AVALIANDO APRENDIZADO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 2016

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1.
		O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k
	
	
	
	
	 
	j - k
	
	
	j + k
	
	 
	k
	
	
	i - j + k
	
	
	j
	
	
	
		2.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j.
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1.
	
	
	
	
	 
	t2 i + 2 j
	
	 
	3t2 i  + 2t j
	
	
	- 3t2 i + 2t j
	
	
	0
	
	
	  2t j
	
	
	
		3.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t)  = t3 i  + t2 j.
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1.
	
	
	
	
	 
	6ti+2j
	
	
	6ti -2j
	
	
	6i+2j
	
	 
	ti+2j
	
	
	6ti+j
	
	
	
		4.
		Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é:
	
	
	
	
	
	sent i - t2 k + C
	
	 
	2sent i - cost j + t2 k + C
	
	
	-cost j + t2 k + C
	
	
	2senti + cost j - t2 k + C
	
	 
	πsenti - cost j + t2 k + C
	
	
	
		5.
		Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta.
	
	
	
	
	
	(0,0,2)
	
	 
	(0,-1,2)
	
	
	(0,0,0)
	
	
	(0, 1,-2)
	
	
	(0,-1,-1)
	
	
	
		6.
		Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
	
	
	
	
	
	x=1+t ; y=2+5t
	
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1
	
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x= t ; y=2+5t, z=-1+6t
	Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
		
	
	5
	 
	11
	
	-12
	
	- 11
	
	12
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201301647276)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima,  indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
		
	
	i + j -  k
	 
	i + k
	
	j + k 
	
	i +  j
	
	i  + j + k 
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201301530417)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j
		
	
	v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j
	 
	v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j
	
	v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j
	
	v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j
	 
	v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201301526704)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Calcule a integral da função vetorial:
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k
 
		
	
	π2+1
	
	π
	 
	π4+1
	
	3π2 +1
	 
	3π4+1
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201302279007)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1
		
	
	y=-(23)x+133
	 
	y=(23)x+133
	 
	y=(23)x+103
	
	y=(23)x-133
	
	y=(13)x+133
	
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201301647812)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0.
		
	 
	-aw2coswt i - aw2senwt j
	 
	-aw2coswt i - awsenwtj
	
	aw2coswt i - aw2senwtj
	
	aw2coswt i + aw2senwtj
	
	-w2coswt i - w2senwtj
	
	
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201301647352)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é:
		
	
	i+j-  π2 k
	 
	2i  +  j  +  π24k
	
	i - j - π24k
	
	2i -  j + π24k
	 
	2i + j + (π2)k
	
	
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201301647294)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
		
	
	i - j - k
	 
	- i + j - k
	
	i + j - k
	 
	i + j + k
	
	j - k
	
		1.
		Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
	
	
	
	
	
	(a)
	
	 
	(e)
	
	
	(b)
	
	 
	(c)
	
	
	(d)
	
	
	
		2.
		Encontrando Derivadas.
Qual é a resposta correta para  a derivada de  r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
	
	
	
	
	
	(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1
	
	 
	(sent - tcost)i + (sentcost)j - k
	
	 
	(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k
	
	
	(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k
	
	
	t(cost - sent)i - t(sent  + cost)j + k
	
	
	
		3.
		Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0.
	
	
	
	
	
	1
	
	 
	2
	
	 
	3
	
	
	14
	
	
	9
	
	
	
		4.
		Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente.
	
	
	
	
	 
	9((rcos(θ))2+16r2=400
	
	
	9((rcos(θ))2 -16r2=400
	
	 
	9((rcos(θ))2+16r2=0
	
	
	9((rcos(θ))2+r2=400
	
	
	16((rcos(θ))2+9r2=400
	
	
	
		5.
		Sendo f(x,y,z)=exyz  encontre a soma das derivadas  parciais da função em relação a cada variável no pontoP(1,0,1).
 
	
	
	
	
	 
	1
	
	
	0
	
	 
	3e
	
	
	e
	
	
	2e
	
	
	
		6.
		Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
	
	
	
	
	
	2i + j
	
	
	i/2 + j/2
	
	 
	2i
	
	 
	2j
	
	
	2i + 2j
	
	
	
		7.
		Encontre o vetor aceleração da partícula de posição:
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3.
	
	
	
	
	 
	a(t)=3i+8j-6k
	
	
	a(t)=3i +89j-6k
	
	 
	a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k
	
	
	a(t)=e3i +2e3j-4e3k
	
	
	a(t)=e3i +29e3j-2e3k
	
	
	
		8.
		Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z)
	
	
	
	
	
	 1x+1y+1z+2cos(y+2z)
  
	
	 
	(1x)+(1y)+(1z)  
	
	 
	  1x+1y+1z +3cos(y+2z)
  
	
	
	   1x+1y+1z +1cos(y+2z)
	
	
	 1x+1y+1z+2cos(y+2z)
  
		Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ
		
	
	
	
	
	y = x
	
	 
	y = x - 4
	
	
	y = x + 1
	
	
	y = x + 6
	
	 
	y = 2x - 4
	
	
	
		2.
		Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que determina a velocidade em um tempo t qualquer. Observação: a > 0.
		
