Raiz da 
função 
Raiz da 
função 
Raiz da 
função 
Raiz da 
função 
Raízes 
cbxaxy  2
0y
cbxax  20
02  cbxax
acb 42 
a
b
x
2


0 
0 
0 
não existem raízes reais (a 
parábola não toca o eixo das 
abscissas). 
possui duas raízes reais 
iguais (a parábola toca em 
único ponto no eixo das 
abscissas). 
possui duas raízes reais 
distintas ( a parábola toca 
em dois pontos no eixo das 
abscissas. 
x
x x1x 2x
21 xx  Rxex  21 
0a
0
0a
0
0a
0
x x x
1x 2x 21 xx  Rxex  21 
0a
0
0a
0
Raízes reais 
distintas 
Raízes reais iguais Não existem 
raízes reais 
Vértice 
x
y
Vértice 
eixo de 
simetria 
a
yV
4


a
b
xV
2


 VV yxV ,





 

aa
b
V
4
,
2
Função Polinomial de 2º Grau – Vértice 
x
y
Vértice 
x
y
Ponto de 
máximo 
Vértice 
Ponto de 
mínimo 
0a
0a
Exemplo1: em uma certa plantação, a produção 
P, de feijão depende da quantidade q, de 
fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser 
expressa por P = -3q2 + 90q + 525. 
Considerando nessa lavoura a produção medida 
em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2, 
faça um esboço do gráfico, comente os 
significados dos principais pontos, determine a 
quantidade de fertilizante para que a produção 
seja máxima, bem como a produção máxima. 
•
Exemplo1: em uma certa plantação, a produção P, de feijão depende da quantidade q, 
de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por P = -3q2 + 90q + 
525. Considerando nessa lavoura a produção medida em kg e a quantidade de 
fertilizante em g/m2, faça um esboço do gráfico, comente os significados dos principais 
pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem 
como a produção máxima. 
Função do 2º grau ou quadrática ou polinomial de grau 2 
 Obtenção da função 
Para um melhor entendimento vamos analisar a situação a seguir, montando a 
função 
Considere os dados da tabela a seguir, que descrevem a concentração de alumínio 
y = f(x) (mg/kg) em uma espécie de arroz em função do acumulo de fósforo no 
solo x (mg/kg) 
 
x Y 
10 8,9521 
20 4,6891 
30 1,7261 
40 0,0631 
50 -0,2991 
60 0,0631 
70 2,8741 
80 6,4111 
90 11,248 
Tabela 6.1 – Concentração de alumínio na espécie de arroz 
Antes devemos saber que a função quadrática é genericamente definida por 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Inicialmente vamos encontrar o valor de a para esse exemplo, onde a = 
∆2𝑥
(∆𝑥)2
2
 
