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E í iEstatística Teoria e AplicaçõesTeoria e Aplicações 5a. Ediçãoç Capítulo 8 Estimativa do Intervalo de Confiançaç Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-1 Objetivos de aprendizado Neste capítulo, você aprenderá: C i i i i d Construir e interpretar estimativas de intervalos de confiança para a média aritmética e para a proporção;aritmética e para a proporção; Como determinar o tamanho da amostra necessário para desenvolver um intervalo denecessário para desenvolver um intervalo de confiança para a média ou para a proporção; Como utilizar estimativas de intervalos de Como utilizar estimativas de intervalos de confiança em auditorias. Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-2 Esboço do Capítulo 1. Intervalos de Confiança para a Média da População μ:População, μ: Quando desvio padrão σ é conhecido Q d d i d ã é d h id Quando desvio padrão σ é desconhecido 2. Intervalos de confiança para a proporção da l ãpopulação, π 3. Determinando o tamanho da amostra idrequerida Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-3 Estimativas Pontuais Uma estimativa pontual é um simples número. Para a média da população (e o desvio padrão), ma estimati a pont al é a média da amostra (e ouma estimativa pontual é a média da amostra (e o desvio padrão da amostra). Um intervalo de confiança provê informaçãoUm intervalo de confiança provê informação adicional sobre a variabilidade. Limite Inferior de Limite Superior de Estimativa PontualConfiança Confiança Largura do Intervalo de Confiança Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-4 Largura do Intervalo de Confiança Estimativa do Intervalo deEstimativa do Intervalo de Confiança Um intervalo de confiança dá uma estimativa da faixa d lde valores: Leva em consideração a variação na estatística da amostra; Baseado em todas as observações a partir de uma amostra. Fornece informação sobre a proximidade para parâmetros da população desconhecidos Expresso em termos de nível de confiança: Ex. 95% confiança, 99% confiança Nunca pode ser 100% confiável Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-5 Estimativas de intervalo deEstimativas de intervalo de confiança A fórmula geral para todos A fórmula geral para todos intervalos de confiança é: Estimativa de ponto ± (Valor Crítico) (Erro Padrão) Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-6 Nível de confiança Nível de confiança: Confiança na qual o intervalo irá conter o parâmetro da população desconhecido. Um percentual (menor do que 100%) Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-7 Nível de Confiança Suponha um nível de confiança = 95% T bé i (1 ) 0 95 Também escrito (1 - ) = 0,95 Uma interpretação da frequência relativa: Em uma corrida longa, 95% de todos os intervalos de confiança que podem ser construídos irão conter o parâmetro verdadeiro desconhecido; Um intervalo específico irá conter ou não conterá o parâmetro verdadeiro. Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-8 Intervalo de Confiança para μIntervalo de Confiança para μ (σ Conhecido) Suposições Desvio padrão da população σ é conhecido A população é distribuida normalmente Se a população não é normal, use uma amostra grande Estimativa do intervalo de confiança: σ n σZX (onde Z é o valor crítico da distribuição normal padronizada para uma probabilidade de α/2 em cada cauda) Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-9 Encontrando o valor crítico, Z Considere um intervalo de confiança de 95%: 9501 ,9501 0 02α 0 02α0,025 2 α 0,025 2 α Z= -1,96 Z= 1,96 Limite Inferior de Confiança Limite Superior de Confiança Z unidades: X unidades: Estimativa 0 Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-10 ç çX unidades: pontual Encontrando o valor crítico, Z Níveis de confiança comumente utilizados são: 90%, 95% e 99%95% e 99%. Nível de Confiança Coeficiente de Confiança Z valor 1,28 1 645 0,80 0 90 80% 90% 1,645 1,96 2,33 0,90 0,95 0,98 90% 95% 98% , 2,58 3,08 , 0,99 0,998 99% 99,8% Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-11 3,270,99999,9% Intervalos e Níveis deIntervalos e Níveis de Confiança Distribuição amostral da média 1 x /2 /21 μμ x Intervalos variam de (1-)x100%x1 x2 até dos intervalos construídos contém μ; n σZX x2 I t l d C fi até contém μ; ()x100% não contémn σZX Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-12 Intervalos de Confiança contém.n Intervalos de Confiança para μIntervalos de Confiança para μ (σ Conhecido): Exemplo Uma amostra de 11 circuitos de uma grandeg população normal tem uma resistência média de 2,20 ohms. Sabe-se de testes anteriores que o, q desvio padrão da população é 0,35 ohms. Determine um intervalo de confiança de 95% para a resistência média verdadeira da populaçãoa resistência média verdadeira da população. Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-13 Intervalo de Confiança para μIntervalo de Confiança para μ (σ Conhecido): Exemplo n σ ZX 0 20682 20 )11(0,35/ 1,96 2,20 n 2,4068) ; (1,9932 0,20682,20 Estamos 95% confiantes de que a resistência média verdadeira está entre 1,9932 e 2,4068 ohms. Embora a média verdadeira possa ou não estar neste intervalo, 95% dos intervalos formados desta forma irá conter a média verdadeira. Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-14 Intervalo de Confiança para μIntervalo de Confiança para μ (σ Desconhecido) Se o desvio padrão da população σ é desconhecido, podemos substituir pelo desvio padrão da amostra, s; Isto introduz uma incerteza extra, pois s varia de amostra para amostra;p ; Então usamos a distribuição t ao invés da distribuição normaldistribuição normal. Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-15 Intervalo de Confiança para μIntervalo de Confiança para μ (σ Desconhecido) Suposições Desvio padrão da população é desconhecidoDesvio padrão da população é desconhecido População é distribuida normalmente Se a população não é normal utilize amostras grandesSe a população não é normal, utilize amostras grandes Utilize Distribuição t de Student Estimativa do Intervalo de Confiança: SEstimativa do Intervalo de Confiança: n StX 1-n (onde t é o valor crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade e uma área de α/2 em cada cauda) Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-16 liberdade e uma área de α/2 em cada cauda) Distribuição t de Student O valor t depende do grau de liberdade (g l ) O valor t depende do grau de liberdade (g.l.) Número de observações que são livres para variar depois da média da amostra ter sido calc lada:depois da média da amostra ter sido calculada: g.l. = n - 1 Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-17 Graus de Liberdade Ideia: Número de observações que são livres para variar depois da média da amostra ter sido calculada. l h édi d ú éExemplo: Suponha que a média de 3 números é 8,0 S j X 7 Se a média destes três números é 8,0, então X deve ser 9,0 (i e X não é li re para ariar) Seja X1 = 7 Seja X2 = 8 Qual o valor de X ? (i.e., X3 não é livre para variar) Qual o valor de X3? Aqui, n = 3, então graus de liberdade = n – 1 = 3 – 1 = 2 (Dois valores podem ser quaisquer números, mas o terceiro não é livre Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-18 para variar para uma dada média) Distribuiçãot de Student N ZNote: t Z como n aumenta Padrão Normal (t com gl = ∞) t (gl = 13) t-distribuições são em forma d i i ét i t t (gl = 5) de sino e simétricas, mas tem caudas ‘mais largas’ do que o normal t Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-19 t0 Tabela t de Student Área da Cauda Superior Seja: n = 3 gl 0,25 0,10 0,05 Seja: n 3 gl = n - 1 = 2 = 0,10 1 1,000 3,078 6,314 2 0 817 1 886 2 920 /2 =0,05 2 0,817 1,886 2,920 3 0,765 1,638 2,353 /2 = 0,05, , , 0 O corpo da tabela contém o Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-20 t0 2,920valor t, não a probabilidade Intervalo de confiança para μIntervalo de confiança para μ (σ Desconhecido): Exemplo Uma amosttra aleatória de n = 25 tem X = 50 e S = 8. Determine um intervalo de confiança de 95% para μDetermine um intervalo de confiança de 95% para μ g.l. = n – 1 = 24, então O intervalo de confiança é O intervalo de confiança é 8(2 0639)50S X 25 (2,0639)50 n1-n /2, tX (46,698 ; 53,302) Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-21 Intervalos de Confiança para aIntervalos de Confiança para a proporção da população, π Uma estimativa do intervalo para a Uma estimativa do intervalo para a porporção da população ( π ) pode ser calculado pela adição de um subsídio para a incerteza com a proporção da amostra ( p ) Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-22 Intervalos de Confiança para aIntervalos de Confiança para a Proporção da População, π Lembre que a distribuição da proporção da amostra é aproximadamente normal se o tamanho da amostra for grande,p g , com desvio padrão igual a: )(1 n )(1 σp Como estimamos o desvio padrão com dados da amostra, temos: n n p)p(1 Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-23 n Intervalos de Confiança para aIntervalos de Confiança para a Proporção da População, π Os limites superior e inferior de confiança para a proporção da população são calculados com a equação: p)p(1Z O d n p)p(Zp Onde: Z é o valor crítico da distribuição normal padronizada para o nível de confiança desejadoo nível de confiança desejado p é a proporção da amostra n é o tamanho da amostra Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-24 n é o tamanho da amostra Intervalos de confiança para aIntervalos de confiança para a proporção da população: exemplo Uma amostra aleatória de 100 pessoas mostra que 25 solicitaram este ano o pedido de aposentadoria Determine um intervalo deeste ano o pedido de aposentadoria. Determine um intervalo de confiança de 95% para a proporção verdadeira da população que pediu a aposentadoria. p)/np(1p Z /1000,25(0,75)96,125/100 0,3349) ; (0,1651 (0,0433) 1,96 0,25 Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-25 , );( , Intervalos de confiança para aIntervalos de confiança para a proporção da população, exemplo. Estamos 95% confiantes de que o percentual d d i d d l ã áverdadeiro de aposentados na população está entre 16,51% e 33,49%. Embora o intervalo d 0 1651 à 0 3349 ãde 0,1651 à 0,3349 possa ou não conter a proporção verdadeira, 95% dos intervalos f d d d h 100 dformados das amostras de tamanho 100 desta maneira conterá a proporção verdadeira. Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-26 Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da amostra O tamanho da amostra requerido pode ser encontrado d j d d ( ) í lpara uma margem desejada de erro (e) com um nível de confiança especificada (1 - ) A margem de erro é também chamado de erro de amostragem. O valor da imprecisão na estimativa do parâmetro da população; O valor adicionado e subtraído da estimativa pontual forma o intervalo de confiança Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-27 IL1 Slide 27 IL1 amount: quantidade; valor Igor Lima; 08/10/2011 Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da amostra Para determinar o tamanho da amostra requerida para a média você deve saber:requerida para a média, você deve saber: O nível de confiança desejado (1 - ), o qual determina o valor crítico de Z;determina o valor crítico de Z; O erro de amostragem aceitável (margem de erro) eerro), e O desvio padrão, σ 22Z n σZe 2 22 e σZn Resolvendo-se para n Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-28 n ep Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da amostra Se = 45, que tamanho de amostra é necessárioSe 45, que tamanho de amostra é necessário para estimar a média com ± 5 com 90% de confiança?confiança? 219 19(45)(1,645)σ 2222 Zn 219,19 522 e n Portanto, o tamanho da amostra necessário é n = 220 Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-29 Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da amostra Se desconhecido, σ pode ser estimado d ã l i dquando se usa a equação relacionado ao tamanho da amostra Use um valor para σ que é esperado ser, no mínimo, tão grande quanto o valor real de σ Selecione uma amostra piloto e estime σ com o desvio padrão da amostra, S Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-30 Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da amostra Para determinar o tamanho da amostra requerida para a proporção, você deve saber:p p ç , O nível de confiança desejado (1 - ), o qual determina o valor crítico de Z; O erro de amostragem aceitável (margem de error), e A proporção verdadeira de “sucessos”, πp opo ção ve dade a de sucessos , π π pode ser estimado com uma amostra piloto, se necessário (ou de forma conservadora use π = 0,50) 2 2 )1( e Zn Agora, resolva paranZe )1( Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-31 ep obter nn Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da amostra Qual deve ser o tamanho da amostra necessário i ã l d f ipara estimar a proporção real defeituosa em uma grande população com uma margem de erro ±3% e 95% fi ?95% confiança? (Assuma que a amostra piloto fornece: p = 0,12) Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-32 Determinando o tamanho daDeterminando o tamanho da amostra Solução: P 95% d fi Z 1 96Para 95% de confiança, use Z = 1,96 e = 0,03, p = 0,12, então use p para estimar π 450,74 (0 03) 0,12)(0,12)(1(1,96))1( 2 2 2 2 e Zn Então use n = 451 (0,03)e Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-33 