Cálculo Numérico Completo Versão 2016

Prévia do material em texto

1 
Cálculo Numérico 
Prof: SILVIO LUIZ CASTRO SILVA 
 
E-MAIL: silvioluiz10@gmail.com 
FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 
2 
 Introdução à Calculo Numérico 
 Erros Numéricos 
 Raízes de Equações 
 Sistemas de Equações Lineares 
 Interpolação Polinomial 
 Integração e Diferenciação Numéricas 
 
Cálculo Numérico – Programa da Matéria 
3 
Cálculo Numérico -Técnicas de Ensino 
 Aulas Expositivas; 
 Aulas Práticas em Laboratório de Informática; 
 Atividades individuais ou em grupo. 
4 
Cálculo Numérico - Recursos Didáticos 
 Quadro branco; 
 Datashow; 
 Laboratório de Informática; 
 Calculadora (Alunos) 
 
5 
Cálculo Numérico – Avaliação 
 P1 – PROVA 1; 
 
 P2 – TRABALHO – Construção de 
uma Catapulta Trebuchet, onde 
realizaremos uma competição de 
lançamentos; 
 Ep – Exercícios Propostos 
 
MF = (P1 + P2+Ep)/3 
6 
Cálculo Numérico – Bibliografias 
 RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo 
numérico: aspectos teóricos e computacionais. 
2.ed. São Paulo, Pearson Makron Books, 1996. 
 
 BARROS, I. Q. Introdução ao Cálculo 
Numérico. São Paulo, Edgard Blucher, 1972. 
7 
Cálculo Numérico 
I - INTRODUÇÃO 
FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 
8 
 O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto 
de ferramentas ou métodos usados para se 
obter a solução de problemas matemáticos de 
forma aproximada. 
 
 Esses métodos se aplicam principalmente a 
problemas que não apresentam uma solução 
exata, portanto precisam ser resolvidos 
numericamente. 
 
Cálculo Numérico: Definição 
9 
“Busca solucionar problemas técnicos 
representados por 
modelos matemáticos” 
Cálculo Numérico – Introdução 
10 
 Os problemas de engenharia, 
normalmente, representam uma situação 
física da natureza. Tais problemas são 
transformados em equações ou modelos 
matemáticos, que serão resolvidos por 
métodos analíticos ou numéricos . 
Cálculo Numérico: Introdução 
11 
Exemplo de Cálculo Solução Exata: 
 
Calcular quantos metros de fita deverá ser comprada para 
representar a diagonal de um quadrado. 
Cálculo Numérico – Introdução 
45° 
H2 = L2 + L2 
Lados medindo 1 metro 
 
H2 = 12 + 12 
H2 = 2 
 
 
2H 
metros 
12 
Exemplo de Cálculo Solução Exata: 
 
Calcular as RAÍZES da equação abaixo: 
Cálculo Numérico – Introdução 
Função
-10,0000
-5,0000
0,0000
5,0000
10,0000
15,0000
20,0000
-6,000 -4,000 -2,000 0,000 2,000 4,000 6,000
 X
f(
x)
Função
06xx 2 
Fórmula de 
“Bhaskara ” 
 
 
x’ = -3 .......... f(x’)=f(-3)=0 
X’’ = 2 .......... f(x’’)=f(2)=0 
X’ X’’ 
 x 
 
13 
Exemplo de Cálculo Solução Aproximada 
 
Calcular o valor da variável x para a equação abaixo: 
Cálculo Numérico – Introdução 
x f(x) 
1,143 0,0068 
1,144 0,0047 
1,145 0,0026 
1,146 0,0004 
1,147 -0,0017 
1,148 -0,0039 
Equação
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18
Fu
nç
ão
 - f
(i)
xe2x)x(f 
x f(x) 
1,010 0,2644 
1,110 0,0756 
1,210 -0,1435 
1,310 -0,3962 
1,410 -0,6860 
1,510 -1,0167 
Incremento = 0,001 Incremento = 0,1 
xe2x 
14 
 Exemplo de Modelos 
Matemáticos. 
• Suponha que você esta em 
cima de um edifício que não 
sabe a altura, mas precisa 
determiná-la. Tudo que tem em 
mãos é uma bola de metal e 
um cronômetro. O que fazer? 
Cálculo Numérico: Introdução 
15 
Como já conhecemos a equação didática do 
movimento uniformemente variado fica mais fácil. 
Cálculo Numérico: Introdução 
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0t +
𝑔𝑡2
2
 
s= Posição Final 
s0=Posição Inicial 
v0=Velocidade Inicial 
t=Tempo percorrido 
g=aceleração da gravidade 
16 
Imagine que a bolinha foi solta do topo do edifício e 
marcou-se no cronômetro que ela levou 2 segundos 
para atingir o solo. 
Cálculo Numérico: Introdução 
𝑠 = 0 + 0 ∗ 2 +
9,8 ∗ 22
2
= 19,6𝑚 
s= Posição Final = ? 
s0=0 
v0=0 
t=2 segundos 
g=9,8m/s² 
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0t +
𝑔𝑡2
2
 
17 
Com uma modelagem didaticamente simples a 
resposta é confiável? Onde estão os erros? 
 
Erros de modelagem: 
 Resistência do ar 
 Velocidade do vento 
 Forma do objeto, etc. 
Cálculo Numérico: Introdução 
18 
Erros de resolução 
 Precisão dos dados de entrada Ex.: tempo, 
gravidade 
 Operações numéricas efetuadas 
 Forma como os dados são armazenados 
 Erro de truncamento (troca de uma série infinita 
por uma série finita) 
Cálculo Numérico: Introdução 
19 
Cálculo Numérico 
II - ERROS 
FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 
20 
 Erros: Introdução 
Cálculo Numérico – Erros 
• A noção de erro está presente em todas as áreas das 
ciências que realizam mensurações, medições, pois 
valores observados nunca são exatos, mas sim um 
intervalo. Dessa forma, as operações sobre valores não 
exatos propagam esses erros para os resultados. 
 
• Por outro lado, os próprios métodos numéricos, métodos de 
aproximação de resultados, buscam minimizar os erros, 
procurando resultados o mais próximos possíveis dos 
resultados exatos. 
21 
Cálculo Numérico – Erros 
 Erros: Existência 
Em um processo de medição existem várias fontes de erros: 
Operador Instrumento Utilizado 
Procedimento de Medição Condições Ambientais 
Questionário 
22 
Cálculo Numérico – Erros 
 Erros: Existência 
• Exemplo de Medição: Medição do comprimento de uma 
barra de 100 mm. 
Régua de Aço 
Valor de 1 divisão 
= 0,5 mm 
Paquímetro 
Valor de 1 divisão = 
0,02 mm 
Resultados das Medições 
Régua Paquímetro 
100 100,02 
99,5 100,02 
99 99,98 
Resultados Médio 
99,5 100,02 
Desvio Padrão 
0,5 0,02 
Resultados Finais 
100 ± 0,5 100 ± 0,02 
23 
Cálculo Numérico – Erros 
 Erros: Propagação 
Dados de Entrada 
Dados Valores 
A 50 ± 3 
B 21 ± 1 
• Exemplo de Operações Matemáticas com Valores 
Sujeitos a Erros: Quando efetuamos operações sobre números 
sujeitos a erro, esses erros se propagam aos resultados das 
operações 
Multiplicação 
Dados Valores Resultados 
MAX – A 53 
1166 
MAX - B 22 
MIN – A 47 
940 
MIN – B 20 
Valor de A Valor de B Resultado 
50 21 
1050 +116 
1050 -110 
Soma 
Dados Valores Resultados 
MAX – A 53 
75 
MAX - B 22 
MIN – A 47 
67 
MIN – B 20 
Valor de A Valor de B Resultado 
50 21 71 ± 4 
24 
Cálculo Numérico – Erros 
 Erro Absoluto 
Definimos como Erro Absoluto – EA = |x - 𝒙 | a 
diferença entre o valor exato (esperado) de um 
número x e de seu valor aproximado (medido) 𝑥 . 
 
