Lista de Exercícios – Princípio dos Trabalhos Virtuais

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20 kN 20 kN40 kN
20 kN/m
A B
2 m 2 m3 m3 m
C
3,5 m
3 m3 m
20 kN
10 kN10 kN
A
Lista de Exercícios n°1 – Princípio dos Trabalhos Virtuais 
 
1ª Questão: 
Para a viga abaixo, determinar: 
a) a flecha da seção C; 
b) a rotação da seção B. 
 
Rigidez das barras: EI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão: 
Para a treliça abaixo, determinar: 
a) o deslocamento vertical no nó A; 
b) o deslocamento horizontal no nó A. 
 
Rigidez das barras: EI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 m
3 m
3 m 50 kN
A
3 m 3 m2 m
20 kN/m
50 kN
C
20 kN
2 m
2 m
3 m
3ª Questão: 
Para a grelha abaixo, determinar o deslocamento vertical do nó A. 
Rigidez das barras: 
Flexão Æ EI 
Torção Æ GJt 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª Questão: 
Para o pórtico abaixo, determinar o deslocamento vertical do nó C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,5 m3 m3 m
20 kN/m
3 m
3 m
A
C
B
D
20 kN
5ª Questão: 
Para o pórtico abaixo, determinar a rotação da seção C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6ª Questão: 
A estrutura abaixo é submetida ao carregamento indicado. Ao mesmo tempo, ela sofre as 
variações de temperatura indicadas na figura. Todas as barras tÊm seção retangular de 0,5 m 
de altura. Calcular o deslocamento horizontal no extremo do balanço. EIc = 105 kN.m2 , α = 
10-5 /°C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: δB = 7,55 mm ← 
 
 
 
2 m
5 m
t = 10°Ciδ
20 kN
B
t = 40°Ceδ
20 kN.m
10 kN/m
A
t = 40°Ceδ
4 m t = -5°Ciδ
FDAE
3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m
IG CHB
20 kN/m
7ª Questão: 
A estrutura abaixo, quando submetida ao carregamento, sofre recalques verticais, de cima 
para baixo, de 2 cm dos apoios A e F, bem como é submetida à variação de temperatura 
indicada na figura. Todas as barras tÊm seção retangular de 0,5 m de altura. α = 10-5/°C, EIC 
= 5.105 kN.m2. 
Calcular: 
a) o deslocamento vertical do ponto B; 
b) a rotação do ponto a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a) δB = 12,51 mm ↓ 
 b) θA = 0,00015 rad 
 
8ª Questão: 
A estrutura abaixo, quando submetida ao carregamento, sofre os recalques de apoio indicados. 
Ao mesmo tempo, ela sofre a variação de temperatura indicada na figura. Todas as barras têm 
seção retangular de 0,5 m de altura. α = 10-5/°C, EIC = 5.105 kN.m2. 
Calcular: 
a) o deslocamento vertical do ponto D; 
b) a rotação da tangente à elástica em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a) δD = 7,72 mm ↓ 
 c) θB = -0,126 rad 
 
4 m
t = 30°CC e
= 1,0 cmAβ = 1,5 cmBβ
I C I C
it = -10°C
E
3 m3 m3 m3 m
A
I C I C
D
20 kN/m
B
3 m4 m 2 m2 m
50 kN20 kN 40 kN 20 kN/m
BA
9ª Questão: 
As barras da viga abaixo são mísulas retas com Imin = IC e Imax = 5IC. calcular a flecha no meio 
do vão. EIC = 5.105 kN.m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: δC = 10,2 mm ↓ 
 
 
10ª Questão: 
Calcular os deslocamentos verticais no meio do vão e na ponte do balanço para a viga da 
figura, cujas mísulas são retas com Ia = 10IC. EIC = 105 kN.m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 m
50 kN
3 m2 m
CA
40 kN 20 kN/m
3 m 2 m
B
2 m
A
e 40 kN/m
2 m 2 m 2 m
B
t = 30 °Ci
50 kNt = 10 °C
2 m
2 m
1 m2 m
20 kN
1,5 m1,5 m1 m 1 m
BC
A
20 kN/m30 kN 30 kN
11ª Questão: 
Calcular a rotação do apoio B da viga, que está submetida ao carregamento e a variação de 
temperatura indicados na figura. As mísulas são parabólicas com Ia = 10IC. EIC = 105 kN.m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12ª Questão: 
As barras horizontais da estrutura da figura são mísulas retas com Imin = IC e Imax = 5IC. 
quando submetida ao carregamento indicado, a estrutura sofre recalques verticais, de cima 
para baixo de 2 cm nos apoios A e B. EIC = 5.105 kN.m2. Calcular: 
a) o deslocamento vertical do ponto C; 
b) o deslocamento horizontal do apoio A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a) δC = 20,7 mm ↓ 
 b) δA = 0,027 mm ← 
13ª Questão: 
A estrutura abaixo sofre os recalques indicados quando submetida ao carregamento indicado. 
Também está sujeita à variação de temperatura indicada. Calcular o deslocamento vertical do 
ponto E. 
 
2 m
3 m1,5 m 1,5 m1,5 m
1 cm
A
1,5 cm
B
2 m
t = 10 °Ci
20 kN
D
t = 10 °C
C
e20 kN
E
20 kN/m
40 kN