Relatório 6 Distribuição Gaussiana

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Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ
Centro Tecnológico – CT
Instituto de Química - IQ
Disciplina: Física Básica Experimental I
Horário: Quinta feira / noturno
Data do experimento: 21 de janeiro de 2015
ESTATÍSTICA – FUNÇÃO GAUSSIANA
RESUMO
Para este experimento, realizou-se a análise de dados do experimento 1 da primeira aula sobre as medidas da largura da mesa. Com estes dados, calculou-se o valor médio, o desvio padrão, a incerteza associada ao valor médio a partir do histograma de frequências relativas, a distribuição de Gauss para o valor médio e o desvio padrão achados e a probabilidade. Após os cálculos, plotou-se ao histograma a distribuição de Gauss calculada.
INTRODUÇÃO
A análise de frequência é um método para definirmos medições aleatórias () que podem ser repetir. Esses eventos possíveis de medidas que se repetem ( são chamados de frequência de ocorrência. Em fórmula, temos:
 (1)
Onde: 
N: é o número total de eventos e 
N(: é fração de eventos.
Desta forma, podemos definir a frequência relativa como a fração de eventos em relação ao número total de eventos. Sua fórmula é:
 (2)
Onde:
: é a frequência relativa,
N: é o número total de eventos e 
N(: é fração de eventos
Ao analisarmos a equação (1), se passarmos N para o outro lado dividindo e substituirmos essa divisão por da equação 2, temos um resultado igual a 1. Exemplificando, temos:
 (3)
No experimento 1, discutimos sobre o valor médio e o desvio padrão. Neste experimento, utilizaremos esses conceitos e aplicaremos na definição de frequência relativa descrita na equação 2. Assim, obtemos:
Valor médio:
 (4)
Onde:
: é a frequência relativa,
: é o valor medido e
: é o valor médio.
Desvio padrão:
 (5)
Onde:
: é a frequência relativa
: é o valor medido
: é o valor médio e
: é o desvio padrão.
A incerteza do resultado de uma medição reflete a falta de conhecimento exato do valor do mensurando. Existem muitas fontes de incerteza, porém este trabalho utilizará a seguinte equação para a estimativa da incerteza:
 (6)
Onde:
u: é a incerteza,
: é o desvio padrão
n: é a quantidade de medições.
A distribuição de Gauss ou Gaussiana é uma das mais importantes distribuições da estatística. Conhecida também pelo nome de distribuição normal, possui grande uso na estatística inferencial (conjunto de métodos	estatísticos que visam caracterizar uma população a partir de uma parte dela) além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros.
Para calcularmos a distribuição de Gauss usamos:
(7)
Onde:
µ: é o valor médio,
: é o desvio padrão e
x: é o conjunto de medições 
DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
Realizou-se um histograma de frequências relativas com relação ao conjunto de 60 medidas da largura da mesa. Após, calculou-se o valor médio, desvio padrão e a incerteza a partir do histograma de acordo com as equações 4,5 e 6 respectivamente. Feito isto, comparou-se com os valores achados no experimento 1.A seguir calculou-se a distribuição de Gauss de acordo com a equação 7 e plotamos ao histograma a curva achada na fórmula de distribuição de Gauss.
RESULTAOS E DISCUSSÕES
No experimento da aula do dia 29 de outubro de 2015, foi realizado sessenta medições da larguda da mesa presente no laboratório utilizando uma régua de 15 cm. Os valores, em centímetros, obtidos pela régua estão representados na tabela 1.
Tabela 1. Valores obtidos na medições da largura de uma mesa.
	N
	Resultado das medidas em cm (xi)
	