 
Exemplo ) 𝑥 =5,3 e x=5,4 
 
𝐸𝐴x = 5,4 − 5,3 = 0,1 
 
 
25 
Cálculo Numérico – Erros 
 Erro Relativo 
Definimos como Erro Relativo - ER a divisão do Erro Absoluto de 
x, EAx, pelo valor de x. 
 
Exemplo 1) 𝑥 =2112,9 para que 𝐸𝐴x = 0,1, 
𝐸𝑅x =
𝐸𝐴x
𝑥 
=
0,1
2112,9
≈ 0,000047 
 
Exemplo 2) 𝑦 =5,3 para que 𝐸𝐴y = 0,1, 
 𝐸𝑅y =
𝐸𝐴y
𝑦 
=
0,1
5,3
≈ 0,02 
 
Com o Erro Relativo, em uma comparação de resultados, podemos 
verificar qual o resultado é mais preciso, pois a ordem de grandeza de x 
influência no resultado obtido. 
Dessa forma, verificamos que o valor de x tem maior precisão que o 
valor de y 
26 
Cálculo Numérico – Erros 
 Erro Percentual 
Podemos também transformar o Erro Relativo - ER em Erro 
Percentual – EP. Essa transformação é realizada multiplicando o 
erro relativo por 100. 
 
Exemplo de Erros Percentuais:1) 𝐸𝑅x = 0,000047 
 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 0,0047% 
 
 
 
2) 𝐸𝑅x = 0,02. 
 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 2% 
 
27 
Cálculo Numérico – Erros 
 Exercícios Propostos 
1) Calcular os Erros 
 
 
 
1) Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0,00004 para 
um valor exato de 0,00005. Calcular os erros absoluto, 
relativo e percentual para este caso. 
28 
Cálculo Numérico – Erros 
 Exercícios Propostos 
1) Calcular os Erros 
 
Resolução do Exemplo de Erros: 
 
Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0,00004 para 
um valor exato de 0,00005. Calcular os erros absoluto, relativo e 
percentual para este caso. 
 
EA=0,00001 
ER=0,25 
EP=25% 
29 
Cálculo Numérico 
III - Zeros de Equações 
FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 
30 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações 
• Muitas modelagens matemáticas de problemas exigem o cálculo 
de equações do tipo f(x)=0, isto é, a determinação de raízes. 
• Uma raiz real é um número real x quando f(x)= 0. 
• Graficamente, as raízes são representados pelos pontos onde as 
abcissas interceptam o eixo “x”. 
f(x) 
x x’ x” 
f(x) 
x x’ x” 
x”’ 
31 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Como obter localizar 
• Para equações de grau <=2 existem fórmulas que determinam as 
raízes em função dos coeficientes. Já para funções de mais alto 
grau e no caso de funções mais complicadas, é praticamente 
impossível se achar os zeros exatamente. Dessa forma 
conseguimos através de alguns métodos resolver essas equações 
de forma aproximada. 
 
Esses métodos consistem em duas fazes: 
Fase 1: Localizar o intervalo que contém a raiz 
Fase 2: Refinamento, através de aproximações dentro 
do intervalo encontrado na fase 1, melhorá-las 
sucessivamente até se obter uma aproximação de 
acordo com a precisão solicitada. 
32 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
• Existe pelo menos uma raiz no intervalo [a,b] que é zero de f(x) 
se f(a)*f(b)<0. 
Graficamente 
f(x) 
x x’ x” 
f(a) 
f(b) 
f(x) 
x 
x’ 
f(a) 
f(b) 
Observação: 
Quando f’(x) existir e preservar o sinal em [a,b], então esse intervalo contém 
apenas uma única raiz. 
33 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
• Uma forma de isolar as raízes de f(x) é tabelar f(x) para vários 
valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da 
derivada f’(x). 
Observação: Como f(x) é um polinômio de grau 3 podemos afirmar que 
em cada intervalo contém um único zero de f(x). 
-25 
3 
13 
11 
3 
-5 
-7 
3 
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)=x3 - 9x + 3 
x f(x) f'(x) 
-4 -25 39 
-3 3 18 
-2 13 3 
-1 11 -6 
0 3 -9 
1 -5 -6 
2 -7 3 
3 3 18 
34 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
• Para f(a)*f(b)>0 podemos ter várias situações no intervalo 
[a,b], conforme os gráficos: 
 
Graficamente 
f(x) 
x 
f(a) 
f(b) 
f(x) 
x 
f(a) 
f(b) 
• A análise gráfica de funções é fundamental para se obter boas 
aproximações para as raízes. 
35 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
-25
3
13,39230485
11
3
-5
-7,392304845-7
3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
• Uma outra forma para analisarmos uma função é a partir de f(x) 
obtermos duas equações equivalentes g(x)=h(x), esboçar seus 
respectivos gráficos no mesmo eixo cartesiano e procurar por 
intersecções entre as curvas. 
 
 
Exemplo: f(x)=x3-9x+3, onde, x3=9x-3, tal que g(x)=x3 e h(x)=9x-3 
-64,0
-27,0
-5,2
-1,0 0,0 1,0
5,2
8,0
27,0
-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
f(x)=x3-9x+3 g(x)=x3 e h(x)=9x-3 
36 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
Método da Bissecção: Exercício Para Fixação 
Localizar, graficamente, o intervalo das raízes das funções 
abaixo: 
 
a) x/2 – tg(x)=0, OBS: Usar a calculadora em radianos 
b) 2x-3x=0 
c) X3+x-1000=0 
 
