Lista de Exercícios - Análise Estado Tensões

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1a Lista de exercícios 
Análise do estado de tensões 
 
1) Para o estado de tensões dado, determinar as tensões, normal e de cisalhamento, exercidas 
sobre a face oblíqua do triângulo sombreado do elemento. 
R: τ = 25,5 MPa σ = 20,5 Mpa / τ = -25 MPa σ = -6,3 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) As fibras de uma peça de madeira formam um ângulo de 18 graus com a vertical. Para o estado 
de tensões mostrado, determinar: 
a) a tensão de cisalhamento no plano, em um plano paralelo às fibras; (τ = -1,21 MPa) 
b) a tensão normal perpendicular às fibras. (σ = -0,88 MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determinar os planos principais e as tensões principais para o estado plano de tensões, 
resultante da superposição dos dois estados planos de tensões mostrado. 
R: σI = 168MPa σII = 7,5MPa τmax = 80MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 MPa
50 MPa
70°
30 MPa
40 MPa50°
1.5 MPa
18°
100 MPa
50 MPa
75 MPa
50 MPa
30
°
300 mm
150 mm
100 mm
z
KH
125 mm
x
A
E
19,5 kN
D
B
50 mm
100 mm
50 mm
25 mm
120 mm100 mm
K
H
B
A
18 kN
4) Uma força de 19.5 kN é aplicada no ponto D da barra de ferro fundido mostrado. Sabendo-
se que a barra tem um diâmetro de 60 mm, determinar as tensões principais e a máxima 
tensão de cisalhamento nos pontos H e K. (R: PONTO H: σI = 73,5 MPa / σII = -9,5 MPa / 
τmax = 41,5 MPa - PONTO K: σI = 10 MPa / σII = -140 MPa / τmax = 75 MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma força vertical de 18 kN é aplicada na extremidade A da barra AB que é, soldada a um 
tubo de alumínio extrudado de espessura uniforme de 6 mm. Determinar as tensões 
principais e a máxima tensão de cisalhamento no: 
a) ponto H (R: σI = 67 MPa; σII = –14 MPa; τmax = 41 MPa) 
b) ponto K (R: σI = 17 MPa; σII = –17 MPa; τmax = 17 MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 kN
120 mm
80 mm
160 mm
3 mm
K40 mm
60 mm
H
40 mm
500 N
10 kN
180 mm
30 mm
60 mm
32 mm
750 N
24 mm
b
a
c
15 mm
16 mm
yz
x
6) Sabe-se que o tubo da figura tem paredes de espessura constante de 6 mm. Determinar as 
tensões principais e de cisalhamento máxima: 
a) No ponto H; 
b) No ponto K. 
 
Resposta: 
Ponto H: 
σI = 87 MPa 
σII = -4 MPa 
τmax = 45,5 MPa 
Ponto K: 
σI = 54 MPa 
σII = -54 MPa 
τmax = 54 MPa 
 
 
7) Para viga com carregamento indicado, calcular as tensões principais e de cisalhamento 
máxima, nos três pontos indicados. Usar círculo de Mohr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
Ponto a: 
σI = 18,60 MPa 
σII = -0,20 MPa 
τmax = 9,40 MPa 
Ponto b: 
σI = 21,35 MPa 
σII = -0,10 MPa 
τmax = 10,725 MPa 
Ponto c: 
σI = 24,12 MPa 
σII = 0 MPa 
τmax = 12,06 MPa 
 
 
 
 
 
d
400 mm
a a
140 mm
120 mm
c
12 kN
30 kN
60 kN
t
t
c
w
bf f
12 kN
x
y
8) Três forças são aplicadas a um perfil de aço laminado W250 x 49,1, como mostrado. 
Determinar as tensões, principais e de cisalhamento máxima, nos pontos “a” e “c”. Utilizar 
círculo de Mohr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = 6260 mm2 
Perfil W250 x 49,1 d = 247 mm 
 bf = 202 mm 
 tf = 11 mm 
 tw = 7,4 mm 
 Ix = 70,8 . 106 mm4 
 Iy = 15,23 . 106 mm4 
Resposta: 
Ponto a: 
σI = 0 
σII = -106,7 MPa 
τmax = 53,4 MPa 
Ponto c: 
σI = 13,5 MPa 
σII = -23 MPa 
τmax = 18 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
75m m
c
b
50m m25m m
500m m
7500N
7500N
125m m
3000N
75m m
150m m
y
x
3000N
100 kN
500 mm
a
c
100 mm
25 kN
8 kN
8 kN
d
t
bf
a
f
tw
x
c x
y y
9) Sabe-se que o tubo da figura tem paredes de espessura constante de 6 mm. Calcular as 
tensões principais e de cisalhamento máxima nos três pontos indicados. Obs.: utilizar círculo 
de Mohr. 
 
