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Capítulo 08

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E í iEstatística
Teoria e AplicaçõesTeoria e Aplicações
5a. Ediçãoç
Capítulo 8
Estimativa do Intervalo de Confiançaç
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-1
Objetivos de aprendizado
Neste capítulo, você aprenderá:
C i i i i d Construir e interpretar estimativas de 
intervalos de confiança para a média
aritmética e para a proporção;aritmética e para a proporção;
 Como determinar o tamanho da amostra
necessário para desenvolver um intervalo denecessário para desenvolver um intervalo de 
confiança para a média ou para a proporção;
 Como utilizar estimativas de intervalos de Como utilizar estimativas de intervalos de 
confiança em auditorias.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-2
Esboço do Capítulo
1. Intervalos de Confiança para a Média da
População μ:População, μ:
 Quando desvio padrão σ é conhecido
Q d d i d ã é d h id Quando desvio padrão σ é desconhecido
2. Intervalos de confiança para a proporção da
l ãpopulação, π
3. Determinando o tamanho da amostra
idrequerida
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-3
Estimativas Pontuais
 Uma estimativa pontual é um simples número. 
Para a média da população (e o desvio padrão), 
ma estimati a pont al é a média da amostra (e ouma estimativa pontual é a média da amostra (e o 
desvio padrão da amostra). 
 Um intervalo de confiança provê informaçãoUm intervalo de confiança provê informação
adicional sobre a variabilidade.
Limite Inferior de Limite Superior de 
Estimativa PontualConfiança Confiança
Largura do Intervalo de Confiança
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-4
Largura do Intervalo de Confiança
Estimativa do Intervalo deEstimativa do Intervalo de 
Confiança
 Um intervalo de confiança dá uma estimativa da faixa
d lde valores:
 Leva em consideração a variação na estatística da amostra;
 Baseado em todas as observações a partir de uma amostra.
 Fornece informação sobre a proximidade para parâmetros
da população desconhecidos
 Expresso em termos de nível de confiança:
 Ex. 95% confiança, 99% confiança
 Nunca pode ser 100% confiável
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-5
Estimativas de intervalo deEstimativas de intervalo de 
confiança
 A fórmula geral para todos A fórmula geral para todos
intervalos de confiança é:
Estimativa de ponto ± (Valor Crítico) (Erro Padrão)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-6
Nível de confiança
 Nível de confiança:
 Confiança na qual o intervalo irá conter o 
parâmetro da população desconhecido.
 Um percentual (menor do que 100%)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-7
Nível de Confiança
 Suponha um nível de confiança = 95% 
T bé i (1 ) 0 95 Também escrito (1 - ) = 0,95
 Uma interpretação da frequência relativa:
 Em uma corrida longa, 95% de todos os intervalos de 
confiança que podem ser construídos irão conter o 
parâmetro verdadeiro desconhecido;
 Um intervalo específico irá conter ou não conterá o 
parâmetro verdadeiro.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-8
Intervalo de Confiança para μIntervalo de Confiança para μ
(σ Conhecido)
Suposições
 Desvio padrão da população σ é conhecido
 A população é distribuida normalmente
 Se a população não é normal, use uma amostra grande
Estimativa do intervalo de confiança:
σ
n
σZX 
(onde Z é o valor crítico da distribuição normal padronizada
para uma probabilidade de α/2 em cada cauda)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-9
Encontrando o valor crítico, Z
Considere um intervalo de confiança de 95%:
9501  ,9501 
0 02α 0 02α0,025
2
α  0,025
2
α 
Z= -1,96 Z= 1,96
Limite Inferior 
de Confiança
Limite Superior 
de Confiança
Z unidades:
X unidades: Estimativa
0
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-10
ç çX unidades:
pontual
Encontrando o valor crítico, Z
Níveis de confiança comumente utilizados são: 90%, 
95% e 99%95% e 99%.
Nível de 
Confiança
Coeficiente
de Confiança Z valor
1,28
1 645
0,80
0 90
80%
90% 1,645
1,96
2,33
0,90
0,95
0,98
90%
95%
98% ,
2,58
3,08
,
0,99
0,998
99%
99,8%
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-11
3,270,99999,9%
Intervalos e Níveis deIntervalos e Níveis de 
Confiança
Distribuição amostral
da média 1
x
/2 /21
μμ x Intervalos
variam de (1-)x100%x1
x2
até
dos intervalos
construídos
contém μ;
n
σZX 
x2
I t l d C fi
até contém μ; 
()x100% não
contémn
σZX 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-12
Intervalos de Confiança contém.n
Intervalos de Confiança para μIntervalos de Confiança para μ
(σ Conhecido): Exemplo
 Uma amostra de 11 circuitos de uma grandeg
população normal tem uma resistência média de
2,20 ohms. Sabe-se de testes anteriores que o, q
desvio padrão da população é 0,35 ohms.
 Determine um intervalo de confiança de 95% para
a resistência média verdadeira da populaçãoa resistência média verdadeira da população.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-13
Intervalo de Confiança para μIntervalo de Confiança para μ
(σ Conhecido): Exemplo
n
σ  ZX
0 20682 20
)11(0,35/ 1,96 2,20
n