37 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
Método da Bissecção: Resolução dos Exercícios Para Fixação 
Localizar, graficamente, o intervalo das raízes das funções 
abaixo: 
 
a) x/2 – tg(x)=0 
x f(x) 
-4 -0,84218 
-3 -1,64255 
-2 -3,18504 
-1 1,057408 
0 0 
1 -1,05741 
2 3,18504 
3 1,642547 
4 0,842179 
38 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
Método da Bissecção: Resolução dos Exercícios Para Fixação 
Localizar, graficamente, o intervalo das raízes das funções 
abaixo: 
 
b) 2x-3x=0 
x f(x) 
-4 12,0625 
-3 9,125 
-2 6,25 
-1 3,5 
0 1 
1 -1 
2 -2 
3 -1 
4 4 
39 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
Método da Bissecção: Resolução dos Exercícios Para Fixação 
Localizar, graficamente, o intervalo das raízes das funções 
abaixo: 
 
c) X3+x-1000=0 
x f(x) 
5 -870 
6 -778 
7 -650 
8 -480 
9 -262 
10 10 
11 342 
12 740 
13 1210 
40 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
Método da Bissecção: Exercício Para Fixação 
Localizar, graficamente, o intervalo das raízes positivas das 
equações pela intersecções das equações g(x)=h(x): 
e=2,718 
 
a) 2 cos(x) = ex/2 
 
b) xe-x=e-3 
 
41 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
Método da Bissecção: Resolução do Exercício Para Fixação 
Localizar, graficamente, o intervalo das raízes positivas das 
equações pela intersecções das equações g(x)=h(x): 
e=2,718 
a) 2 cos(x) = ex/2 
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6
x
f(x
)
g(x) h(x)
42 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento 
Método da Bissecção: Resolução do Exercício Para Fixação 
Localizar, graficamente, o intervalo das raízes positivas das 
equações pela intersecções das equações g(x)=h(x): 
e=2,718 
b) xe-x=e-3 
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
f(x
)
g(x) h(x)
43 
Cálculo Numérico 
III - Zeros de Equações 
Método Bissecção 
FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 
44 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução 
• O refinamento consiste em um processo iterativo, isto é, uma seqüência 
de operações que são executados passo a passo, algumas das quais são 
repetidas em ciclos. 
INÍCIO 
DADOS INICIAIS 
CÁLCULOS INICIAIS 
K=1 
CALCULAR A NOVA APROXIMAÇÃO 
ESTA APROXIMAÇÃO ATENDE 
A PRECISÃO REQUERIDA 
K=K+1 CÁLCULOS FINAIS 
FIM 
NÃO SIM 
45 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução 
-25
3
13,39230485
11
3
-5
-7,392304845-7
3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
• Existem várias técnicas para a aproximação das soluções de forma 
iterativa, veremos a seguir alguns desses métodos: 
f(x)=x3-9x+3 
Método da Bissecção: 
Seja uma função continua f(x) no intervalo [a,b] e tal que f(a)*f(b)<0. 
O objetivo desse método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a 
raiz até se atingir a precisão requerida: (b-a)<ε, usando para isso a 
sucessiva divisão de [a,b] ao meio. 
2
ba
x i


Onde: 
b’=xi, quando f(x)>0 
a’=xi, quando f(x)<0 
46 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução 
Método da Bissecção: 
 
Características 
 
1) Permite isolar raízes reais 
2) O limite de erro é obtido diretamente 
3) Possui baixa velocidade de convergência, mas a convergência é 
garantida. 
47 
Método da Bissecção: 
Exemplo – Refinamento do intervalo [-4,-3], ε=0,5 
f(x)=x3-9x+3 
Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 
0 -4 -25 -33 1 -3,5 -8,375 
1 -3,5 -8,375 -3 3 0,5 -3,25 -2,07813 
2 -3,25 -2,07813 -3 3 0,25 -3,125 0,607422 
3 -3,25 -2,07813 -3,125 0,6074219 0,125 -3,1875 -0,698 
48 
Método da Bissecção: 
Exercício para FixaçãoExemplo – Refinamento do 
intervalo [-4,-3], ε=0,5 
f(x)=x3-9x+3 
Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 
0 -4 -25 -3 3 1 -3,5 -8,375 
1 -3,5 -8,375 -3 3 0,5 -3,25 -2,07813 
2 -3,25 -2,07813 -3 3 0,25 -3,125 0,607422 
3 -3,25 -2,07813 -3,125 0,6074219 0,125 -3,1875 -0,698 
Exercício para Fixação 
Continuar o método da bissecção para o intervalo [-4, -3] e 
com uma precisão de ε=0,01 
49 
Método da Bissecção: 
Exemplo – Refinamento do intervalo [-4,-3], ε=0,5 
f(x)=x3-9x+3 
Resolução Exercício para Fixação 
Continuar o método da bissecção para a precisão: ε=0,01 
Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 
0 -4 -25 -3 3 1 -3,5 -8,375 
1 -3,5 -8,375 -3 3 0,5 -3,25 -2,07813 
2 -3,25 -2,07813 -3 3 0,25 -3,125 0,607422 
3 -3,25 -2,07813 -3,125 0,6074219 0,125 -3,1875 -0,698 
4 -3,1875 -0,698 -3,125 0,6074219 0,0625 -3,15625 -0,03604 
5 -3,15625 -0,03604 -3,125 0,6074219 0,03125 -3,140625 0,287991 
6 -3,15625 -0,03604 -3,14063 0,2879906 0,015625 -3,1484375 0,126551 
7 -3,15625 -0,03604 -3,14844 0,1265512 0,007813 -3,15234375 0,045399 
50 
Método da Bissecção: 
 
Exercício para Fixação 
Uma empresa que realiza a reciclagem possui um 
forno para fundir o alumínio coletado. Sabendo 
que o forno aquece de acordo com a função 
f(x)=ex + x - 3, onde x representa o tempo em 
horas e f(x) a temperatura do forno em °C. Para 
que horas o forno tem que ser programado para 
ligar automaticamente? Sabendo-se que a 
atividade produtiva começa as 8:00 horas da 
manhã com o forno aquecido a 150 °C. Resolver 
pelo método da bissecção com precisão de ε=0,05 
e calcular seu respectivos erros. 
 
51 
Método da Bissecção: 
 
Resolução Exercício para Fixação 
 
Primeiramente como queremos encontrar o valor f(x)=150. 
 
Dessa forma f(x)= ex + x - 3 = 150 e f(x)= ex + x – 153, 
onde o valor de x resultará no tempo necessário para 
aquecer o forno até 150°C. 
ISOLAMENTO 
x f(x)= ex + x - 153 
0 -152 
1 -149,2817182 
2 -143,6109439 
3 -129,9144631 
4 -94,40184997 
5 0,413159103 
6 256,4287935 
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7
Gráfico - f(x) 
52 
Resolução Exercício para Fixação 
 
Refinamento da solução 
Raiz- Intervalo [4,5] Critério de Parada (b-a) <0,05 
Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 
0 4 -94,4018 5 0,413159 1 4,5 -58,4829 
1 4,5 -58,4829 5 0,413159 0,5 4,75 -32,6657 
2 4,75 -32,6657 5 0,413159 0,25 4,875 -17,1508 
3 4,875 -17,1508 5 0,413159 0,125 4,9375 -8,64124 
4 4,9375 -8,64124 5 0,413159 0,0625 4,96875 -4,18428 
5 4,96875 -4,18428 5 0,413159 0,03125 4,984375 -1,9034 
Com a solução sabemos que o forno precisa de 4,984375 
horas (4h 59m 4s) para se aquecer até 150°C. Dessa 
forma, como o expediente se inicia as 8:00h teremos que 
ligar o forno as (8 - 4,984375=3,015625) = 3h 1m 56s . 
53 
Resolução Exercício para Fixação 
 
Cálculos dos Erros de Tempo 
Com o tempo aproximado de 𝑥 = 4,984375 e uma exatidão de 
ε=0,05 podemos calcular os seguintes erros: 
 
Erro Absoluto do Tempo: 
𝐸𝐴x = x − 4,984375 < 0,05 
 
Erro Relativo do Tempo: 
𝐸𝑅x =
𝐸𝐴x
𝑥 
=
0,05
4,984375
< 0,010. 
 