Resposta: 
Ponto a: 
σI = 0 
σII = -106 MPa 
τmax = 53 MPa 
Ponto b: 
σI = 1 MPa 
σII = -79,5 MPa 
τmax = 40 MPa 
Ponto c: 
σI = 2,6 MPa 
σII = -29 MPa 
τmax = 15,7 MPa 
 
 
 
 
10) Calcular as tensões principais e a de cisalhamento máxima para os pontos “a” e “c” da 
estrutura abaixo. (R: PONTO a: σI = 38,36 MPa / σII = 0 / τmax = 19,18 MPa - PONTO c: 
σI = 11,5 MPa / σII = -30 MPa / τmax = 20,5 MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = 5320 mm2 
Perfil W200 x 41,7 d = 205 mm 
 bf = 166 mm 
 tf = 11,8 mm 
 tw = 7,2 mm 
 Ix = 40,8 . 106 mm4 
 Iy = 9,06 . 106 mm4 
1200 N
20 mm
75 mm
z
B
a b
1500 N
45 mm
45 mm
A
y
x
11) Duas forças são aplicadas a um tubo AB, como mostrado. Sabendo-se que o tubo tem 
diâmetros, interno e externo, iguais a 35 mm e 42 mm, respectivamente, determinar as 
tensões principais e de cisalhamento máxima, no: 
a) Ponto a; 
b) Ponto b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
Ponto a: 
σI = 28 MPa 
σII = -7,5 MPa 
τmax = 18 MPa 
Ponto b: 
σI = 9 MPa 
σII = -31 MPa 
τmax = 20 MPa 
 
 
12) Sabendo-se que o diâmetro da barra de aço ABD é de 30 mm, determinar para o ponto H: 
a) Os planos principais (σ: θ = 11° 40’ 30” horário – τ: θ = 33° 19’ 30” anti-horário) 
b) As tensões principais (σI = 34,8 MPa; σII = -104,6 MPa) 
c) A máxima tensão cisalhante, no ponto H. (τmax = 69,7 MPa) 
25 mm
150 mm
D
y
2 kN
z
E
A
225 mm
x
B
H
 
150 mm
25 mm
150 mm
D
y
2 kN
z
E
A
225 mm
x
B
H
 
150 mm
 
 
 
 
y
x
z
σy
30 MPa
35 MPa
x
z
σy
y
96,5 MPa
55,2 MPa
z
x
τ yx
40 MPa
120 MPa
y
13) Para o estado de tensões mostrado, determinar a máxima tensão de cisalhamento, quando : 
a) σy = 80 MPa (τmax = 63 MPa) 
b) σy = - 80 MPa (τmax = 50 MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Para o estado de tensões mostrado, determinar a máxima tensão de cisalhamento, quando: 
a) τxy = 42 MPa (τmax = 69 MPa) 
b) τxy = 96 MPa (τmax = 104 MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando: 
a) σy = 14 MPa (τmax = 68 MPa) 
b) σy = 98 MPa (τmax = 76 MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
yσ
160 MPa
100 MPa
P
T
36 mm
16) O estado plano de tensões mostrado ocorre em um componente feito de aço com σe = 250 
MPa. Usando o critério da máxima tensão de cisalhamento, determinar se o escoamento 
ocorre quando: 
a) σy = 160 MPa (ocorre o escoamento; τmax = 130 MPa) 
b) σy = 40 MPa (não ocorre o escoamento; τmax = 117 MPa) 
c) σy = - 40 MPa (ocorre o escoamento; τmax = 141 MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Um eixo de 36 mm de diâmetro é feito de uma classe de aço, com uma resistência ao 
escoamento na tração de 250 MPa. Usando o critério da máxima tensão de cisalhamento, 
determinar a intensidade do torque T, para que o início do escoamento ocorra quando P = 
200 kN. (Resposta: T = 708.000 Nmm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b)
σo σo
1/2 oσ 1/2σo
(c)
σo
1/2σo
60 MPa
80 MPa
18) O estado plano de tensões indicado é esperado em um alumínio fundido. Sabendo-se que 
para a liga de alumínio usada a σut = 80 MPa e σuc = 200 MPa, e usando o critério de Mohr, 
determinar se a ruptura irá ocorrer. (Resposta: A ruptura não irá ocorrer; σI = 32 MPa e σII = 
-113 MPa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Um elemento de máquina é feito de ferro fundido para o qual σut = 51,7 MPa e σuc = 124,1 
MPa. Determinar, para cada um dos estados planos de tensões indicado, e usando o critério 
da Mohr, a tensão σo para a qual deve ocorrer a ruptura do elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
a) σo= 51,7 MPa 
b) σo = 42,8 MPa 
c) σo = 56,4 MPa. 
 