	
	
	
	
	-senwt i + awcoswtjawsenwt i + awcoswtj
	
	 
	-awsenwt i - awcoswtj
	
	
	-senwt i + coswtj
	
	 
	- awsenwt i + awcoswtj
	
	
	
		3.
		Calcule a velocidade de uma  partícula com vetor de posição r(t) =  (t2, et, tet).  Indique a única resposta correta.
		
	
	
	
	
	(t,et,(1+t)et)
	
	
	(2,et,(1+t)et)
	
	 
	(2t,et,(1+t)et)
	
	 
	(t,et,(2+t)et)
	
	
	(2t,et,(1 - t)et)
	
	
	
		4.
		Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar:
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado por:v(t)=dr(t)dt
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo.
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t.
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção.
Estão corretas apenas as afirmações:
		
	
	
	
	
	I,II e IV    
	
	 
	I,III e IV      
	
	 
	I,II e III  
	
	
	I,II,III e IV
	
	
	II,III e IV    
	
	
	
		5.
		Determine o versor tangente à curva de função vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4.
		
	
	
	
	
	(22)i -(22)j+(22)k
	
	 
	(12)i -(12)j+(22)k
	
	
	 (2)i -(2)j+(2))k
	
	
	 (25)i+(25)j+(255)k
	
	
	(105)i -(105)j+(255)k
	
	
	
		6.
		Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 4r cosΘ
		
	
	
	
	
	(x - 2)2 + y2 = 10
	
	 
	(x - 4)2 + y2 = 2
	
	 
	(x - 2)2 + y2 = 4
	
	
	(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4
	
	
	(x + 2)2 + y2 = 4
	
	
	
		7.
		Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
		
	
	
	
	 
	∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	 
	∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	
	
		8.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
		
	
	
	
	
	2sen(x - 3y)
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	 
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2cos(x - 3y)
	
	
	2sen(x + 3y)cos(x + 3y)
		1.
		Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
	
	
	
	
	 
	0
	
	
	-wsen(wt)
	
	
	w2
	
	
	cos2(wt)
	
	
	w2sen(wt)cos(wt)
	
	
	
		2.
		Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2
	
	
	
	
	 
	ln t
	
	
	tg t
	
	
	sen t
	
	
	ln t + sen t
	
	 
	cos t
	
	
	
		3.
		Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k
	
	
	
	
	 
	(-sen t - cos t)i + (cos t)j
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j + k
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j - k
	
	
	(-sen t)i - (cos t)j
	
	 
	(-sen t)i + (cos t)j
	
	
	
		4.
		 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e   x,ye z  são funções de outra variável t
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt.
Diz - se que  dwdt é a derivada total de w  com relação a  t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia.
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et,  y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t= 0
	
	
	
	
	
	12
	
	
	20
	
	 
	18
	
	
	8
	
	 
	10
	
	
	
		5.
		Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0
	
	
	
	
	 
	1/t
	
	 
	cos t
	
	
	sen t
	
	
	1/t + sen t + cos t
	
	
	1/t + sen t
	
	
	
		6.
		Encontre a derivada direcional da função   f(x,y,z)=lnxyz    em   P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k.
 
	
	
	
	
	 
	3
	
	 
	 33 
	
	
	32        
	
	
	23        
	
	
	22      
	
		Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy
	
	
	
	
	 
	π+senx
	
	
	0
	
	 
	2π
	
	
	cos(2π)-sen(π)
	
	
	π
	
	
	
		2.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e].
	
	
	
	
	 
	455/3
	
	
	455/2
	
	
	455/4
	
	 
	845/2
	
	
	845/3
	
	
	
		3.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	
	 
	35/3
	
	
	35/2
	
	
	35/6
	
	
	7
	
	 
	35/4
	
	
	
		4.
		Deseja-se pintar a estrutura externa lateral de um monumento em forma de um paraboloide que pode ser descrita pela equação z=x2 + y2, situada na região do espaço de coordenadas cartesianas(x, y, z) dada pela condição z≤9 . Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de área da superfície a ser pintada.
 A quantidade de tinta, em litros, necessária para pintar a superfície lateral do monumento é dada pela integral dupla
	
	
	
	
	
	 4∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy
	
	
	 4∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ=
	
	 
	6∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy
	
	 
	6∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ=
	
	
	6∫0π2∫-33(1+4r2)rdrdθ= 
	
	
	
		5.
		