Erro Percentual do Tempo: 
 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 0,010 ∗ 100% < 1,00% 
54 
Resolução Exercício para Fixação 
 
Cálculos dos Erros de Temperatura 
Com a função original podemos verificar a temperatura 
aproximada calculada. 
 
f(x)= ex + x - 3 = 150 
 
Com 𝑥 = 4,984375 e uma exatidão de ε=0,05 podemos 
calcular a temperatura aproximada de 𝐟 𝑥 = 148,09660 que 
nos gera os seguintes erros de temperatura: 
 
Erro Absoluto: 
𝐸𝐴ᴨ = x − x = 150 − 148,09660 = 1,90 
 
Erro Relativo: 
𝐸𝑅x =
𝐸𝐴x
𝑥 
=
1,90
148,09660
= 0,013. 
Erro Percentual: 
 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 0,013 ∗ 100% = 1,30% 
55 
Método da Bissecção: 
 
Exercício para Fixação 
Um engenheiro precisa calcular a profundidade, yn, da 
água de uma canal trapezoidal com talude 1:1, z=1, 
executado em concreto não muito liso e contendo as 
seguintes características. Resolver pelo método da 
bissecção com precisão de ε=0,05 
 
n=0,014 - Coeficiente de Minning 
R=0,196m – Raio Hidráulico 
I=0,004mm-1 – Declive do fundo 
b=0,30m – Largura do fundo 
Q=0,423m³s-1 – Vazão do Canal 
 
Sabendo-se que a vazão do canal pode ser calculada por: 
𝑄 = 𝐴
1
𝑛
𝑅
2
3 𝐼
1
2 onde 𝐴 = 𝒚𝒏(𝒃 + 𝒛𝒚𝒏) 
56 
Método da Bissecção: 
 
Resolução do Exercício para Fixação 
Primeiramente transformamos a equação: 
𝑄 = 𝐴
1
𝑛
𝑅
2
3 𝐼
1
2 onde 𝐴 = 𝒚𝒏(𝒃 + 𝒛𝒚𝒏) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓 𝑦𝑛 = 𝑄 − 𝒚𝒏(𝒃 + 𝒛𝒚𝒏)
1
𝑛
𝑅
2
3 𝐼
1
2 
57 
Método da Bissecção: 
 
Resolução do Exercício para Fixação 
Agora realizamos o isolamento da raiz da função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓 𝑦𝑛 = 𝑄 − 𝒚𝒏(𝒃 + 𝒛𝒚𝒏)
1
𝑛
𝑅
2
3 𝐼
1
2 
Características 
n= 0,014 
R= 0,196 m 
I= 0,004 1/mm 
b 0,3 m 
Q= 0,423 m³/s 
z= 1 
ISOLAMENTO 
x f(yn) 
-2 -4,759646547 
-1 -0,644015466 
0 0,423 
1 -1,55860015 
2 -6,588815917 
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
Gráfico - f(x) 
𝒇 𝑦𝑛 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟑 − 𝒚𝒏(𝟎, 𝟑 + 𝟏𝒚𝒏) 𝟏, 𝟓𝟐𝟒𝟑𝟎𝟕𝟖𝟏 
𝒇 𝐱 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟑 − 𝒚𝒏(𝟎, 𝟑 + 𝟏𝒚𝒏)
𝟏
𝟎, 𝟎𝟏𝟒
𝟎, 𝟏𝟗𝟔
𝟐
𝟑 𝟎, 𝟎𝟎𝟒
𝟏
𝟐 
58 
Método da Bissecção: 
 
Resolução do Exercício para Fixação 
Agora realizamos o refinamento da solução pelo 
método da bissecção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: A profundidade da água é de 0,39m para uma 
precisão de ε=0,05 
𝑓 𝑦𝑛 = 𝑄 − 𝒚𝒏(𝒃 + 𝒛𝒚𝒏)
1
𝑛
𝑅
2
3 𝐼
1
2 
Raiz- Intervalo [a,b] Critério de Parada (b-a)< 0,05 
Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 
0 0 0,423 1 -1,5586 1 0,5 -0,18672 
1 0 0,423 0,5 -0,18672 0,5 0,25 0,213408 
2 0,25 0,213408 0,5 -0,18672 0,25 0,375 0,03716 
3 0,375 0,03716 0,5 -0,18672 0,125 0,4375 -0,06883 
4 0,375 0,03716 0,4375 -0,06883 0,0625 0,40625 -0,01435 
5 0,375 0,03716 0,40625 -0,01435 0,03125 0,390625 0,011779 
𝒇 𝑦𝑛 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟑 − 𝒚𝒏(𝟎, 𝟑 + 𝟏𝒚𝒏) 𝟏, 𝟓𝟐𝟒𝟑𝟎𝟕𝟖𝟏 
59 
Resolução Exercício para Fixação 
 
Cálculos dos Erros de Altura 
Com a altura aproximada de 𝑥 = 0,39 e uma exatidão de 
ε=0,05 podemos calcular os seguintes erros: 
 
Erro Absoluto: 
𝐸𝐴y = y − 0,39 < 0,05 
 
Erro Relativo: 
𝐸𝑦 =
𝐸𝐴y
𝑦
=
0,05
0,39
< 0,128 
 
Erro Percentual: 
 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 0,128 ∗ 100% < 12,82% 
Método da Bissecção: 
 
Exercício para Fixação 
Um pendulo suspenso no teto de uma sala balança-se 
de acordo com a seguinte expressão. 
 
𝑑 = 80 + 90 cos
𝜋
3
𝑡 , t ≥ 0 
 
 
 
 
Onde: d(cm) representa a distância até a parede de 
referência e depende do número de segundos t desde 
que o pêndulo foi posto em movimento. 
Calcule o instante de tempo t em que o pêndulo toca a 
parede da sala. Resolver pelo método da bissecção 
com precisão de ε=0,05 60 
d 
61 
Método da Bissecção: 
 
Resolução Exercício para Fixação 
De acordo com a equação o pêndulo toca na parede 
quando d=0. dessa forma f(t)=0. 
 