 
 
 
 
50 MPa
40 MPa
150 MPa
T '
T
τ0
20) O estado plano de tensões mostrado ocorre em uma barra feita de um tipo de aço, com 
tensão ao escoamento na tração de 300 MPa. Determinar o coeficiente de segurança, em 
relação ao escoamento, usando: 
a) Critério da máxima tensão de cisalhamento; 
b) Critério da máxima energia de distorção. 
 
Resposta: 
 a) coef.seg. = 1,76 
 b) coef.seg. = 3,47 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Para o estado plano de tensões mostrado, determinar: 
a) os planos principais (θP = 18° 30’; θC = 26° 30’). 
b) as tensões principais (σI = 110 MPa; σII = 10 MPa) 
c) a máxima tensão de cisalhamento (τmax = 55 MPa) 
 
22) Uma barra de alumínio fundido é feito de uma liga em que, σut = 80 MPa e σuc = 200 MPa. 
Sabendo-se que T dos torques aplicados é gradual e crescente e usando o critério de ruptura 
de Mohr, determinar τo para que ocorra a ruptura. 
Resposta: 
τ0 = 57,1 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 MPa
20 MPa
30 MPa
80 MPa
100 MPa
yσ
600 mm
L
150 mm
z
A
x
K
150 mm
y
P
B
23) Um ponto de um componente de máquina fica submetido ao estado plano de tensões 
indicado. O componente é feito de liga de alumínio para o qual σy = 280 MPa. Adotando o 
critério de máxima tensão de cisalhamento, determinar o valor da tensão de compressão σy 
para o qual o escoamento ocorre. 
 
 
 
Resposta: σy = -115,95 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) O tanque de ar comprimido AB tem um diâmetro externo de 250 mm e uma espessura de 8 
mm. Nele é montado um colar, no qual uma força P de 40 kN pode ser aplicada em B. 
sabendo-se que a pressão interna do tanque é de 5MPa, determinar a máxima tensão de 
cisalhamento no: 
a) ponto K. (R: τmax = 25,84 MPa). 
b) ponto L. (R: τmax = 46,44 MPa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25) O tanque de ar comprimido AB tem um diâmetro externo de 462 mm e uma espessura 
uniforme de 6 mm. Sabendo-se que a pressão dentro do vaso é de 130 kPa, determinar as 
tensões principais e de cisalhamento máxima, no: 
a) Ponto K; 
b) Ponto L. 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
Ponto K: 
σI = 7,17 MPa 
σII = 4,23 MPa 
τmax = 1,47 MPa 
Ponto L: 
σI = 5,55 MPa 
σII = 1,95 MPa 
τmax = 1,80 MPa 
 
 
26) O vaso de pressão cilíndrico mostrado é fabricado com chapa de aço de 6,35 mm de 
espessura, soldada ao longo de uma hélice, formando um ângulo de 30 graus com a 
horizontal. Sabendo-se que a tensão normal admissível perpendicular à solda é de 80 MPa, 
determinar a maior pressão que pode ser usada no vaso. (R: PMÁX = 400 kPa) 
 
 
500 mm
A
5 kN
750 mm
B
L
K
20
00
 m
m
635 mm
30