Função limitada

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FUNÇÃO LIMITADA
Examinemos algumas funções, seus respectivos gráficos e imagens:
1º ex.: Dada a função 
Construindo o gráfico da função , obtemos:
Notamos que o gráfico está "preso" entre duas retas paralelas ao eixo x, que são os gráficos das funções constantes e . Dessa maneira , ou seja, �� INCLUDEPICTURE "http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/flilimitada/exemplos/imagens_exemplo1/image014.gif" \* MERGEFORMATINET 1.
2º ex.:Dada a função . O que podemos dizer sobre a imagem de f?
Construindo o gráfico da função , obtemos:
Observe que ao traçarmos duas retas paralelas ao eixo x, uma passando pelo ponto (0,2) e a outra passando pelo ponto (0,-1) teremos o gráfico de f compreendido entre essas duas retas.
Nesse caso, temos Im f �� INCLUDEPICTURE "http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/flilimitada/exemplos/imagens_exemplo2/image014.gif" \* MERGEFORMATINET .
3º ex.: Analise a imagem da função através de seu gráfico.
Através do gráfico de , observamos que:
Observe que ao traçarmos duas retas paralelas ao eixo x, uma passando pelo ponto (0,1) e a outra passando pelo ponto (0,0) teremos o gráfico de f compreendido entre essas duas retas.
Observando o gráfico, notamos que a função tem valor máximo no ponto (0, 1), e que , mas nunca f(x)=0. Dessa maneira percebemos que o gráfico da função está compreendido entre os gráficos das funções e , pois . 
Definição: Uma função f é dita limitada, em seu domínio, quando sua imagem está contida num intervalo, ou seja, , onde a,b R. Podemos também utilizar a seguinte notação: , sendo .
É conveniente observar que, se para todo , então podemos examinar qual dos dois números, ou é o maior e chamamos .
Assim, podemos dizer que ou que .
No caso de uma função contínua em R, a análise dos limites quando ou , nos fornece a informação necessária para decidir sobre a existência ou não de um limitante para a função.
SITUAÇÃO 1 : Seja f uma função limitada. Uma pergunta natural que surge é: a função , k IR, cujo gráfico é o resultado de uma translação vertical de k unidades no gráfico de f, também é limitada?
Para responder a essa questão, examinemos primeiramente um exemplo: a função limitada . Façamos k variar, assumindo qualquer valor real.
Para k=1, temos , cujo gráfico é o seguinte:
Observando o gráfico da função g, notamos que sua imagem está compreendida entre as retas: e .
Dessa maneira, e portanto a função g(x)=sen(x)+1 é limitada.
Observação. Note que se a função inicial tem sua imagem contida num intervalo [a,b], portanto, de comprimento , a função obtida através de uma translação vertical tem imagem contida num intervalo diferente, mas de mesmo comprimento. 
Para qualquer outro valor de k, a conclusão é semelhante: o gráfico de sofre uma translação vertical de k unidades, quando comparado ao gráfico da função f e, sendo f limitada, a função g também é limitada.�
SITUAÇÃO 2: Seja f uma função limitada. A função , a IR, também é limitada? Em outras palavras, se provocamos uma mudança de inclinação no gráfico de f, ainda sim temos o gráfico de uma função limitada?
Tomemos como exemplo a função limitada e consideremos .
Logo, 
Observando o gráfico de g, temos:
Assim, a função g também é limitada, pois . Note que esse intervalo possui 6 unidades de comprimento, o dobro do comprimento do intervalo que contém a imagem de f.
Observação. Note que se a função inicial tem sua imagem contida num intervalo [a,b], portanto, de comprimento , a função obtida através de uma mudança de inclinação, tem imagem contida num outro intervalo, de comprimento diferente. 
Para qualquer outro valor de a, a conclusão é semelhante: o gráfico de sofre uma mudança de inclinação provocada pelo fator a, quando comparado ao gráfico da função f e, sendo f limitada, a função g também é limitada.�
SITUAÇÃO 3: Seja f uma função limitada. A função , m IR, cujo gráfico é o resultado de uma translação horizontal no gráfico de f, também é limitada?
Utilizemos como exemplo a função limitada e vamos considerar o caso particular em que m=3, isto é, consideremos a função . 
Observe que o gráfico da função g é o resultado de uma translação horizontal de 3 unidades para a esquerda do gráfico da função f, e que , pois , logo g também é limitada.
Observação. Note que a translação horizontal não altera a imagem da função. 
Para qualquer outro valor de m, a conclusão é semelhante: o gráfico de sofre uma translação horizontal quando comparado ao gráfico da função f e, sendo f limitada, a função g também é limitada.�
SITUAÇÃO 4: Seja f uma função limitada. A função , também é limitada?
Para responder a essa questão, examinemos primeiramente um exemplo: a função limitada , onde , e consideremos .
Examinando o gráfico de g, observamos que ocorreu mudança de período. Entretanto, a imagem de g é a mesma que a imagem de f, isto é .
Observação. Note que se a função inicial tem sua imagem contida num intervalo [a,b], a função obtida através de uma mudança de período tem por imagem o mesmo intervalo que a função inicial.
Para qualquer outro valor de b, a conclusão é semelhante: o gráfico de sofre uma mudança de período provocada pelo coeficiente b, quando comparado ao gráfico da função f e, sendo f limitada, a função g também é limitada.�
SITUAÇÃO 5 : Dada as funções limitadas f e g, a função soma f+g é uma função limitada.
SITUAÇÃO 6 : Dada as funções limitadas f e g, a função produto f.g é uma função limitada.
EXERCÍCIOS
1 - Verifique se as funções abaixo são limitadas. Justifique.
a) 
b) 
c) 
�
Propriedade: Se f é uma função limitada, então a função � INCLUDEPICTURE "http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/flilimitada/links/imagens_ppd_limitada/image002.gif" \* MERGEFORMATINET ���também é limitada.
�Propriedade: Se f é uma função limitada, então a função � INCLUDEPICTURE "http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/flilimitada/links/imagens_ppd2_limitada/image002.gif" \* MERGEFORMATINET ���também é limitada.
�Propriedade: Se f é uma função limitada, então a função � INCLUDEPICTURE "http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/flilimitada/links/imagens_ppd3_limitada/image002.gif" \* MERGEFORMATINET ���também é limitada.
�Propriedade: Se f é uma função limitada, então a função � INCLUDEPICTURE "http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/flilimitada/links/imagens_ppd4_limitada/image002.gif" \* MERGEFORMATINET ���também é limitada.