𝑓 𝑡 = 𝑑 = 80 + 90 cos
𝜋
3
𝑡 ⇒ 𝑓 𝑡 = 80 + 90cos 
𝜋
3
𝑡 
 
Vamos agora isolar a raiz: 
ISOLAMENTO 
x f(x) 
0 170 
1 125 
2 35 
3 -10 
4 35 
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
00,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Gráfico - f(x) 
62 
Método da Bissecção: 
 
Resolução do Exercício para Fixação 
Agora realizamos o refinamento da solução pelo 
método da bissecção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: O tempo aproximado para o pêndulo tocar a 
parede, com precisão de ε=0,05, é de 2,55 segundos 
𝑓 𝑡 = 80 + 90cos 
𝜋
3
𝑡 
Raiz- Intervalo [a,b] Critério de Parada (b-a)< 0,5 
Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 
0 2 35 3 -10 1 2,5 2,057714 
1 2,5 2,057714 3 -10 0,5 2,75 -6,93332 
2 2,5 2,057714 2,75 -6,93332 0,25 2,625 -3,14916 
3 2,5 2,057714 2,625 -3,14916 0,125 2,5625 -0,71855 
4 2,5 2,057714 2,5625 -0,71855 0,0625 2,53125 0,627086 
5 2,53125 0,627086 2,5625 -0,71855 0,03125 2,546875 -0,05645 
63 
Resolução Exercício para Fixação 
 
Cálculos dos Erros de Tempo 
Com o tempo aproximado de 𝑡 = 2,55e uma exatidão de 
ε=0,05 podemos calcular os seguintes erros: 
 
Erro Absoluto: 
𝐸𝐴t = t − 2,55 < 0,05 
 
Erro Relativo: 
𝐸Rt =
𝐸𝐴t
𝑡
=
0,05
2,55
< 0,020 
 
Erro Percentual: 
 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 0,02 ∗ 100% < 2,00% 
64 
Método da Bissecção: 
Exercício para Fixação 
Continuar o método da bissecção para encontrar as outras 
duas reizes com precisão: ε=0,05 
f(x)=x3-9x+3 
x f(x) 
-4 -25 
-3 3 
-2 13 
-1 11 
0 3 
1 -5 
2 -7 
3 3 
4 31 
65 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução 
Método da Bissecção: Exercício Para Fixação 
Localizar aproximadamente pelo método da bisseccão a raiz 
positiva da equação, com ε=0,001 
f(x)=4 cos x – ex = 0, com e = 2,718 
f(x)
-10,000
-8,000
-6,000
-4,000
-2,000
0,000
2,000
4,000
6,000
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x
f(x
)
ε1 
66 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução 
Método da Bissecção: Exercício Para Fixação 
Localizar aproximadamente pelo método da bisseccão a raiz 
da função, com ε=0,001 e verificar o resultada através da 
fórmula de “bhaskara” 
f(x)=X2+2x-5 
f(x)
-8,000
-6,000
-4,000
-2,000
0,000
2,000
4,000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x
f(x
)
ε1 ε2 
67 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução 
Método da Bissecção: Exercício Para Fixação 
Localizar aproximadamente pelo método da bisseccão a raiz 
da função, com ε=0,001 
f(x)=2X-tg x 
Localizar aproximadamente pelo método da bisseccão os 
três zeros das equação no intervalo [1,12], com ε=0,001 
Log x = cos x 
68 
Cálculo Numérico 
III - Zeros de Equações 
Método do Ponto Fixo (MPF) 
FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 
69 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Função de Iteração 
Método do Ponto Fixo (MPF): 
Seja uma função continua f(x) no intervalo [a,b] e tal que f(a)*f(b)<0. 
O MPF consiste em transformar f(x) em uma função de iteração para f(x), 
onde x=φ(x), isto é, f(φ(x)) e a partir de uma aproximação x0 gerar a 
seqüência xk com xk+1=φ(xk). 
Exemplo: Para a função x2 + x – 6 = 0 temos duas raízes 
f(x)
-10
-5
0
5
10
15
20
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
f(x)
70 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Função de Iteração 
Método do Ponto Fixo (MPF): 
Exemplo: Para a função x2 + x – 6 = 0 temos várias funções de iteração, 
entre as quais: 
 
a) φ1(x) = 6 - x2 
 
b) φ2(x) = (6-x)1/2 
 
c) φ3(x) = 6/(x+1) 
 
d) φ4(x) = 6/x – 1 
 
71 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Iteração 
Método do Ponto Fixo (MPF): 
Exemplo: As funções de iteração podem ser divergentes ou 
convergentes, Exemplo: 
Funções Iterativas x
0 
= 1,5 x
1
 x
2
 x
3
 x
4
 x
5
 x
6
 
X=φ1 6-x2 3,75 -8,0625 -59,0039 -3475,461 -12078823 -1,46E+14 -2,13E+28 
X=φ2 (6-x)1/2 2,12132 1,96944 2,00763 1,99809 2,00048 1,99988 2,00003 
X=φ3 6/x - 1 3,00000 1,00000 5,00000 0,20000 29,00000 -0,79310 -8,56522 
X=φ4 6/(x+1) 2,40000 1,76471 2,17021 1,89262 2,07425 1,95170 2,03273 
72 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Critério de Parada 
Método do Ponto Fixo (MPF): 
Exemplo: As funções de iteração são iteradas até que a precisão requerida 
seja atingida, f(x) < ε: 
 
f(x)=x2 + x - 6 
Critério de Parada f(x) < ε 
Função Iterativa x0 = 1,5 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 
φ2 (6-x)1/2 2,12132 1,96944 2,00763 1,99809 2,00048 1,99988 2,00003 1,99999 2,00000 
f(x) 0,621 -0,152 0,038 -0,010 0,002 -0,001 0,0001 -0,00004 0,00001 
Função Iterativa x0 = 1,5 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 
φ4 6/(x+1) 2,40000 1,76471 2,17021 1,89262 2,07425 1,95170 2,03273 1,97842 2,01449 
f(x) 2,160 -1,121 0,880 -0,525 0,377 -0,239 0,1647 -0,10745 0,07268 
73 
Raizes da Função
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
φ1(x) y=x φ2(x) φ3(x) φ4(x)
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Análise Gráfica 
Método do Ponto Fixo (MPF): 
Analisando graficamente a raiz da equação x=φ(x) é a abcissa do ponto de 
intersecção da reta y=x e da curva y = φ(x) 
ε1 
ε2 
74 
Cálculo Numérico 
III - Zeros de Equações 
Método de Newton-Raphson 
FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 
75 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Função de Iteração 
Método de Newton-Raphson 
Esse método consiste em utilizar uma função de iteração no seguinte 
formato: 







)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx
Com essa função de iteração conseguimos agilizar a convergência 
 
O critério de parada é dado por: 
|)(| xf
76 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Função de Iteração 
Método de Newton-Raphson 
Exemplo: Para a função x2 + x – 6 = 0 temos duas raízes x’1=-3 e x”2=2 









12
62
1
x
xx
xxk
f(x)=x2 + x – 6 







)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx
77 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Função de Iteração 
Método de Newton-Raphson 
Exemplo: Localizar as raízes da função x2 + x – 6 = 0, com x0=1,5 
Critério de 
Parada 
ε= 0,001 
Iteração xn |f(xn)|<ε 
0 1,50000 -2,25000 
1 2,06250 0,31641 
2 2,00076 0,00381 
3 2,00000 0,00000 









12
62
1
x
xx
xxk
78 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução 
Método de Newton-Rapshon: Exercício Para Fixação 
Aplique o método de Newton-Rapshon à equação, com 
ε=0,001 
f(x)=X3-2x2-3x+10, com x0=-3 
 
79 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução 
Método de Newton-Rapshon: Resolução do Exercício Para Fixação 
Aplique o método de Newton-Rapshon à equação, com 
ε=0,001 
f(x)=X3-2x2-3x+10, com x0=-3 
 









343
1032
2
23
1
xx
xxx
xxk
Critério de Parada ε= 0,001 
Iteração xn |f(xn)|<ε 
0 -3,00000 -26,00000 
1 -2,27778 -5,36094 
2 -2,03046 -0,52519 
3 -2,00043 -0,00727 
4 -2,00000 0,00000 
Método de Newton Raphson: 
 
Exercício para Fixação 
Um pendulo suspenso no teto de uma sala balança-se 
de acordo com a seguinte expressão. 
 
