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Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciências Exatas Cálculo I - GEX 104 Lista 2 - Limites 1. Encontre o valor a para que o limite lim x→−2 3x2 + ax+ a+ 3 x2 + x− 2 exista, em seguida calcule o valor do limite. 2. Um estacionamento cobra $ 3,00 pela primeira hora ou fração e, $ 2,00 por hora sucessiva, ou fração, até o máximo diário de $ 10,00. (a) Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo decorrido. (b) Discuta as descontinuidades da função e seu significado para alguém que use o estacionamento. 3. Se f e g forem funções contínuas com f(3) = 5 e limx→3(2f(x)−g(x)) = 4, encontre g(3). 4. Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função f(x) = (x+ 2x3)4 é contínua em x = −1. 5. Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para mostrar que a função f(x) = 2x+ 3 x− 2 é contínua no intervalo (2,∞). 6. Explique por que a função é descontínua no ponto a dado. Esboce o gráfico da função. (a) f(x) = ln |x− 2| a = 2 (b) f(x) = { ex se x < 0 x2 se x ≥ 0 a = 0 (c) f(x) = cosx se x < 00 se x = 0 1− x2 se x > 0 a = 0 7. Mostre que a função f(x) = { x2 se x < 1√ x se x ≥ 1 é contínua em R. 8. Para quais valores de c, a função f(x) = { cx2 + 2x se x < 2 x3 − cx se x ≥ 2 é contínua em R? 1 9. Se f(x) = x2+10senx, mostre que existe um ponto c tal que f(c) = 1000. 10. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado. (a) x4 + x− 3 = 0, (1, 2). (b) cosx = x, (0, 1). 11. Mostre que a equação ex = 2− x tem, pelo menos uma raiz real. 12. Existe um número que é exatamente um a mais que seu cubo? 13. Mostre que a função f(x) = { x4sen 1x se x 6= 0 0 se x = 0 é contínua em R. RESPOSTAS 1. 15; -1. 2. 3. 6 4. 5. (a) f(2) não está definido. (b) lim x→0 f(x) não existe. (c) lim x→0 f(x) 6= f(0) 6. 7. 8. 2 3 9. 10. 11. 12. Sim. 2
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