Apostila de Determinantes

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Apostila 
de 
Determinantes 
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2 - Determinantes
2.1 Definição
Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada.
2.2 Determinate de uma matriz quadrada de 2ª ordem
Dada a matriz de 2ª ordem 
, chama-se determinante associado a matriz A (ou determinante de 2ª ordem) o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Então, determinante de 
Indica-se 
Observação: Dada a matriz A de ordem 1, define-se como determinante de A o seu próprio elemento, isto é:
Exemplo: 
Resolva:
Resolva a equação: 
Resp: 
Resolva a equação: 
Resp: 
Resolva a inequação: 
Resp: 
4) Sendo 
, calcule det(AB).
Resp: -12
2.3 Menor Complementar
O menor complementar 
 do elemento 
 da matriz quadrada A, é o determinante que se obtém de A, eliminando–se dela a linha “i” e a coluna “j”, ou seja, eliminando a linha e a coluna que contém o elemento 
considerado.
Exemplo: 
Dada a matriz
, calcular D11, D12, D13, D21, e D32.
Resolução:		
	
	
	
2.4 Cofator
Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem A = 
.
Chama-se Cofator do elemento 
 da matriz quadrada o número real que se obtém multiplicando-se 
pelo menor complementar de 
e que é representado por 
.
Exemplo: Dada a matriz 
, calcular:
a) A11			b) A13 			c) A32 
Resolva: Dada a matriz 
 determine A13 , A21 , A32 e A33.
Resp: A13 = 29, A21 = 15, A32 = 6 e A33 = 3.
2.5 Definição de Laplace
	O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem 
é o número que se obtém pela soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. Exemplo: 
Sendo 
uma matriz de ordem 3, podemos calcular o det A a partir de determinantes de ordem 2 e da definição de Laplace. Escolhendo os elementos da primeira linha temos:
Observação: Para se aplicar esse método é melhor escolher a linha ou coluna que tiver o maior número de zeros.
Resolva: Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace:
a) 
Resp: det A = 11
b) 
Resp: det A = -74
2.6 Regra de Sarrus (regra prática para calcular determinantes de ordem 3)
Seja a matriz 
, repetimos as duas primeiras colunas à direita e efetuamos as seis multiplicações em diagonal. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal. Os produtos obtidos da diagonal secundária mudam de sinal. O determinante é a soma dos valores obtidos.
Resolva:
a) Calcule o determinante da matriz 
Resp: det A = 15
b) Resolva a equação 
Resp: 
c) Dada as matrizes 
, determine x para que det A = det B
Resp: 
d) Resolva a equação 
Resp: 
e) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que: 
. Ache o valor do determinante de M.
Resp: 48
f) Calcule o determinante da matriz P2 , em que P é a matriz 
Resp: 64
�
2.7 Determinante de uma matriz quadrada de ordem n>3
Seja a matriz quadrada de ordem 4 A = 
, vamos calcular o determinante de A. Para tanto, aplicaremos o teorema de Laplace, até chegarmos a um determinate de 3ª ordem, e depois empregaremos a regra de Sarrus. Assim, desenvolvendo o determinate acima, segundo os elementos da 1ª linha, temos:
Substituindo em (1) temos: 
Resolva: Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha.
Resp: -180
2.8 Propriedade dos Determinantes
1ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0.
Exemplo: 
2ª propriedade: Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou de duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0
Exemplo: 
3ª propriedade: Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, isto é , det A = 0
Exemplo: 
4ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k.
Exemplo: 
 5ª propriedade: Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por kn, isto é: 
Exemplo: 
6ª propriedade: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det A = det At.
Exemplo: 
7ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.
Exemplo: 
8ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo: 
9ª propriedade: Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, então 
(teorema de Binet)
Exemplo: 
10ª propriedade: Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando uma matriz B, então det A=det B (Teorema de Jacobi).
Exemplo: 
Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha obtemos:
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