	
	
	
	
	 
	9/2 u.v
	
	
	18 u.v
	
	
	24/5 u.v
	
	 
	16/3 u.v
	
	
	10 u.v
	
	
	
		6.
		Seja a integral dupla ∫∫De(y2)dA, onde D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y}. O valor dessa integral é dada por:
 
	
	
	
	
	 
	e2
	
	 
	12(e-1)
	
	
	e
	
	
	0
	
	
	e-1
	
	
	
		7.
		Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	0
	
	
	1-z
	
	 
	1
	
	
	2-2z
	
	
	
		8.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4].
	
	
	
	
	 
	203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24
	
	
	203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24
	
	 
	203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24
	
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 8
	
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 6
	
		1.
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
	
	
	
	
	 
	14 * (2)^(1/2)
	
	 
	4 * (14)^(1/2)
	
	
	4 * (2)^(1/2)
	
	
	2 * (14)^(1/2)
	
	
	4
	
	
	
		2.
		Calcule a integral de linha ʃ F.dr, onde F(x,y,z) = (x,y,z), e C é a curva parametrizada por (sen t, cos t , t), 0 ≤ t ≤ 2 π.
	
	
	
	
	
	4
	
	
	π
	
	 
	2π2
	
	
	3π + 4
	
	
	3π
	
	
	
		3.
		Seja f:R3→R definida por f(x,y,z) = x + 3y2 + z  e  c  o segmento de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). Calcular ∫c fds. Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t), t∈[0,1] .
	
	
	
	
	 
	23
	
	
	32
	
	 
	22
	
	
	3
	
	
	33
	
	
	
		4.
		Integre a função f(x,y,z) = x - 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1). Considere a parametrização r(t) = ti + tj + tk, ondet pertence ao intervalo [0,1]. Portanto, a integral de f sobre C é:
	
	
	
	
	 
	0
	
	 
	2
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	
		5.
		Integre f(x, y, z) = x - 3.y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) passando primeiro por (1,1,0). Dado a parametrização r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1.
	
	
	
	
	
	3
	
	
	4
	
	 
	0
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	
		6.
		Considere f:R3→R definida por f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Considere ainda a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π]. Calcule ∫c fds.
	
	
	
	
	
	2.(π+π33)
	
	 
	2.(2π+8π33)
	
	 
	3.(2π+8π33)
	
	
	2π+8π33
	
	
	2.(π+8π3)
	
	
	
		7.
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
	
	
	
	
	 
	2π2
	
	 
	2π3
	
	
	3π2
	
	
	2π
	
	
	π2
	
	
	
		8.
		Considere  a  função f(x,y)= y.lnx + x.ey  .
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F):
1) (   ) A derivada da função  f(x,y) em  P(1,0)  na direção do vetor  v =  i-j  é nula.
2) (   ) A função f(x,y)  aumenta mais rapidamente na direção do vetor u= i + j.
3) (   )  Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2.
4) (   )  A taxa de variação da função é   21/2
5) (   ) A reta tangente à curva  f(x,y)  no ponto    P(1,0)   é      y=x-1.
	
	
	
	
	 
	1) (V) 2)     (V)     3) (V)     4) (V)     5) (F)
	
	 
	1) (V)     2) (V)     3) (F)     4) (V)     5) (F)
	
	
	1) (V)     2) (V)     3) (F)     4) (V)     5) (V)
	
	
	1) (F)      2) (V)     3) (V)      4) (V)      5) (F)
	
	
	1) (V)     2) (V)     3) (V)     4) (F)     5) (F)
	
		1.
		Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z).
	
	
	
	
	 
	6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2)
	
	
	9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2)
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z
	
	 
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) +
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z
	
	
	
		2.
		Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z)
	
	
	
	
	
	( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 *z) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	 
	( x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 * z ) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	( x^(2) * y^(1/2) ) / (2 * z) (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / (2 * z^(2)) (k)
	
	 
	( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) ) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	
		3.
		Determine o plano tangente à superfície esférica
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3).
	
	
	
	
	
	3x+6y+3z=22
	
	 
	 x+6y+3z=22
	
	
	2x+12y+3z=44
	
	
	 x+12y+3z=20
	
	
	3x+4y+3z=20
	
	
	
		4.
		Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula B deve tomar.
	
	
	
	
	
	(0, -20, 10)
	
	 
	(2, 3, 5)
	
	 
	(0, -2, 0)
	
	
	(-4, -6, -10)
	
	
	(0, -1, 0)
	
	
	
		5.
		 Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando integral dupla. .
	