Aplicações em Auditoria Seis vantagens de amostragem estatística em di iauditoria: O resultado amostral é objetivo e defensável Baseia-se em princípios estatísitcos demonstráveis Fornece uma estimativa do tamanho da amostra Fornece uma estimativa do erro de amostragem Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-34 Aplicações em auditoria Pode prover conclusões mais exatas sobre a população:população: Examinar a população por ser demorado e sujeito a maior erro de não-amostragem; Amostras podem ser combinadas e validadas por diferentes auditores: A t ã b d b d i tífi Amostras são baseadas em abordagem científica; Amostras podem ser tratadas como se tivessem sido feitas por um único auditor.p A avaliação objetiva dos resultados é possível: Baseado no erro de amostragem conhecido Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-35 Valor total da população Estimativa de ponto: XN total População Estimativa do intervalo de confiança: NS 1N nN n S)t(NXN 1n 1Nn (Isto é uma amostragem sem reposição,então use uma correção de população fi i ã d i l d fi ) Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-36 finita na equação do intervalo de confiança) Valor total da população Uma empresa tem uma população de 1000 contas e deseja estimar o valor da população totaldeseja estimar o valor da população total. Uma amostra de 80 contas é selecionada com um Uma amostra de 80 contas é selecionada com um saldo médio de $87,6 e desvio padrão de $22,3. Encontre a estimativa do intervalo de confiança de 95% do saldo total95% do saldo total. Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-37 Valor total da população 22,3S 87,6X 80 n 1000N nNS)(tNXN 1 80100022,3905)(1000)(1 96)(1000)(87 1Nn )(tNXN 1n 4.762,4887.600 1100080 905)(1000)(1,96)(1000)(87, O intervalo de confiança de 95% para o saldo total é $82 837 52 à $92 362 48 Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-38 $82.837,52 à $92.362,48 Intervalo de confiança para aIntervalo de confiança para a diferença total Estimativa do ponto: DN totalDiferença Onde a média da diferença é: D D 1 D n i i original valor - valor D i auditadoonde n Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-39 Intervalo de confiança para aIntervalo de confiança para a diferença total Estimativa do intervalo de confiança: nNS)t(NDN D1n 1Nn )t(NDN 1n onde: )DD( n 2 i 1n )DD( S 1i i D Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-40 Intervalo de confiançaIntervalo de confiança unilateral Aplicação: Encontre o limite superior para a proporção de itens que estão na taxa de não-conformidade com os intervalos de lcontrole nNp)p(1ZpsuperiorLimite onde 1Nn Zpsuperior Limite Z é o valor normal padronizado para o nível de confiança desejado; p é a proporção da amostra de itens que estão não p é a proporção da amostra de itens que estão não- conforme; n é o tamanho da amostra Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-41 N é o tamanho da população Questões éticas Um intervalo de confiança (refletindo erro de ) d damostragem) deve sempre ser reportado junto com a estimativa de ponto; O nível de confiança deve sempre ser reportado; O tamanho da amostra deve ser reportado; Uma interpretaçao da estimativa do intervaloUma interpretaçao da estimativa do intervalo de confiança deve ser fornecida Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-42 Sumário do capítulo Introduzido o conceito de intervalo de confiança; Neste capítulo, temos: Introduzido o conceito de intervalo de confiança; Discutido estimativa pontual; Desenvolvido estimativas de intervalos de confiança; Desenvolvido estimativas de intervalos de confiança; Criado estimativas de intervalos de confiança para a média (σ conhecido);média (σ conhecido); Determinado estimativas de intervalos de confiança para a média (σ desconhecido);p ( ); Criado estimativas de intervalos de confiança para a proporção; Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap. 8-43 Sumário do Capítulo Determinado o tamanho de amosttras requerido para a média e Neste capítulo, temos: q p proporção; Desenvolvido aplicações da estimativa do intervalo de confiança em auditoria: Estimação do intervalo de confiança para a população total; Estimação do intervalo de confiança para diferença total na população; Intervalos de confiança unilateral; Estimativa de intervalo de confiança e abordadas questões éticas Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Chap 8-44
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