	Série 1
	Série 2
	Série 3
	Série 4
	Série 5
	1
	65,4
	65,4
	65,6
	65,2
	65,4
	2
	65,5
	65,1
	65,5
	65,0
	65,5
	3
	65,3
	65,2
	65,5
	64,9
	65,6
	4
	65,5
	65,2
	65,5
	65,1
	65,4
	5
	65,4
	65,2
	65,6
	65,0
	65,5
	6
	65,4
	65,2
	65,5
	65,1
	65,7
	7
	65,2
	65,1
	65,6
	65,0
	64,8
	8
	65,3
	65,1
	65,7
	65,1
	65,0
	9
	65,5
	65,6
	65,6
	65,1
	65,2
	10
	65,6
	65,3
	65,4
	65,3
	65,1
	11
	65,7
	65,3
	65,3
	65,1
	65,1
	12
	65,9
	65,5
	65,6
	65,1
	65,3
Como proposto, foi calculado a soma, média, desvio padrão e incerteza de todos os valores, usando as equações já citadas. Os resultados desses cálculos estão contido na Tabela 2.
Tabela 2. Resultados de cálculos de soma, média, desvio padrão e incerteza de todos as medições realizadas durante o experimento da determinação da largura da mesa.
	Resultados de 60 medições
	
	Σ
	3919,9
	Média
	65,33
	Desvio Padrão
	0,235
	Incerteza
	0,030
		
Foi feito um histograma, como proposto no roteiro de trabalho do experimento 1.Foram escolhidosintervalos de 0,2 cm começando pelo menor valor.Cada intervalo está representado em se respectivo gráfico pelo seu valor central. Como os intervalos são contínuos, foi escolhido os limites dos intervalos como fechado para o valor inferior e aberto para o valor superior. Desta forma construiu-se a seguinte tabela com seu respectivo histograma:
Tabela 3. Cálculo das intervalos e das frequências dos dados da medição em 60 medições.
	60 medições
	Intervalo (cm) 
	Valor do Intervalo (cm)
	Frequência
	De
	Até
	
	
	64,8
	65,0
	64,9
	2
	65,0
	65,2
	65,1
	15
	65,2
	65,4
	65,3
	14
	65,4
	65,6
	65,5
	17
	65,6
	65,8
	65,7
	11
	65,8
	66,0
	65,9
	1
	66,0
	66,2
	66,1
	0
Figura1. Histograma dos intervalos da tabela 3.
Utilizando a função do excel “DIST.NORM” foi possível calcular a curva gaussiana através da probabilidade dos intervalos. Sendo que na probablididade acumulativa foi preencido como FALSO. Foi preenchido da seguinte maneira:
 Por exemplo, no primeiro intervalo:
	
	Assim, encontrou-se os seguintes valores:
Tabela 4. Calculos da distribuição normal dos intervalos encontrados na Tabela 3.
	Distribuição normal
	Valor do Intervalo (cm)
	Probabilidade da DIST.NORM
	64,9
	0,31
	65,1
	1,04
	65,3
	1,68
	65,5
	1,31
	65,7
	0,50
	65,9
	0,09
	66,1
	0,01
	Devido a isso, pode-se realizar a curva gaussiana sob o gráfico do intervalos:
Figura 2. Curva gaussiana da largura da mesa
Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos. 
Figura3. Curva gaussiana .
Na figura acima, tem as barras verticais representando os desvios padrões. Quanto mais afastado do centro da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. A um desvio padrão, temos 68,26% das observações contidas. A dois desvios padrões, possuímos 95,44% dos dados comprendidos e finalmente a três desvios, temos 99,73%. Podemos concluir que quanto maior a variablidade dos dados em relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal. [1]
CONCLUSÕES
	
	A distribuição normal é a mais importante distribuição estatística, considerando a questão prática e teórica. Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos.
Quanto mais afastado do centro da curva normal, mais área compreendidaabaixo da curva haverá. A um desvio padrão, temos 68,26% das observações contidas. Podemos concluir que quanto maior a variabilidade dos dados em relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal.
REFERÊNCIAS
[1]Só Matemática. Distribuição normal. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/estat/basica/normal.php> Acesso em: 20 de janeiro de 2016.