Lista I - Calculo MII

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1a Lista de Ca´lculo II
Fa´bio Matheus Amorin Natali
Departamento de Matema´tica - UEM
Sequeˆncias
1) Nos exerc´ıcios abaixo determine se as sequeˆncias sa˜o convergentes ou
divergentes. Caso sejam convergentes, ache o seu limite.
a)
{
n+ 1
2n− 1
}
b)
{
2n2 + 1
3n2 − n
}
c)
{
n2 + 1
n
}
d)
{
3n3 + 1
2n2 + n
}
e)
{
en
n
}
f)
{
lnn
n2
}
g)
{
sechn
n
}
h)
{
n
n+ 1
sen
pin
2
}
i)
{
1√
n2 + 1− n
}
j)
{√
n+ 1−√n
}
k)
{(
1 +
1
3n
)n}
2) Sendo
lim
n→+∞xn = a e limn→+∞xn = b
prove que a = b.
(sugesta˜o: Suponha que b 6= a, considere ε = |b−a|
2
na definic¸a˜o de limite
e chegue a um absurdo).
3) Mostre que as sequeˆncias
{
n2
n−3
}
e
{
n2
n+4
}
divergem; pore´m, a sequeˆncia{
n2
n−3 − n
2
n+4
}
e´ convergente.
4) Nos exerc´ıcios abaixo, verifique se a sequeˆncia dada e´ crescente, de-
crescente ou na˜o monotoˆnica.
1
a)
{
3n− 1
4n+ 5
}
b)
{
1− 2n2
n2
}
c) {sennpi}
d)
{
n3 − 1
n
}
e)
{
1
n+ senn2
}
f)
{
2n
1 + 2n
}
g)
{
n!
3n
}
h)
{
n
2n
}
i)
{
nn
n!
}
5) Prove que as sequeˆncias abaixo sa˜o convergentes fazendo uso do Teo-
rema da Sequeˆncia Monotoˆnica.
a)
{
n
3n+1
}
b)
{
n2
2n
}
c)
{
a
1
n
}
; a > 0
d)
{
n
1
n
}
e) {xn} ondexn = 1 + a+ · · ·+ an com 0 < a < 1.
6) Descreva a sequeˆncia das a´reas dos triaˆngulos equila´teros, cujos lados
sa˜o iguais a metade do lado do triaˆngulo anterior e verifique que o limite
dessa sequeˆncia zero. Fac¸a uma figura!!
7) Sejam {an} e {bn} duas sequeˆncias de nu´meros reais na˜o negativos tais
que
lim
n→+∞ a
2
n = 0 e limn→+∞ b
2
n = 0.
Prove que
lim
n→+∞ anbn = 0.
2