𝑑 = 80 + 90 cos
𝜋
3
𝑡 , 3 ≥ t ≥ 0 
 
 
 
Onde: d(cm) representa a distância até a parede de 
referência e depende do número de segundos t desde 
que o pêndulo foi posto em movimento. 
Calcule o instante de tempo t em que o pêndulo toca a 
parede da sala. Resolver pelo método de Newton 
Raphson com precisão de ε=0,001. Determinar os 
Erros 80 
d 
81 
Método de Newton Raphson: 
 
Resolução Exercício para Fixação 
De acordo com a equação o pêndulo toca na parede 
quando d=0. dessa forma f(t)=0. 
 
𝑓 𝑡 = 𝑑 = 80 + 90 cos
𝜋
3
𝑡 ⇒ 𝑓 𝑡 = 80 + 90cos 
𝜋
3
𝑡 
 
Vamos agora isolara raiz: 
ISOLAMENTO 
X f(x) 
0 170 
1 125 
2 35 
3 -10 
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Gráfico - f(x) 
82 
Método de Newton Raphson: 
 
Resolução Exercício para Fixação 
Determinação da função de iteração 
 
𝑓 𝑡 = 80 + 90 cos
𝜋
3
𝑡 , 𝑦 = cos 𝑢 ⇒ 𝑦′ = −𝑢′ sin 𝑢 
 







)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx



























33
90
3
90cos80
1 

tsen
t
xx kk
85 
Cálculo Numérico 
Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução 
Método de Newton-Rapshon: Exercício Para Fixação 
Aplique o método de Newton-Rapshon à equação, com 
ε=0,001 
f(x)=X3-9x+3 com x0=0,5 
 
86 
Cálculo Numérico 
IV - SISTEMAS LINEARES 
FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 
87 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares 
Sistema Linear 
3x + 2y - 5z = -8 
4x - 3y +2z = 4 
7x + 2y - 3z = 2 
0x + 0y + z = 3 
• Exemplo de Sistema Linear: 
Coeficientes Termos 
Independentes 
Sistema Linear com m=4 Equações e n=3 Variáveis 
Variáveis ( X, Y, Z) 
88 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares 
• Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, 
dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL. 
 
• Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele 
é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL. 
 
• Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma 
solução, dizemos que ele é DETERMINADO. 
 
• Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma 
solução, dizemos que ele é INDETERMINADO. 
 
• Se os termos independentes de todas as equações de um sistema 
linear forem todos nulos, ou seja: 
• b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema 
linear HOMOGÊNEO. 
89 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares 
Tipos de Equações Lineares 
 
Equações lineares de uma variável: 
2x + 8 = 36 
 
solução única x = 14 
Equações lineares com duas variáveis: 
x + y = 10 
 
A solução não é única, já que poderemos ter um número 
infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou 
seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par 
ordenado (4,6)] 
90 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares 
Sistema Linear 
x + y + 2z = 7 
3x + 2y -z = 11 
x + 2z = 4 
3x - y - z = 2 
• Exemplo de Solução de Sistema Linear: O terno ordenado (2, 
3, 1) é solução do Sistema Linear abaixo: 
Solução 
2 + 3 + 2*1 = 7 
3*2 + 2*3 -1 = 11 
2 + 2*1 = 4 
3*2 - 3 - 1 = 2 
91 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares 
Sistema Linear - A 
2x + 3y = 12 
3x - 2y = 5 
• Dois sistemas são EQUIVALENTES quando possuem a 
mesma solução, Exemplo: 
Sistema Linear - B 
5x - 2y = 11 
6x + y = 20 
São equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado 
(3, 2) como solução. Verifique! 
92 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
Sistema Linear Original 
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 
• O método consiste em transformar o sistema linear original num 
sistema linear equivalente com estrutura triangular superior 
Sistema Linear Equivalente 
a’11x1 + a’12x2 + a’13x3 = b’1 
 a’22x2 + a’23x3 = b’2 
 a’33x3 = b’3 
15x - 3y = 22 
5x + 2y = 32 
15x - 3y = 22 
 -9y =-74 
Equivalentes 
y=74/9 e x=28/9 
93 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
• O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas 
de equações lineares, também conhecido como 
escalonamento, baseia-se em três transformações 
elementares, a saber: 
 
T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as 
posições de duas equações quaisquer do sistema. 
Exemplo: 
2x + 3y = 10 
5x - 2y = 6 
5x - 2y = 6 
2x + 3y = 10 
94 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos 
ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por 
um número real não nulo. 
Exemplo: 
3x + 2y - z = 5 
2x + y + z = 7 
x - 2y + 3z = 1 
3x + 2y - z = 5 
2x + y + z = 7 
3x - 6y + 9z = 3 
Multiplicado por 3 
95 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando 
substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da 
adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi 
aplicada a transformação T2. 
Exemplo: 
15x - 3y = 22 
5x + 2y = 32 
15x - 3y = 22 
-15x -6y = -96 
15x - 3y = 22 
0 - 9y = - 74 
Equação 2 = Soma das 
equações 1 e 2 
Equação 2 
multiplicada por -3 
96 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
9
74
y


Exemplo: Resolução de Sistema Linear com o Método de 
Eliminação de GAUSS: 
15x - 3y = 22 
5x + 2y = 32 
15x - 3y = 22 
-15x -6y = -96 
15x - 3y = 22 
0 - 9y = - 74 
Equação 2 = Soma das 
equações 1 e 2 
Equação 2 
multiplicada por -3 
9
28
45
140
15x9
)743x22(3
15
)
9
74
x3(22
x 




9
74
y 
97 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 






 
32
22
25
315
Exemplo: Resolução de Sistema Linear com o Método de Eliminação de 
GAUSS com a escolha de um pivô: 
15x - 3y = 22 
5x + 2y = 32 






 
15
370
22
30
315
Pivô = 15 
Multiplicador = 5/15 
Linha 2 = Linha 2 – Linha 1 x Multiplicador 








 
15
370
22
y3
y3x15 Voltando as 
variáveis 
9
74
45
370
3x15
370
y 
9
28
45
140
15x9
)743x22(3
15
)
9
74
x3(22
x 




