função exponencial 23012017 licbiologia2015

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Funções: Exponencial e 
Logarítmica 
Turma: Lic. Biologia 2015 
Cálculo I – 4 horários 
 
 
 
Capanema, 23 de janeiro de 2017. 
Características de uma função exponencial 
Esta é dada genericamente por 
𝑓 𝑥 = 𝑏. 𝑎𝑥 
Onde a > 0, a ≠ 1 e b ≠ 0. 
 
b representa o valor da função quando x = 0, e o ponto em que a curva corta o eixo 
x. Em situações práticas o b é chamado de valor inicial. 
Deve-se saber que 
Quando a base a > 1, temos que a função exponencial é crescente; 
Quando a base 0 < a < 1, temo que a função exponencial é decrescente; 
Considerando que b > 0. 
 0 < a < 1 a> 1 
Como obter uma função exponencial 
Caso 1: identificando a evolução exponencial 
A tabela a seguir mostra os dados do crescimento de uma população (em 
milhares) de bactérias inoculadas por meio de uma cultura. Para avaliar o 
crescimento, observa-se os dados da terceira coluna da tabela 
x (gerações) P (x) (milhares) 
0 132 
1 158,4 
2 190,08 
3 228,096 
4 273,715 
5 328,46 
6 394,15 
Onde a é o valor inicial e a fator de multiplicativo 
Podemos dividir a população de cada geração pela geração anterior, assim 
temos 
𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 1
𝑃𝑜𝑙𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 0
=
158
132
= 1,2 
𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 2
𝑃𝑜𝑙𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 1
=
190,08
158
= 1,2 
𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 3
𝑃𝑜𝑙𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 2
=
228,096
190,08
= 1,2 
𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 4
𝑃𝑜𝑙𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 3
=
273,715
228,096
= 1,2 
Observa-se que o valor 1,2 se repete nas divisões, isso é um fenômeno que ocorre 
nas funções exponenciais, logo assim podemos definir esse valor como fator 
multiplicativo, ou seja, a, e representa-lo de forma genérica como 
𝑎 = 
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥 − 1)
 
 Para obter b, basta pegarmos um valor de x e seus correspondente em y, e 
o valor de a, e substituir tais valores na forma genérica. 
158,4 = 𝑏. 1,21 𝑏 =
158,4 
1,2
 𝑏 = 132 
Para este exemplo, temos como função a expressão 
𝑃 𝑥 = 132. 1,2𝑥 
Torna-se possível visualizar que b, representa o valor inicial, pois se dissermos que x 
= 0, temos 
𝑃 0 = 132. 1,20 𝑃 0 = 132.1 𝑃 0 = 132 
Caso 2: Exponencial a partir de dois pontos 
Em um silo de armazenamento, os grãos de cereais estocados, com o tempo, 
começam a estragar, sendo que a quantidade de grãos ainda em condições de 
consumo começa a decair segundo um modelo exponencial. observe a tabela a 
seguir 
Tempo após a estocagem (x) (anos) 2 5 
Quantidade aproveitável de Cereais (y) 
(toneladas) 
576 243 
Sabendo desses valore podemos substituí-los na função genérica obtendo 
576 = 𝑏. 𝑎2 243 = 𝑏. 𝑎5 
Pode-se então montar um sistema e resolvê-lo dividindo a primeira equação pela 
segunda 
𝑏. 𝑎2 = 576 
𝑏. 𝑎5 = 243 
𝑏. 𝑎5
𝑏. 𝑎2
=
243
576
 
𝑏. 𝑎5
𝑏. 𝑎2
=
243
576
 𝑎3 = 0,421875 𝑎 = 0,421875 
𝒂 = 𝟎, 𝟕𝟓 
Para encontrar b, temos 
𝑏. 0,752 = 576 
𝑏. 0,5625 = 576 
𝑏 =
576
0,5625
 
𝑏 = 1024 
Assim, temos 
𝑓 𝑥 = 1024. 0,75𝑥 
Caso 3: exponencial a partir do fator multiplicativo 
A população de uma cidade é de 450000 habitantes e cresce 1,43% ao ano. 
Sabendo desses dados podemos determinar a função que rege o crescimento 
de tal população. 
𝑏𝑎𝑠𝑒 = 1 + 
𝑖
100
 
