Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Conteudo3 Ex1- A A Aplicação do diagrama de força cortante, através da formula = Tensão = V.Ms/I.B O momento estático é obtido pela formula MS= Area . H médio = (0,250x0,02)x,15 = 9x103 substituindo na formula anterior comos dados = 10,6MPA Ex2- D τ = V*Q/b*I V = 80KN I = 301,3*10^-6 m^-4 Q1 = ʃy dA = b*y²/2 (com y variando de 0,15 a 0), LOGO: 0,02*(0,15²/2) Q1 = 2,25*10^-4 m³ Q2 = ʃy dA = b *y²/2 (com y variando d e 0 ,17 a 0,15), LOGO: 0,25*(0,17²/2 – 0,15²/2) Q2 = 8*10^-4 m³ Qtotal = Q1 + Q2 = (2,25*10^-4) + (8*10 ^-4) Qtotal = 1,025*10^-3 m³ τ = ((80*10^3)*(1,025*10^-3)) / ((0,02)*(301,3*10^-6)) τ = 13,6 Mpa Ex3- E V = 80 [KN] I = 301,3*10^-6 [m ^4] Q1 = A1*yc1 =(0,25*0,02)*(0,16) Q1 = 8*10^-4 [m ^3] Q2 = A2*yc2 = (0,02*(0,15 –y))*(y + 0,5(0,15 – y)) Q2 = 2,25*10^-4 – 0,01*y^2 [m ^3] Qtotal = 1,025*10^-3 – 0,01*y^2 [m ^3] A FORÇA CORTANTE RESULTANTE É A INTEGRAL DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM RELAÇÃO À ÁREA Vr = ʃ τ dA; e τ = V*Q/b*I τ = ((13,6*10^6) – (132,76*10^6*(y^2) Pa INTEGRANDO EM RALAÇÃO A y: Vr = 20*10^3*(13,6y – (132,76*y^3)/3) COM O MESMO VARIANDO DE 0,15 Á -0,15 Vr ~ 80KN Exe-4 V = 80 [KN] I = 301,3*10^-6 [m ^4] Qflange = A*yc A = b*x = 0,02*xm^2 ; yc = 0,16m Qflange = 0,02x*0,16 Qflange = 3,2*10^-3x m^3 A FORÇA CORTANTE RESULTANTE É A INTEGRAL DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM RELAÇÃO À ÁREA Vr = ʃ τ dA; e τ = V*Q/b*I τ = (80*10^3*3,2*10^-3x)/(0,02*301,3*10^-6) τ = 42,48257x Pa INTEGRANDO EM RELAÇÃO A x TOMANDO A FLANGE SUPERIOR ESQUERDA COMO BASE Vr = (42,48257*x^2)/2 COM VALOR DE x VARIANDO ENTRE 0 E 0,115m Vr = 5,63 KN Ex5- a A é zero , não força resultante devido a fluxo de cisalhamento. Ex8- b Calculo do momento de inercia da viga (BH³/12bh ³/12) = 3,755x10-5 , depois calcular as força que a carga distribuida influencia na viga = 30KN ,depois,calcular o MS = 10x104aplicar as formula tensão = V.MS/BI = 30X10X104/ 0,25X3,755X-5 = 3,2 MPA Ex9- a Ao Efetuar o calculo do momento de inercia = BH3/12 bh³/12 = 3,755x10 -5 , calculo do MS para viga invertida 10x104, aplicar na formula tensão = VMS/bI = 30x10³x10x104/0,23x3,755x10-5=3,6 mpa Conteudo5 Ex4- B e = 3b² x tf / h x tw + 6b x tf => (3(29²) x 5)) / ((87 x 5) + (6x29)5)) => 12615/1305 ≅ 9,666 x 3 ≅ 29mm. Centro de torção = 29mm. (Multipliquei por 3, porque o desenho apresenta base (a) e altura (a) iguais; possui também espessura (t) constante; e três aberturas simétricas entre a alma e o flange). Ex5-c e = 3bh² (b+2a) - 8ba³ / h² (h + 6b + 6a) + 4a² (2a - 3h) => ((3x70)(100²) x (70+80) - (8x70)(40³)) / (100²(100+420+240) + 4(40²) x (80-300)) => (279,16 x 10^6) / (6,192 x 10^6) ≅ 45,09 aprox. 