A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
70 pág.
Apostila de Resistência dos Materiais - UFF

Pré-visualização | Página 3 de 15

M 
R 
m 
x 
N 
Q 
T 
x 
C 
C 
N 
N N N 
ds 
⊕
m 
R 
m 
S R C 
C 
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Momento torsor T
r
 – tende a promover uma rotação relativa entre duas seções 
infinitamente próximas em torno de um eixo que lhes é perpendicular, passando pelo 
seu centro de gravidade (tendência de torcer a peça). 
 
O momento torsor é positivo quando o vetor de seta dupla que o representa estiver 
como que tracionando a seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Momento fletor M
r
 – tende a provocar uma rotação da seção em torno de um eixo 
situado em seu próprio plano. 
 
Como um momento pode ser substituído por um binário, o efeito de M
r
 pode ser 
assimilado ao binário da figura, que provoca uma tendência de alongamento em uma das 
partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte, deixando a peça fletida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para o momento fletor, desejamos conhecer que fibras estão tracionadas e que 
fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de concreto armado, por exemplo, 
sabermos de que lado devemos colocar as barras de aço, que são o elemento resistente à 
tração). 
 A figura mostra a convenção de sinais adotada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T 
ds 
⊕T 
M ds 
M 
Tração
Compressão
⊕
Q 
Q 
Q Q 
ds 
⊕
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
11
7 – Determinação da Resultante de um Carregamento Distribuído 
 
 Uma carga distribuída pode ser tratada como uma soma infinita de cargas 
concentradas infinitesimais, dsq ⋅ , cuja resultante é: 
 
 ∫ ⋅=
B
A
dsqR (1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Eq. (1) indica que a resultante do carregamento distribuído é igual à área Ω 
limitada entre a curva que define a lei de variação do carregamento e o eixo da estrutura. 
 Para obtermos a posição desta resultante, aplicamos o Teorema de Varignon ⇒ o 
momento de um sistema de forças em equilíbrio é igual ao momento da resultante das 
forças. 
 
 Chamando s a distância da resultante a um ponto genérico O, temos: 
 
¾ Momento da resultante: ∫ ⋅⋅=⋅
B
A
dsqssR 
¾ Soma dos momentos das componentes: ( ) sdsqB
A
⋅⋅∫ 
 
Igualando: 
 
∫
∫
⋅
⋅⋅
= B
A
B
A
dsq
dssq
s 
 
que é a razão entre o momento estático da área Ω em relação ao eixo z e o valor Ω dessa 
área. Isto indica que s é a distância do centróide da área Ω ao eixo z. 
 
 Finalmente, a resultante de um carregamento distribuído é igual à área 
compreendida entre a linha que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual 
está aplicado, sendo seu ponto de aplicação o centróide da área referida. 
 
 
s 
s 
R 
q.ds 
z 
Ω 
A B O ds 
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
12
8 – As Equações Fundamentais da Estática. Diagramas de Esforços 
 
 As equações fundamentais da Estática, deduzidas para uma viga com carga vertical 
uniformemente distribuída, são: 
 
 s
s Q
ds
dM = (2) 
 )s(q
ds
dQs −= (3) 
 
 Essas expressões permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções da 
viga em função do carregamento q(x) atuante. 
 A representação gráfica dos esforços nas seções ao longo de todo o elemento é feita 
a partir dos diagrama de esforços (linhas de estado). 
 Com base na Eq. (2), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de 
momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante. 
 A partir da Eq. (3), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de 
esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção com 
o sinal trocado. 
 
 
8.1 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Concentrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ =⇒= 0H0F Bx 
 ∑ =+⇒= PVV0F BAy 
 
l
bPV
l
aPV0aPlV0M ABBA
⋅=⇒⋅=⇒=⋅−⋅⇒=∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B
VA VB 
HB a b
P
l
l
baP ⋅⋅
l
aP ⋅
⊕
⊕ DEC 
DMF 
l
bP ⋅ 
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
13
 Pelas Eq. (2) e (3), sabemos que, num trecho descarregado ( 0q = ), o DEC será 
uma reta horizontal ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =−= 0q
ds
dQ
 e o DMF será uma reta ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ == tetanconsQ
ds
dM
. 
 
 
OBS: 
a) O DMF possui um ponto anguloso em S, pois temos esq s
esq s
Q
ds
dM =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ e 
dir s
dir s
Q
ds
dM =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ e, no caso, dir sesq s QQ ≠ ; 
 
b) Na seção S, não se define o esforço cortante; ele é definido à esquerda e à direita da 
seção, sofrendo nela uma descontinuidade igual a P. 
 
 
Conclusão: Sob uma carga concentrada, o DMF apresenta um ponto anguloso e o DEC 
apresenta uma descontinuidade igual ao valor dessa carga. 
 
 
8.2 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Uniformemente Distribuída 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ =⇒= 0H0F Bx 
 ∑ ⋅=+⇒= lqVV0F BAy 
 
2
lqV
2
lqV0
2
llqlV0M ABBA
⋅=⇒⋅=⇒=⋅⋅−⋅⇒=∑ 
 
 
 Numa seção genérica S, temos: 
 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅= 2
22
s
l
x
l
x
2
lq
2
xxqx
2
lqM 
 
 xq
2
lqQs ⋅−⋅= 
 
 
 
 
q 
A B
VA VB 
HB x
l
xq ⋅
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
14
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O DEC será uma linha reta que fica determinada pelos seus valores extremos 
correspondentes a 0x = e lx = , que são: 
 
 
2
lqQA
⋅= 
 
2
lqQB
⋅−= 
 
 
 O DMF será uma parábola de 2º grau, passando por zero em A e B e por um máximo 
em 2
lx = (seção onde 0
dx
dMQ == ), de valor 
8
lq
4
1
2
1
2
lqM
22
max
⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅= . 
 
Conclusão: Sob carga uniformemente distribuída, o DMF é parabólico do 2º grau e o DEC é 
retilíneo. 
 
 
* Construção Geométrica do DMF 
 
a) Sendo 
8
lqMM
2
1
⋅= , marcamos

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.