Eliminar 
98 
Multiplicando a 2° equação por (-3), a 1° 
equação por (2) 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
Exemplo: Resolução de Sistema Linear com o Método de Eliminação de 
GAUSS: 
3x + 2y - z = 5 
2x + y + z = 7 
x - 2y + 3z = 1 Multiplicando a 3° equação por (-2), somando o 
resultado obtido com a 2° equação e 
substituindo a 3° equação pelo resultado 
3x + 2y - z = 5 
2x + y + z = 7 
 0 + 5y -5z= -2 
6x + 4y - 2z= 10 
-6x -3y - 3z= -21 
 0 + 5y -5z= -2 
Somando a 2° equação com a 1° equação, e 
substituindo a 2° equação pelo resultado obtido 6x + 4y - 2z= 10 
 0 + 1y - 5z= -11 
 0 + 5y -5z= -2 
99 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
Exemplo Cont.: Resolução de Sistema Linear com o Método de 
Eliminação de GAUSS: 
Multiplicando a 2° equação por (-5), somando o 
resultado obtido com a 3° equação e 
substituindo a 2° equação pelo resultado 
Permutando as posições da 2° e 3° equações 
6x + 4y - 2z= 10 
 0 + 1y - 5z= -11 
 0 + 5y -5z= -2 
6x + 4y - 2z= 10 
 0 + 0 +20z = 53 
 0 + 5y -5z= -2 
6x + 4y - 2z= 10 
 5y -5z= -2 
 20z = 53 
z = 53/20 
5y -5z= -2 
5y -5(53/20)= -2 
Y=(-2+5(53/20)) / 5 
Y=49/20 
6x + 4y - 2z= 10 
6x + 4(49/20) – 2(53/20)= 10 
6x + 196/20 – 106/20 = 10 
6x = 10 - 196/20 + 106/20 
6x = (200-196+106)/20 
X=11/12 
100 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
1 - Exemplo de Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de 
Problemas: 
Em uma cooperativa de reciclagem foram vendidos as seguintes 
quantidades de produtos: 
Alumínio Vidro Papelão 
Valor 
Arrecadado 
100 kg 200 kg 50 kg R$: 30,00 
150 kg 130 kg 10 kg R$: 15,00 
110 kg 129 kg 100 kg R$: 100,00 
Qual o valor recebido por quilo decada produto: Alumínio, Vidro e 
Papelão? 
101 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
1 - Resolução: Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de 
Problemas: 
Em uma cooperativa de reciclagem foram vendidos as seguintes 
quantidades de produtos: 
Alumínio Vidro Papelão 
Valor 
Arrecadado 
100 kg 200 kg 50 kg R$: 30,00 
150 kg 130 kg 10 kg R$: 15,00 
110 kg 129 kg 100 kg R$: 100,00 
Alumínio = 2 reais 
Vidro = 1 Real 
Papelão = 0,14 Centavos 
Modelagem Matemática 
 
100x + 200y + 50z = 30 
150x + 130y + 10z = 15 
110x + 129y + 100z = 100 
102 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
2 - Exemplo de Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de 
Problemas: 
Em uma companhia de Saneamento Básico possui três tipos de Caixas 
de Esgoto: pequena, média e grande. Cada caixa pode atender um 
número de famílias de acordo com sua classificação, abaixo: 
Pequena Média Grande Tipos de Famílias 
3 8 17 A: de 1 a 3 pessoas 
2 5 14 B: de 4 a 7 pessoas 
1 4 10 C: de 8 a 15 pessoas 
Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que 
a companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 
caixas grandes. 
103 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
2 - Resolução: Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de 
Problemas: 
Uma companhia de Saneamento Básico possui três tipos de Caixas de 
Esgoto: pequena, média e grande. Cada caixa pode atender um número 
de famílias de acordo com sua classificação, abaixo: 
Pequena Média Grande Tipos de Famílias 
3 8 17 
A: de 1 a 3 
pessoas 
2 5 14 
B: de 4 a 7 
pessoas 
1 4 10 
C: de 8 a 15 
pessoas 
Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que 
a companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 
caixas grandes. 
Modelagem Matemática 
 
3A + 2B + 1C = 40 
8A + 5B + 4C = 80 
17A + 14B + 10C = 5 
104 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
2 - Resolução Cont.: Aplicação de Sistemas Lineares para a 
Solução de Problemas: 
Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que a 
companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 caixas 
grandes. 
Modelagem Matemática 
 
3A + 2B + 1C = 40 
8A + 5B + 4C = 80 
17A + 14B + 10C = 5 
3A + 2B + 1C = 40 x (-8) 
8A + 5B + 4C = 80 x (3) 
17A + 14B + 10C = 5 
 
Multiplicar a equação 1 por -8 
Multiplicar a equação 2 por -3 
-24A - 16B - 8C = -320 
 24A +15B + 12C = 240 
 17A + 14B + 10C = 5 
 
Somar as equações 1 e 2 e substituir a 
equação 2 pelo resultado 
-24A - 16B - 8C = -320 
 0 - 1B + 4C = -80 
 17A + 14B + 10C = 5 
 
 
Alterar as posições das equações 2 e 3 
105 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
2 - Resolução Cont.: Aplicação de Sistemas Lineares para a 
Solução de Problemas: 
Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que a 
companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 caixas 
grandes. 
-24A - 16B - 8C = -320 x (17) 
 17A + 14B + 10C = 5 x (24) 
 0 - 1B + 4C = -80 
 
Multiplicar a equação 1 por -17 
Multiplicar a equação 2 por -24 
-408A - 272B - 136C = -5440 
 408A +336B + 240C = 120 
 0 - 1B + 4C = -80 
 
Somar as equações 1 e 2 e substituir a 
equação 2 pelo resultado 
-408A - 272B - 136C = -5440 
 0 + 64B + 104C = -5320 
 0 - 1B + 4C = -80 x (64) 
 
 
Multiplicar a equação 3 por 64 
-408A - 272B - 136C = -5440 
 0 + 64B + 104C = -5320 
 0 - 64B + 256C = -5120 
 
Somar as equações 2 e 3 e substituir a 
equação 3 pelo resultado 
106 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
2 - Resolução Cont.: Aplicação de Sistemas Lineares para a 
Solução de Problemas: 
Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que a 
companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 caixas 
grandes. 
-408A - 272B -136C = -5440 
 0 + 64B +104C = -5320 
 0 0 +360C = -10440 
 
Analisar o valor de C 
360C = -10440 
C=-10440/360 
C=-29 
 
Analisar o valor de B através do valor de C 
64B + 104 x -29 = -5320 
64B +3016 = -5320 
64B= -5320 + 3016 
64B= - 2304 
B= -2304/64 
B=-36 
 