48,8. Ex6-d Para este exercício teremos que dividir a peça em duas (2), no caso seria uma viga “E” e uma viga “T”, aplicando a formula para a viga “E” onde b=90 mm ; h=180 mm ; tw = tf = 6 mm achamos uma distância de e= 33,75 mm Para viga T onde b=120mm; h=90mm; tf=tw=6mm. Achamos uma distância e de 53,33 mm , subtraindo-se as duas distâncias, encontramos = 19 mm Ex7- e Sabemos que a base da figura é 203mm , para acharmos a altura da peça, teremos que usar a relação trigonométrica de seno = cat. Op. / hip. Nesse caso sabemos que o ângulo é de 45°, acharemos a hipotenusa da peça com valor de 287,085mm , assim aplicamos o teorema de Pitágoras e acharemos a altura da peça, que é aproximadamente 203mm. Para acharmos a distância “e”, basta substituirmos os valores na fórmula: e= 3 x b² x tf / h x tw + 6 x b x tf , onde tf=tw=2mm , encontraremos o valor de “e” = 87mm Como é uma cantoneira é de abas iguais, sabendo que a mesma distância “e” é de 87 mm estará atuando na parte inferior da viga, portanto subtraindo-se as duas distâncias, encontraremos uma distância igual a zero (0). Ex8- d E = ( 15,5 x 23 x 4 ) + ( 2 x 23 x 4 ) / ( 23 x 4 ) x 2 E = 8m,75 m Conteudo 4 Ex=1 I= b.h^3/12 I= 240.160^3/12 – 2.(100.80^3/12) I= 73386666,67 mm^4 B= 40 mm Q= considerando somente onde a viga é colada. Q= (100 + 100 + 40). (40). (60) Q= 576000 mm^3 V= b.I.τ/Q V= (40. 73386666,67. 0,35)/576000 V= 1,783 kN. Conforme f eito em sa la d e aula, nenhuma das alternativas tem a resposta que chegamos. Ex2- D Primeiro passo é calcular a força que é execida sobre o parafuso ,tensão = F/A , então F= tensão x área do parafuso = 60x10 6 x 0,07²xpi = 9,23kn / 2 pois a força está sendo influenciada pela 02 lados do parafuso = 4,61 kn , depois calcula-se o I BxH²/12 – bxh³/12 = 3,846x10-6 Sabendo q a formula S = FxI/VMS, isolando o V = FxI/MSxS , substituindo os valor V= 5,50kn EX- 3 Q = 250 * 10-3 * 20 * 10-3 * 160 * 10-3 Q = 8 * 10-4 m3 I = (250 * 10-3 * (240 * 10-3)3 / 12) – 2 * (115 * 10-3 * (300 * 10-3)3 / 12) I = 3,013 * 10-4 m4 VMÁX = 10 kN F = VMAX * QCHAPA / I F = 10 * 8 * 10-4 / 3,013 * 10-4 F = 26,55 kN/m N°CORDÕES = 4 / (150 * 10-3) N°CORDÕES = 26,67 FCORDÃO = F * L / (2 * N°CORDÕES) FCORDÃO = 26,55 * 4 / (2 * 26,67) FCORDÃO = 2 kN τCORDÃO = 105 kN/m2 τCORDÃO = FCORDÃO / ACORDÃO 105 = 2 / (15 * 10-3 * L) L = 2 / (105 * 15 * 10-3) L = 1,33 * 10-3 m L = 1,33 mm Conforme f eito em sa la d e aula , nenhuma das alternativas tem a resposta que chegamos. Ex4- C