2,4068) ; (1,9932
0,20682,20 
 Estamos 95% confiantes de que a resistência média verdadeira está
entre 1,9932 e 2,4068 ohms.
 Embora a média verdadeira possa ou não estar neste intervalo, 95%
dos intervalos formados desta forma irá conter a média verdadeira.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-14
Intervalo de Confiança para μIntervalo de Confiança para μ
(σ Desconhecido)
 Se o desvio padrão da população σ é
desconhecido, podemos substituir pelo
desvio padrão da amostra, s;
 Isto introduz uma incerteza extra, pois s
varia de amostra para amostra;p ;
 Então usamos a distribuição t ao invés da
distribuição normaldistribuição normal.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-15
Intervalo de Confiança para μIntervalo de Confiança para μ
(σ Desconhecido)
Suposições
 Desvio padrão da população é desconhecidoDesvio padrão da população é desconhecido
 População é distribuida normalmente
 Se a população não é normal utilize amostras grandesSe a população não é normal, utilize amostras grandes
Utilize Distribuição t de Student
Estimativa do Intervalo de Confiança: SEstimativa do Intervalo de Confiança:
n
StX 1-n
(onde t é o valor crítico da distribuição t com n-1 graus de 
liberdade e uma área de α/2 em cada cauda)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-16
liberdade e uma área de α/2 em cada cauda) 
Distribuição t de Student
O valor t depende do grau de liberdade (g l ) O valor t depende do grau de liberdade (g.l.)
 Número de observações que são livres para variar
depois da média da amostra ter sido calc lada:depois da média da amostra ter sido calculada:
g.l. = n - 1
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-17
Graus de Liberdade
Ideia: Número de observações que são livres para variar
depois da média da amostra ter sido calculada.
l h édi d ú éExemplo: Suponha que a média de 3 números é 8,0
S j X 7 Se a média destes três números
é 8,0, então X deve ser 9,0 
(i e X não é li re para ariar)
 Seja X1 = 7
 Seja X2 = 8
 Qual o valor de X ? (i.e., X3 não é livre para variar) Qual o valor de X3?
Aqui, n = 3, então graus de liberdade = n – 1 = 3 – 1 = 2
(Dois valores podem ser quaisquer números, mas o terceiro não é livre
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-18
para variar para uma dada média)
Distribuiçãot de Student
N ZNote: t Z como n aumenta
Padrão Normal
(t com gl = ∞)
t (gl = 13)
t-distribuições são em forma
d i i ét i t
t (gl = 5)
de sino e simétricas, mas tem
caudas ‘mais largas’ do que o
normal
t
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-19
t0
Tabela t de Student
Área da Cauda
Superior Seja: n = 3
gl 0,25 0,10 0,05
Seja: n 3 
gl = n - 1 = 2 
 = 0,10
1 1,000 3,078 6,314
2 0 817 1 886 2 920
/2 =0,05
2 0,817 1,886 2,920
3 0,765 1,638 2,353 /2 = 0,05, , ,
0
O corpo da tabela contém o 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-20
t0 2,920valor t, não a probabilidade
Intervalo de confiança para μIntervalo de confiança para μ
(σ Desconhecido): Exemplo
Uma amosttra aleatória de n = 25 tem X = 50 e S = 8. 
Determine um intervalo de confiança de 95% para μDetermine um intervalo de confiança de 95% para μ
 g.l. = n – 1 = 24, então
O intervalo de confiança é O intervalo de confiança é 
8(2 0639)50S X
25
(2,0639)50
n1-n /2,
 tX
(46,698 ; 53,302)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-21
Intervalos de Confiança para aIntervalos de Confiança para a 
proporção da população, π
 Uma estimativa do intervalo para a Uma estimativa do intervalo para a
porporção da população ( π ) pode ser
calculado pela adição de um subsídio para a
incerteza com a proporção da amostra ( p )
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-22
Intervalos de Confiança para aIntervalos de Confiança para a 
Proporção da População, π
Lembre que a distribuição da proporção da amostra é
aproximadamente normal se o tamanho da amostra for grande,p g ,
com desvio padrão igual a:
)(1
n
)(1
σp
 