	
	
	
	 
	92u.a.
	
	 
	52 u.a.
	
	
	72 u.a.
	
	
	32u.a.
	
	
	12 u.a.
	
	
	
		6.
		Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula A deve tomar.
	
	
	
	
	 
	(20, -10, -30)
	
	
	(1,2,3)
	
	 
	(-4, -6, -10)
	
	
	(4, 3, 0)
	
	
	(0, -2, 0)
		Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy-1
	
	
	
	
	 
	∂f∂x=-y2-1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)
	
	 
	∂f∂x=-y2-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)2
	
	
	∂f∂x=-y-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x-1(xy-1)2
	
	
	∂f∂x=-y2+1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy+1)
	
	
	∂f∂x=-y3(xy-1)2 e ∂f∂y=-x3(xy-1)2
	
	
	
		2.
		Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração
	
	
	
	
	 
	e-22
	
	 
	2e-22
	
	
	2e+22
	
	
	e-24
	
	
	2e+24
	
	
	
		3.
		Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral ∫-11∫01-x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o seu valor.
	
	
	
	
	 
	π5
	
	
	π
	
	 
	π4
 
	
	
	π3
	
	
	π2
	
	
	
		4.
		Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
	
	
	
	
	
	7e
	
	
	e7
	
	 
	 7e-7
	
	
	7
	
	
	e-1
	
	
	
		5.
		Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2
	
	
	
	
	
	1/2
	
	
	5/6
	
	 
	3
	
	
	1
	
	 
	9/2
	
	
	
		6.
		Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx
	
	
	
	
	 
	16
	
	
	2
	
	
	1
	
	 
	10
	
	
	20
	
	
	
		7.
		Encontre a derivada parcial para a função f(x,y,z)=e-(x2+y2+z2)
	
	
	
	
	
	∂f∂x=-2xe e ∂f∂y=-2ye e ∂f∂z=-2ze
	
	 
	∂f∂x=-2xe-(x2+y2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2)
	
	
	∂f∂x=xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=ze-(x2+y2+z2)
	
	
	∂f∂x=-e-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=e-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=e-(x2+y2+z2)
	
	 
	∂f∂x=-2xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2+z2)
	
	
	
		8.
		Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de integração
	
	
	
	
	 
	e+2
	
	 
	2
	
	
	2
	
	
	e
	
	
	3
	
		 Apresente a expressão do operador divergente do campo vetorial:
 V→ = (ex+z.cosy)i+(x2.z -ey) j+(x.y2+z2seny)k  
	
	
	
	
	 
	divV→=ex-ey+2z   
	
	
	divV→=ey-excosy +2z 
	
	
	divV→=eyi-excosyj +2zsenyk
	
	 
	divV→=ex-ey+2zseny 
	
	
	divV→=(eysenx)i-(excosy)j+(2zsenx)k
	
	
	
		2.
		Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa  r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,  a≤t≤b é dada pela fórmula
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt ,
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2.
	
	
	
	
	
	14u.c.
	
	
	 28u.c.
	
	 
	 49u.c.
	
	 
	 21u.c.
	
	
	7u.c.
	
	
	
		3.
		Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2
	
	
	
	
	
	8π3
	
	
	π2
	
	
	2
	
	 
	82
	
	 
	8π2
	
	
	
		4.
		 Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r(t)=6t3i-2t3j-3t3k,  considerando  1≤t≤2.
	
	
	
	
	
	7
	
	
	28
	
	
	14
	
	 
	21
	
	 
	49
	
	
	
		5.
		Quais dos campos abaixo são conservativos?
1. F=yzi+xzj+xyk
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k
3. F=yi+(x+z)j-yk
4. F=-yi+xj
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
	
	
	
	
	
	campos 1, 2 e 5
	
	
	campos1, 2 e 4
	
	 
	campos 1, 2 e 6
	
	
	campos 1, 3 e 6
	
	
	campos 2, 3 e 6
	
	
	
		6.
		Seja a função w = ln (2x + 3y), encontre ∂2w∂y∂x
	
	
	
	
	
	-6x-y(2x+3y)2
	
	
	-6(2x+3y)3
	
	 
	-62x+3y
	
	
	(2x+3y)2
	
	 
	-6(2x+3y)2
	
	
	
		7.
		Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e  y=1-x.
 
	
	
	
	
	
	14
	
	 
	15
	
	
	13
	
	
	0
	
	 
	12
	
	
	
		8.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0
	
	
	
	
	
	2
	
	
	3
	
	 
	4
	
	 
	0
	
	
	1