ICHAPA = b * h³ / 12 ICHAPA = 260 * 15³ / 12 ICHAPA = 96817500 mm2 I = 2 * (IU + ICHAPA) I = 2 * (78259700 + 96817500) I = 350154400 mm4 I = 350,15 * 10-6 m4 QCHAPA = 0,26 * 15 * 10-3 * 157,5 * 10-3 QCHAPA = 6,1425 * 10-4 m3 Vmáx= 62,5 kN F = Vmáx * QCHAPA / I F = 62,5 * 6,1425 * 10-4 / 350,15 * 10-6 F = 109,64 kN/m FTOTAL = F * 2,5 FTOTAL = 109,64 * 2,5 FTOTAL = 274,1 Kn n = FTOTAL / (2 * 47) n = 274,1 / (2 * 47) n = 2,92 d = 2,5 / 2,92 d = 0,85 m d = 850 mm Conforme f eito em sa la d e aula, nenhuma das alternativas tem a resposta que chegamos. Ex5-a Primeiro passo é calcular a força que é execida sobre o parafuso ,tensão = F/A , então F= tensão x área do parafuso = 60x10 6 x 0,07²xpi = 9,23kn / 2 pois a força está sendo influenciada pela 02 lados do parafuso = 4,61 kn , depois calcula-se o I BxH²/12 – bxh³/12 = 3,846x10-6 Sabendo q a formula S = FxI/VMS, isolando o V = FxI/MSxS , substituindo os valor V= 4,50kn Ex6- D Ms= (25x203)x41,5 Ms= 210.612,5 mm3 V=5x ;V=5.6=30KN I=37.10^6 mm4 I= 2 x 37.10^6 It= 74.10^6 mm4 f= Ms x V / It f= 210,6.10^3 x 30.10^3 / 74.10^6 f= 85,4 N/mm T=F/A ; F=TxA F = 40 x (3,14 x 7,5^2) F =7,06.10^3 N S=2xF / f S= 2 x 7,06.10^3 / 85,4 = 165mm Ex7- A Ms= (20x100)x50 Ms= 100.000 mm3 V=27 KN I=(120x120^3 /12) – (80x80^3 /12) I= 13.866.667 mm4 f= Ms x V / It f= 100.10^3 x 27.10^3 / 13,86.10^6 f= 194,8 N/mm T=F/A ; F=TxA F = 88 x (3,14 x r^2) S=2xF / f 50= 2 x 88 x (3,14 x r^2) / 194,8 r^2= 17,62 r= 4,19mm D= 7,4mm Ex8- D Calculo do momento de inercia = BXH³/12 – BXH³/12 = (0,21X,28³)/12 – (0,18-,2³)12 = 2,64X10-4 MS = (0,18X0,04)0,12 = 8,64X10-4 S= 2FXI/VMS = 2X800X2,64X10-4 /10,5X10 3 X 8,64 X 10-4 = S= 0,046M = 46MM Conteudo 6 Ex1- C I1 = d4 * π / 32 I1 = 104 * π / 32 I1 = 981,74 mm4 I2 = d4 * π / 32 I2 = 164 * π / 32 I2 = 6433,98 mm4 N1 = π2 * E * I1 / L2 N1 = π2 * 206 * 103 * 981,74 / 6002 N1 = 5544,48 N N2 = π2 * E * I2 / L2 N2 = π2 * 206 * 103 * 6433,98 / 9952 N2 = 13212,97 N ƩFY = – P – N2 * SEN 67,56° = 0 P = – 0,92 * N2 P = – 0,92 * 13212,97 P = – 12155,93 N (o sinal n egativo mostra que a barra 2 sofre compressão) ƩFX = – N1 + N2 * COS 67,56° = 0 N1 = 0,38 * N2 P = – N1 / 0,41 P = – 5544,48 / 0,41 P = – 13523,12 N (o sinal n egativo mostra que a barra 1 sof re compressão) Segurança igual a 3 P = 12155,93 / 3 P = 4051,97 N P = 4,0 kN Nenhuma d as alternativas tem a resposta que chegamos, fizemos conforme o professor nos orientou em sala de aula. Ex3- a L= RAIZ² ( 0,46²+0,46²) = 0,65M I = (PI x d4)/64= (PI X 0,016 ^4)/64 = 3,2169 X 10-9 PCR = PI² X E X I/L² = PI²X 206 X 10 9 X 3,2169 X 10-9 / 0,65² = 15,48 kN , MAIS DEVIDO AO FATOR DE SEGURANÇA = 3 = 15,48/3 = 5,16 KN Ex3- D EMx : -N1* sen45º + N2*sen74º = 0 Emy : -N1*cos45º - N2*cos74º -P = 0 -N1*0,7 + N2*0,96 = 0 -N1*0,7 – N2*0,27 - P = 0 -N2*0,27 – N2*0,96 – P = 0 N2 = -P/1,23 N1 = N2*0,96/0,7 = (-P/1,23)*(0,96/0,7) N2= -0,813P e N1= - 1,115P Pcr1 = ((π^3)* (200*10^6)*(10 ^-4))/ (32*(4,24^2)) = 1077,95 kN Pcr2 = ((π^3)* (200*10^6)*(10 ^-4))/ (32*(10,88 ^2)) = 163,71 kN Coef. de segurança = 2 Pcr = Pcr2/2 = 81,5 P= 81,85/0,813 = 100kN Conforme f eito em sa la d e aula com o professor, nenhuma das alternativas tem a resposta que chegamos. Ex4- a Dados: P=20 KN E=200GPa L=2m N=4 Sabendo que nível de segurança é igual a 4, temos que a força: P=20*4 P=80KN Conhecendo a formula de “P”, temos: P=π²*E*I/L² I=P*L²/E* π² Ficando: I=80000*2²/200*10^9* π² I=1,6211389*10^-7 m ^4 I=162113,89 mm^4 Momento de Inercia pa ra carregamento de 2 0 KN com m odulo de segurança igual a 4. Agora basta calcula r o m omento de inércia co m a s dim ensões das alternativas, e fazendo isto o valor mais próximo que che gamos foi utilizando as dimensões 51 x 51 x 9,5: I = IX1 + A 1y1`2 + Ix2 + A2y2`2 I = (51 * 9,53) / 12 + 484,5 * 11,442 + (9,5 * 41,53) / 12 + 394,25 * 9,312 I = 157807,24 mm^4 Ex5- E I = 2 * (I1 + I2) I = 2 * (121765,4 + 32020,7) * 10-12 I = 3,076 * 10-7 m4 P = π2 * E * I / L2 P = π2 * 206 * 106 * 3,076 * 10-7 / 2,752 P = 82,7 kN Como o coeficiente de segurança é 2, temos: P = 82,7 / 2 P = 41,35 kN Ex6- A I = I1 I = 1,217654 * 10-7 m4 P = π2 * E * I / L2 P = π2 * 206 * 106 * 1,217654 * 10-7 / 2,752 P = 32,74 kN Como o coeficiente de segurança é 2, temos: P = 32,74 / 2 P = 16,37 kN Ex8- D De = 76 mm Di = 70 mm L = 10 m E = 200GPa = 200.10³ MPa I = π/4 (re^4 – ri^4) = π/4 (38^4 – 35^4) = 459073,87 mm4 Pcr = (C² x 200.10³ x 459073,87) / (10.10³)² Pcr = 9 KN Conteudo 7 Ex1-b σcr = Pcr / A = 300 MPA D = 50 mm .: r = 25 mm A = πr² = πr² = π.25² = 1963,49 mm² Assim, 300 Mpa = Pcr / 1963,49 mm² => Pcr = 589048,62 N E = 206 GPa = 206.10³ MPa I = π/4 (r^4) = π/4 (25^4) = 306796,16 mm4 L² = (π² x 200.10³ x 306796,16) / 589048,62 L² ≈ 1000 mm Ex2- C I = ^2*r^4/4 = ^2 * 25^2 / 4 I=306,8*10^3 mm4 Pcr=^2 * E * I/ L^2 = ^2 * 206*10^3 * 306,8*10^3 / 1000^2 Pcr= 623,8KN Ex3- c Pcr x=^2 * E * I x/ kL x^2 = ^2 * 70*10^3 * 61,3*10^6 / (10*10^3)^2 Pcr= 424kN Padm = Pcr/FS = 424*10^3 / 3 Padm= 141kN Ex4-B I = (π / 64) * (D4 – d4) I = (π / 64) * (0,14 – 0,0844) I = 2,5 * 10-6 m4 E = 70 * 106 kPa N = 4,3 Pcr = (π2 * E * I) / (L2 * N) BARRA AB: L = 3 PcrAB = (π2 * E * I) / (L2 * N) PcrAB = (π2 * 70 * 106 * 2,5 * 10-6) / (32 * 4,3) PcrAB = 45 kN BARRA BC: PcrBC = (π2 * E * I) / (L2 * N) PcrBC = (π2 * 70 * 106 * 2,5 * 10-6) / (42 * 4,3) PcrBC = 25 kN Consideramos a carga com 90 kN, ao invés de 9 kN. A barra AB, por a carga P estar po sicionada de maneira si métrica devido ao apoio C, sofrerá uma compressão constante de 4 5 kN, independente da altura “h”. Já a barra BC tem compressão variando de acordo com a altura “h”. Portanto para sabermos o valor de “h” devemos resolver a estática do problema: PcrBC = (SENἀ * 0,5 * P) / COSἀ ἀ = TAN-1 (PcrBC / (0,5 * P)) ἀ = TAN-1 (25 / (0,5 * 90)) ἀ = 29° h = CO / TANἀ h = 2 / TAN29° h = 3,6 m Ex5- a P = PCR P = α . ΔT . E . A PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A logo: ΔT = (4 π2 . ( π . 304 / 64 )) / ( 14002 . 1,1x10-5 . ( π . 302 / 4 )) ΔT = 102,95°C Ex5- c P = PCR P = α . ΔT . E . A PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A logo: ΔT = (4 π2 . ( π . 204 / 64 )) / ( 1,2102 . 1,1x10-5 . ( π . 202 / 4 )) ΔT = 62,3°C Ex7- b Ix = Ix' + A .d2 Ix = 4 x ( 50 . 9,29 . 2,132 ) Ix = 368,6 cm4 PCRADM = ( π2 . I . E ) / 4 . L2 PCRADM = ( π2 . 70x105 . 368,6 ) / ( 4 . 2002 ) PCRADM = 159,16 KN PCR = PCRADM x FS PCR = 159,16 x 2 PCR = 318,32 KN Conteudo 8 ex1- c P = π2 * E * I / (L2* N) P = π2 * E * π * d4/ (L2* N * 32) d = ((P * L2 * N * 32) / (π3 * E))1/4 d = ((10 * 0,52 * 2 * 32) / (π3 * 200 * 106))1/4 d = 0,0126 m d = 12,6 mm Nenhuma d as alternativas tem a resposta que chegamos, fizemos conforme o professor nos orientou em sala de aula. Ex2- D É necessário realizar o somatório de forças em X e em Y, depois calcular o momento de inércia, e no final a carga critica aplicada que não faça flambar deve ser dividida pelo coeficiente de segurança. I=pid^4/64 Pad=Pcr/K=181 KN ex3- a P = π2 * E * I / (L2 * N) P = π2 * E * π * d4 / (L2 * N * 32) P = π3 * 200 * 106 * 0,0124 / (0,32 * 2 * 32) P = 22,32 Kn Nenhuma d as alternativas tem a resposta que chegamos, calculo conforme o professor nos orientou em sala de aula. Ex5- c Pcr = (π^2* E*I) / (L^2) * N h =1,5*b Pcr = 20 kN E = 70*10^6 kPa I = (b*h^3) / 12 L = 350mm =0,35m N = 2 Logo: 20 = (π^2 * 70*10^6 * b*(1,5 *b) ^ 3) / (0,35^2 * 2 * 12) b = ((0,35^2 * 2 * 12 * 20) / ( π^2 * 70*10^6 * 1,5 ^3)) ^ (1/4) b= 0,0126m= 12,60mm h= 1,5 * 12,60 h= 18,90mm Portanto a área da seção é: A=12,60 * 18,90 A=238,14mm^2 Conforme teoria vista em aula utilizamos a fórmula da carga crítica. Nenhuma das alternativas corresponde ao valor encontrado. Ex6- C P = PCR P = α . ΔT . E . A PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A logo: ΔT = (4 π2 . ( π . 304 / 64 )) / ( 1,22 . 1,1x10-5 . ( π . 