Como estimamos o desvio padrão com dados da amostra, temos:
n
n
p)p(1
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-23
n
Intervalos de Confiança para aIntervalos de Confiança para a 
Proporção da População, π
Os limites superior e inferior de confiança para a proporção da
população são calculados com a equação:
p)p(1Z 
O d
n
p)p(Zp 
Onde: 
 Z é o valor crítico da distribuição normal padronizada para
o nível de confiança desejadoo nível de confiança desejado
 p é a proporção da amostra
 n é o tamanho da amostra
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-24
n é o tamanho da amostra
Intervalos de confiança para aIntervalos de confiança para a 
proporção da população: exemplo
Uma amostra aleatória de 100 pessoas mostra que 25 solicitaram
este ano o pedido de aposentadoria Determine um intervalo deeste ano o pedido de aposentadoria. Determine um intervalo de
confiança de 95% para a proporção verdadeira da população que
pediu a aposentadoria.
p)/np(1p  Z
 /1000,25(0,75)96,125/100
0,3349) ; (0,1651 
(0,0433) 1,96 0,25 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-25
, );( ,
Intervalos de confiança para aIntervalos de confiança para a 
proporção da população, exemplo.
 Estamos 95% confiantes de que o percentual
d d i d d l ã áverdadeiro de aposentados na população está
entre 16,51% e 33,49%. Embora o intervalo
d 0 1651 à 0 3349 ãde 0,1651 à 0,3349 possa ou não conter a
proporção verdadeira, 95% dos intervalos
f d d d h 100 dformados das amostras de tamanho 100 desta
maneira conterá a proporção verdadeira.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-26
Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da
amostra
 O tamanho da amostra requerido pode ser encontrado
d j d d ( ) í lpara uma margem desejada de erro (e) com um nível
de confiança especificada (1 - )
 A margem de erro é também chamado de erro de 
amostragem.
 O valor da imprecisão na estimativa do parâmetro da
população;
 O valor adicionado e subtraído da estimativa pontual
forma o intervalo de confiança
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-27
IL1
Slide 27
IL1 amount: quantidade; valor
Igor Lima; 08/10/2011
Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da
amostra
 Para determinar o tamanho da amostra
requerida para a média você deve saber:requerida para a média, você deve saber:
 O nível de confiança desejado (1 - ), o qual
determina o valor crítico de Z;determina o valor crítico de Z;
 O erro de amostragem aceitável (margem de 
erro) eerro), e
 O desvio padrão, σ
22Z
n
σZe 
2
22
e
σZn Resolvendo-se para n
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-28
n ep
Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da
amostra
Se  = 45, que tamanho de amostra é necessárioSe  45, que tamanho de amostra é necessário
para estimar a média com ± 5 com 90% de
confiança?confiança?
219 19(45)(1,645)σ
2222
 Zn 219,19
522

e
n
Portanto, o tamanho da amostra necessário é n = 220
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-29
Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da
amostra
 Se desconhecido, σ pode ser estimado
d ã l i dquando se usa a equação relacionado ao
tamanho da amostra
 Use um valor para σ que é esperado ser, no 
mínimo, tão grande quanto o valor real de σ
 Selecione uma amostra piloto e estime σ com o 
desvio padrão da amostra, S
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-30
Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da
amostra
Para determinar o tamanho da amostra requerida para a 
proporção, você deve saber:p p ç ,
 O nível de confiança desejado (1 - ), o qual
determina o valor crítico de Z;
 O erro de amostragem aceitável (margem de error), e
 A proporção verdadeira de “sucessos”, πp opo ção ve dade a de sucessos , π
 π pode ser estimado com uma amostra piloto, se 
necessário (ou de forma conservadora use π = 0,50)
2
2 )1(
e
Zn  Agora, resolva paranZe
)1(  
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-31
ep
obter nn
Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da
amostra
Qual deve ser o tamanho da amostra necessário
i ã l d f ipara estimar a proporção real defeituosa em uma
grande população com uma margem de erro ±3% e 
95% fi ?95% confiança?
 (Assuma que a amostra piloto fornece: p = 0,12)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-32
Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da
amostra
Solução:
P 95% d fi Z 1 96Para 95% de confiança, use Z = 1,96
e = 0,03,
p = 0,12, então use p para estimar π
450,74
(0 03)
0,12)(0,12)(1(1,96))1(
2
2
2
2