Onde ∆𝒙 é a variação do eixo x e ∆𝟐𝒚 é a segunda variação da função. podemos 
encontrar esses valores fazendo da seguinte forma 
Primeira variação, calculamos a variação de dois intervalos 
∆𝑦1
∆𝑥
=
𝑓 20 −𝑓(10)
20−10
=
4,6891−8,9521
20−10
=
−4,263
10
= −0,4263 
∆𝑦2
∆𝑥
=
𝑓 30 −𝑓(20)
30−20
=
1,7261−4,6891
30−20
=
−2,963
10
= −0,2963 
x Y 
10 8,9521 
20 4,6891 
30 1,7261 
40 0,0631 
50 -
0,2991 
60 0,0631 
70 2,8741 
80 6,4111 
90 11,248 
 Em seguida calculamos a segunda variação 
∆2𝑦
(∆𝑥)2
=
∆𝑦2
∆𝑥 −
∆𝑦1
∆𝑥
30 − 20
=
−0.2963 − (−0.4263)
30 − 20
=
0.13
10
= 0.013 
 Para uma melhor visão podemos fazer para os demais intervalos 
restantes e obtemos a seguinte tabela 
x Y ∆𝒚/∆𝒙 ∆𝟐𝒚
/(∆𝟐𝒙)𝟐 
10 8,9521 
20 4,6891 -0,4263 
30 1,7261 -0,2963 0,013 
40 0,0631 -0,1663 0,013 
50 -0,2991 -0,0363 0,013 
60 0,0631 0,0937 0,013 
70 2,8741 0,2237 0,013 
80 6,4111 0,3537 0,013 
90 11,248 0,4837 0,013 
Tabela 6.2 – representação da segunda variação dos intervalos 
Os dados de uma tabela, 
constituem uma função 
quadrática se os valores 
da segunda variação, 
forem uma constante 
não-nula. 
Sabendo como calcular o valor de a temos: 
𝑎 = 
∆2𝑥
(∆𝑥)2
2
=
0,013
2
= 0,0065 
Dizemos que para a > 0 , o gráfico que é representado por uma parábola tem sua 
concavidade para cima, no caso de a < 0 a parábola tem concavidade para baixo. 
a > 0 a < 0 
y 
x 
y 
x 
A obtenção dos valores de b e c pode ser feito a partir da resolução de um sistema 
de duas equações, para determinar vamos selecionar os pontos (10; 8,9521) e (20; 
4,6891). 
Substituindo na função genérica, temos: 
𝑓 10 = 0,0065(10)2+10𝑏 + 𝑐 
8,9521 = 0,6500 + 10𝑏 + 𝑐 
8,9521 − 0,6500 = 10𝑏 + 𝑐 
8,3021 = 10𝑏 + 𝑐 
𝑓 20 = 0,0065(20)2+20𝑏 + 𝑐 
4,6891 = 2,6000 + 20𝑏 + 𝑐 
4,6891 − 2,6000 = 20𝑏 + 𝑐 
2,0891 = 20𝑏 + 𝑐 
Montando o sistema temos: 
20𝑏 + 𝑐 =2,0891 
10𝑏 + 𝑐 = 8,3021 Resolvendo o sistema temos b = -0,6213 
e c = 14,5151 
𝑓 𝑥 = 0,0065𝑥2 − 0,6213𝑥 + 14,5151 (𝑚𝑔/𝑘𝑔) Assim, temos a nossa 
função: 
 Calculando as raízes de uma função do segundo grau 
 Sabendo a conformação genérica da função do 2º grau podemos 
encontra as raízes utilizando a fórmula de Bháskara 
𝑥 = 
−𝑏 ∓ ∆
2𝑎
 
Onde ∆ (delta) é definido como 𝑏2 − 4𝑎𝑐 no caso de a > 
0,temos as seguintes representações 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0 
Tendo a função vamos calcular as raízes, primeiramente calcula-se o delta e em 
seguida o substituímos na fórmula de Bháskara. 
0,0065𝑥2 − 0,6213𝑥 + 14,5151 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = (−0,6213)2 − 4(0,0065)(14,5151) 
∆ = (−0,6213)2 − 4(0,0065)(14,5151) 
∆= 0,3860 − 0,3773 
∆= 0,0087 
Substituindo os valores de a e b e de delta na fórmula de bháskara, temos 
𝑥 = 
−𝑏 ∓ ∆
2𝑎
 
𝑥 = 
−(−0,6213) ∓ 0,0087
2(0,0065)
 
0,0065𝑥2 − 0,6213𝑥 + 14,5151 
𝑥 = 
0,6213 ∓ 0,0932
0,013
 
Podemos observar os dois sinais, então vamos ter que encontrar uma valor pra 
cada um dos dois sinais, o que chamaremos de x’ e x”. 
𝑥′ = 
0,6213 + 0,0932
0,013
 𝑥" = 
0,6213 − 0,0932
0,013
 
𝑥′ = 54,93𝑚𝑔/𝑘𝑔 𝑥" = 40,63 𝑚𝑔/𝑘𝑔 
 Na plotagem do gráfico, observa – se que as raízes são onde os pontos 
tocam o eixo x . 
O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, 
em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 
12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências 
nesse período do dia foi 
 
A) 0 
B) 9 
C) 15 
D) 18 
 A temperatura t de uma estufa (em graus Celsius) é determinada, em função da 
hora h do dia, pela expressão t = -h2 + 22h – 85. 
Responda: 
a) Em quais horários a temperatura é 0oC? 
b) Em que período(s) do dia a temperatura é positiva ? E negativa ? 
c) Em que período(s) do dia a temperatura é crescente ? E decrescente ? 
d) Em que horário a temperatura é máxima ? Qual é a temperatura máxima ? 
O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado 
por 𝐸 = 𝑡2 − 8𝑡 + 210, onde o consumo E é dado em kwh e ao tempo associa-se t = 0 
a janeiro, t = 1 a fevereiro, e assim sucessivamente. 
 
a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh. 
b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano? 
c) Com base nos dados obtidos no item anterior,esboce o gráfico de E.