302 / 4 )) ΔT = 62° Ex7- a Metodo de aprimoração de Tetmajer λ = ( L / r ) = √ ( π . E / σfl ) λ = √ (π2 . 200x103 / 240 ) λ = 90 Aproximado de 95. Ex8- B AÇO ST37 σ = P/A P = σ*A σfl = σc – (σc-σpl/λlim²)*λ² λ = KL/R R = ²√I/A I = π*d^4/32 I = π*12^4/32 I = 2035,75 mm^4 A = π*r^4 A = π*6^4 A = 113,2 mm² R = ²√2035,75/113,2 R = 4,24 mm λ = 1*300/4,24 λ = 70,75 Para aço ST37: λlim = 105 σfl = 240 – (240-200/105²)*70,75² σfl = 221,8 MPa σadm = σfl/Fs σadm = 221,8/2 σadm = 110,9 MPa P = σ*A P = 110,9*113,1 P = 12400 N ou 12,4 KN Conteudo 9 Ex1-a Para a seção que se encontra no meio do vão da barra, a flecha máxima é determinada através de Pa/24EI*(4a²-3L²) Ex4- E O ponto ocorre no meio do vão V = 5q . L4 / 384 . E . I Ex5- D ( L3 / 48 . E . I ) . (2P-5P) = ( - 3PL3 / 48EI ) = ( - PL3 / 16EI ) Ex8- B Calculando a área: A=π.r² A=π.25²=1963,5 mm² Calculado o I: I = π r4 / 4 I=306796,15 mm4 Substituindo na formula: σ = PCR / A Pcr=589KN Substituindo na formula: PCR = ( π2 . I . E ) / L2 ---- L= 1029mm ou 1m. Conteudo 10 Ex2- e Força real ∫M.Mdx=[(30x3/2 x 2/3 (3))]=90 d_r=(∫M.Mdx)/(E x I) =90/(E x I) Força aplicada extremidade livre ∫M.Mdx=[(((5xF_el x5)/2 x 1/3 (-5))]=- 20,8333xF_el d_el=(∫M.Mdx)/(E x I) =(-20,833xF_el)/(E x I) Deslocamento igual a zero d_el+d_r=0 (20,833xF_el)/(E x I)=90/(E x I) F_el=90/20,833=4,320 kN Ex3- a Deslocamento “u” Sendo o produto EI constante na barrra, a expressão do deslocamento será: u=(∫M.Mdx)/(E x I) Caso barra de carregamento e momento fletor M : Vamos definir o esforço unitário adimensional, que deverá, no caso barra de carregamento, ser aplicado sozinho na estrutura: - Queremos o deslocamento da extremidade livre (extremidade sem ligação a apoio ou barra) aplicamos o esforço unitário na extremidade livre. - Queremos a translação vertical da seção o esforço unitário a ser aplicado na extremidade éuma força unitária vertical. Novamente, as reações V , V e H A B B , e os momentos fletores M , foram obtidos da maneira que vimos no curso de EE. Observamos que, sendo o esforço unitárioaplicado à estrutura uma força adimensional, as forças de reação também serão adimensionais, e os momentos fletores M terão metro como unidade, pois serão o resultado do produto de forças adimensionais por braços de alavanca em metros (adimensional x metro = metro). ∫M.Mdx=[((área1 x valor1) )+((área2 x valor2) ) ]+ [(área3 x valor3)- (((qxL^3)/12+ (A+B)/2) ) ] ∫M.Mdx=[(12x3 x 1/2 (-3))+(24x3/2 x 2/3 (-3))]+ [36x6/2 x 2/3 (3)- ((2x6^3)/12+ (3+0)/2)]= 52,5 u=(∫M.Mdx)/(E x I) =52,5/(200x10^9 x 10^(-8) )=0,02625 m ou 27 mm.
Compartilhar