e
Zn 
Então use n = 451
(0,03)e
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-33
Aplicações em Auditoria
 Seis vantagens de amostragem estatística em
di iauditoria:
 O resultado amostral é objetivo e defensável
 Baseia-se em princípios estatísitcos demonstráveis
 Fornece uma estimativa do tamanho da amostra
 Fornece uma estimativa do erro de amostragem
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-34
Aplicações em auditoria
 Pode prover conclusões mais exatas sobre a 
população:população:
 Examinar a população por ser demorado e sujeito
a maior erro de não-amostragem;
 Amostras podem ser combinadas e validadas
por diferentes auditores:
A t ã b d b d i tífi Amostras são baseadas em abordagem científica;
 Amostras podem ser tratadas como se tivessem
sido feitas por um único auditor.p
 A avaliação objetiva dos resultados é possível:
 Baseado no erro de amostragem conhecido
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-35
Valor total da população
 Estimativa de ponto:
XN total População
 Estimativa do intervalo de confiança: 
NS
1N
nN
n
S)t(NXN 1n
  1Nn 
(Isto é uma amostragem sem reposição,então use uma correção de população
fi i ã d i l d fi )
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-36
finita na equação do intervalo de confiança)
Valor total da população
 Uma empresa tem uma população de 1000 contas e 
deseja estimar o valor da população totaldeseja estimar o valor da população total. 
Uma amostra de 80 contas é selecionada com um Uma amostra de 80 contas é selecionada com um 
saldo médio de $87,6 e desvio padrão de $22,3. 
 Encontre a estimativa do intervalo de confiança de 
95% do saldo total95% do saldo total.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-37
Valor total da população
22,3S 87,6X 80 n 1000N 
nNS)(tNXN 1

80100022,3905)(1000)(1 96)(1000)(87
1Nn
)(tNXN 1n

 
4.762,4887.600
1100080
905)(1000)(1,96)(1000)(87,


O intervalo de confiança de 95% para o saldo total é 
$82 837 52 à $92 362 48
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-38
$82.837,52 à $92.362,48
Intervalo de confiança para aIntervalo de confiança para a 
diferença total
 Estimativa do ponto:
DN totalDiferença 
 Onde a média da diferença é: D
D 1
D
n
i
i



original valor - valor D i auditadoonde
n

Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-39
Intervalo de confiança para aIntervalo de confiança para a 
diferença total
Estimativa do intervalo de confiança: 
nNS)t(NDN D1n

1Nn
)t(NDN 1n  
onde: 
)DD(
n
2
i 
1n
)DD(
S 1i
i
D 


Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-40
Intervalo de confiançaIntervalo de confiança
unilateral
Aplicação: Encontre o limite superior para a proporção de itens
que estão na taxa de não-conformidade com os intervalos de 
lcontrole
nNp)p(1ZpsuperiorLimite 
onde
1Nn
Zpsuperior Limite 
 Z é o valor normal padronizado para o nível de confiança
desejado;
 p é a proporção da amostra de itens que estão não p é a proporção da amostra de itens que estão não-
conforme;
 n é o tamanho da amostra
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-41
 N é o tamanho da população
Questões éticas
 Um intervalo de confiança (refletindo erro de 
) d damostragem) deve sempre ser reportado
junto com a estimativa de ponto; 
 O nível de confiança deve sempre ser 
reportado; 
 O tamanho da amostra deve ser reportado;
 Uma interpretaçao da estimativa do intervaloUma interpretaçao da estimativa do intervalo
de confiança deve ser fornecida
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-42
Sumário do capítulo
 Introduzido o conceito de intervalo de confiança;
Neste capítulo, temos:
Introduzido o conceito de intervalo de confiança;
 Discutido estimativa pontual;
 Desenvolvido estimativas de intervalos de confiança; Desenvolvido estimativas de intervalos de confiança;
 Criado estimativas de intervalos de confiança para a 
média (σ conhecido);média (σ conhecido);
 Determinado estimativas de intervalos de confiança
para a média (σ desconhecido);p ( );
 Criado estimativas de intervalos de confiança para a 
proporção;
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-43
Sumário do Capítulo
 Determinado o tamanho de amosttras requerido para a média e 
Neste capítulo, temos:
q p
proporção;
 Desenvolvido aplicações da estimativa do intervalo de confiança
em auditoria:
 Estimação do intervalo de confiança para a população total;
 Estimação do intervalo de confiança para diferença total na
população;
 Intervalos de confiança unilateral;
 Estimativa de intervalo de confiança e abordadas questões éticas
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Chap 8-44

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