Sendo i a taxa e a população expressa genericamente por 𝑃 = 𝑏. 𝑎𝑡 
𝑎 = 1 + 
1,43
100
 
𝑎 = 1,0143 
E a População e dada por 
𝑃 = 450000. 1,0143𝑡 
Situação de aplicação 
Em alguns casos e bem simples determinar x a partir do dado y. Por exemplo, 
sendo 𝑦 = 3. 2𝑥, vamos determinar quando y = 96 resolvendo a equação 
exponencial: 
3. 2𝑥 = 96 
2𝑥 =
96 
3
 
2𝑥 = 32 
2𝑥 = 25 
𝑥 = 5 
Situação problema 
O montante uma dívida no decorrer de x meses é dado por 𝑀 𝑥 =
10000. 1,05𝑥 .Determinar após quanto tempo o montante será de $ 40000. 
 
Substituindo M(x) = 40000 
40000 = 10000. 1,05𝑥 
1,05𝑥 =
40000
10000
 
1,05𝑥 = 4 
Para esse caso observamos que não se consegue igualar as bases, sendo assim 
precisamos de conhecimento da chamada função logarítmica. 
Função Logarítmica 
 Definição: Dado um número a, positivo e diferente de 1, e um número c 
positivo, o expoente x que se eleva a base a resultando no número c é chamado de 
logaritmo de c na base a: 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 = 𝑥 
Chamamos a de base, e c de logaritmano ou antilogaritmo e x de logaritmo 
𝑙𝑜𝑔28 = 3 ↔ 2
3 = 8 
Em condição de existência podemos escrever o logaritmo em várias base, porém as 
mais utilizadas são a base 10 e a base e, este sendo um número racional de valor 
aproximadamente 2,71828, sendo este chamado de logaritmo natural (possui base 
e) 
Propriedades dos logaritmos 
Sendo assim podemos dar a solução do exemplo anterior 
40000 = 10000. 1,05𝑥 
1,05𝑥 =
40000
10000
 
1,05𝑥 = 4 
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados da igualdade, temos 
ln 1,05𝑥 = ln 4 
x. ln 1,05 = ln 4 
𝑥 =
ln 4
ln 1,05
 
𝑥 ≅
1,38629436
0,04879016
 
𝑥 ≅ 28,41340057 
𝑥 ≅ 28,4 
1) Um trator tem seu valor dado pela função V(x) = 125.000 . 0,91x, onde x 
representa o ano após a compra do trator e x = 0, o ano em que foi 
comprado o trator. 
 
a) Calcule o valor do trator após 1; 5 e 10 anos da compra. 
 
b) Qual o valor do trator na data da compra? Qual o percentual de 
depreciação do valor em um ano? 
 
c) Esboce o gráfico de V(x). 
 
d) Após quanto tempo o valor do trator será $ 90.000,00? 
2) Uma máquina copiadora após a compra tem seu valor depreciado a 
uma taxa de 11,5% ao ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por 
uma função exponencial e que o valor na compra é de $ 68.500,00: 
 
a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra da 
máquina copiadora, isto é, V = f(x). 
 
b) Obtenha o valor da máquina copiadora após 1, 5 e 10 anos da 
compra. 
 
c) Esboce o gráfico V(x). 
 
d) Após quanto tempo o valor da máquina será a metade do valor 
inicial? 
3) Aplica-se uma dose de 50mg de quinino a um paciente para prevenir uma 
crise de malária. O quinino deixa o corpo a uma taxa de 6% por hora. 
 
a) Obtenha uma fórmula para a quantidade A (em mg) de quinino t horas após a 
Aplicação. 
 
b) Quanto quinino resta no corpo após 24 horas? 
 
c) Esboce o gráfico de A em função de t. 
 
d) Em que instante restará 5 mg de quinino? 
4) Encontre uma fórmula para a quantidade de mexilhões em uma baía 
em função do número de anos desde 2003, dado que existiam 2700 
mexilhões no início de 2003 e 3186 no início de 2004. 
 
a) Suponha que o número de mexilhões cresce de acordo com uma 
função afim. Forneça as unidades para o coeficiente angular da reta 
e interprete esse valor em termos de mexilhões. 
 
b) Suponha que o número de mexilhões está crescendo 
exponencialmente. Qual é a taxa percentual de crescimento da 
população de mexilhões