Analisar o valor de A através dos valores de B e C 
107 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
2 - Resolução Cont.: Aplicação de Sistemas Lineares para a 
Solução de Problemas: 
Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que a 
companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 caixas 
grandes. 
-408A - 272B -136C = -5440 
-408A – 272 x (-36) -136 x (-29) = -5440 
-408A + 9792 + 3944 = -5440 
-408A = -5440 -9792 – 3944 
-408A = -19176 
A = -19176/-408 
A = 47 
A = 47 
47 Famílias - A 
1 a 3 pessoas 
B = -36 
36 Famílias - B 
4 a 7 pessoas 
C = -29 
29 Família - C 
8 a 15 pessoas 
108 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL 
Sistema Linear Original 
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 
• O método consiste em transformar as equações em funções 
iterativas. 
Funções Iterativas 
X1=1/a11 x (b1 - a12x2 - a13x3) 
X2=1/a22 x (b2 - a11x1 - a13x3) 
X3=1/a33 x (b3 - a11x1 - a12x2) 
Sistema Linear Original 
5x1 + 1x2 + 1x3 = 5 
3x1 + 4x2 + 1x3 = 6 
3x1 + 3x2 + 6x3 = 0 
Funções Iterativas 
X1=1/5 x (5 - 1x2 - 1x3) 
X2=1/4 x (6 - 3x1 - 1x3) 
X3=1/6 x (0 - 3x1 - 3x2) 
109 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL 
• Para a iteração das funções geradas levasse em consideração 
valores iniciais para as variáveis da primeira função x01 = 0, x
0
2=0 
e x03=0, e utilizasse os valores encontrados das variáveis para as 
funções seguintes. 
Funções Iterativas 
X1=1/5 x (5 - 1x2 - 1x3) 
X2=1/4 x (6 - 3x1 - 1x3) 
X3=1/6 x (0 - 3x1 - 3x2) 
Iteração 1 
X1=1/5 x (5 – 1 x 0 – 1 x 0) = 1 
X2=1/4 x (6 – 3 x 1 – 1 x 0) = 0,75 
X3=1/6 x (0 – 3 x 1- 3 x 0,75) = -0,875 
• Resolver o Sistema Linear acima para a precisão: ε = 0,05 
110 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL 
ni1
xmáx
d
d
k
i
k
k
r 
• O processo iterativo é repetido até que o valor das variáveis 
estejam suficientemente próximas dos respectivos valores das 
variáveis da iteração anterior de acordo com a precisão desejada, 
Máximo Erro relativo (xk) < ε. 
ni1xxmáxd 1ki
k
i
k  
Distância 
Distância 
relativa 
111 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL 
Iteração 1 
X1=1/5 x (5 – 1 x 0 – 1 x 0) = 1 
X2=1/4 x (6 – 3 x 1 – 1 x 0) = 0,75 
X3=1/6 x (0 – 3 x 1- 3 x 0,75) = -0,875 
• Para a primeira iteração utilizaremos o valor zero (0) para as 
variáveis x0 das funções iterativas. 
Funções Iterativas 
X1=1/5 x (5 - 1x2 - 1x3) 
X2=1/4 x (6 - 3x1 - 1x3) 
X3=1/6 x (0 - 3x1 - 3x2) 
Valores Iniciais para as variáveis 
 x01 = 0, x
0
2=0 e x
0
3=0 
Distância k=0 
 dk=MAX(x11 = |0-1|, x
1
2=|0-0,75| e x
1
3=|0-(-0,875)|) 
 dk=MAX(x11 = 1, x
1
2=0,75 e x
1
3=0,875) = 1 
Distância Relativa k=1 
 dr
k= 1/1=1 
dr
k>ε, então continuamos as iterações 
112 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL 
• Caso a Distância Relativa não seja menor que a precisão desejada, 
continuamos a iteração com os valores anteriormente calculados. 
Funções Iterativas 
X1=1/5 x (5 - 1x2 - 1x3) 
X2=1/4 x (6 - 3x1 - 1x3) 
X3=1/6 x (0 -3x1 - 3x2) 
Iteração 2 
X1=1/5 x (5 – 1 x 0,75 – 1 x -0,875) = 1,025 
X2=1/4 x (6 – 3 x 1,025 – 1 x -0,875) = 0,95 
X3=1/6 x (0 – 3 x 1- 3 x 0,95) = -0,9875 
Valores das variáveis x1, para a 2° iteração 
 x11 = 1, x
1
2=0,75 e x
1
3=-0,875 
Máximo Erro Relativo de x1 
 dk=MAX(x21 = |1-1,025|, x
2
2=|0,75-0,95| e x
2
3=|-0,875-(-0,975)|) 
dk=MAX(x21 = 0,025, x
2
2=0,20 e x
2
3=0,1)= 0,20 
Distância Relativa k=1 
 dr
k= 0,20/1,025=0,1951 
dr
k>ε, então continuamos as iterações 
113 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL 
• Caso a Distância Relativa não seja menor que a precisão desejada, 
continuamos a iteração com os valores anteriormente calculados. 
Funções Iterativas 
X1=1/5 x (5 - 1x2 - 1x3) 
X2=1/4 x (6 - 3x1 - 1x3) 
X3=1/6 x (0 - 3x1 - 3x2) 
Iteração 2 
X1=1/5 x (5 – 1 x 0,95 – 1 x -0,9875) = 1,0075 
X2=1/4 x (6 – 3 x 1,025 – 1 x -0,875) = 0,9912 
X3=1/6 x (0 – 3 x 1- 3 x 0,95) = -0,9993 
Valores das variáveis x1, para a 2° iteração 
 x21 = 1,025, x
2
2=0,95 e x
2
3=-0,9875 
Máximo Erro Relativo de x1 
 dk=MAX(x31 = |1,025-1,0075|, x
3
2=|0,95-0,9912| e x
3
3=|-0,9875-(-0,9993)|) 
dk=MAX(x31 = 0,0175, x
3
2=-0,0412 e x
3
3=0,0118)= 0,0412 
Distância Relativa k=1 
 dr
k= 0,0412/1,0075=0,0409 
dr
k<ε = 0,0409<0,05, então alcançamos o critério de parada 
114 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL 
• Com o critério de parada alcançado obtemos os valores 
aproximados das variáveis do Sistema Linear 
Valores aproximados das variáveis 
 
x1 = 1,0075 
x2 =0,9912 
x3=-0,9993 
115 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
Exercícios para Fixação: Resolver os Sistema Linear abaixo com o 
Método de Eliminação de GAUSS e Iterativo GAUSS-SEIDEL: 
Sistema I : Resposta: S = { (3, 5) } 
4x - 2y = 2 
2x + 3y = 21 
Sistema II : Resposta: S = { (-1, 2, 4) } 
2 a + 5b + .3c = 20 
5 a + 3b - 10c = -39 
 a + b + c = 5 
Sistema III : Resposta: S = { (2, 3, 5) } 
 x + y - z = 0 
 x - 2y + 5z = 21 
4x + y + 4z = 31 
116 
Cálculo Numérico 
 Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 
Exercícios para Fixação: Resolver os Sistema Linear abaixo com o 
Método Iterativo GAUSS-SEIDEL: 
Sistema I : Resposta: S = { (3, 5) } 
4x - 2y = 2 
2x + 3y = 21 
Sistema II : Resposta: S = { (-1, 2, 4) } 
2 a + 5b + .3c = 20 
5 a + 3b - 10c = -39 
 a + b + c = 5 
Sistema III : Resposta: S = { (2, 3, 5) } 
 x + y - z = 0 
 x - 2y + 5z = 21 
4x + y + 4z = 31 
117 
Cálculo Numérico 
V - INTERPOLAÇÃO 
FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 
118 
Cálculo Numérico 
Interpolação Polinomial 
• A interpolação é um método matemático para se determinar 
valores intermediários em um conjunto de dados tabelado, 
exemplo: 
Temperatura (°C) 20 25 30 35 
Calor Específico 0,99907 0,99852 0,99818 0,99828 
Suponhamos que se queira determinar o calor específico para a 
temperatura de 32,5°C 
INPERPOLAR consiste em definir uma função g(x) que se aproxima 
a função original f(x) para se obter valores aproximados 
119 
Cálculo Numérico 
Interpolação Polinomial 
• Exemplo de interpolação: 
Temperatura (°C) 
X 
20 25 30 
Calor Específico 
f(x) 
0,99907 0,99852 0,99818 
Encontrar um polinômio de grau ≤2 que interpola os pontos da 
tabela. 
Resolução do Sistema Linear 
 
p2(x)=a0+a1x+a2x
2 
 
p2(x0)=f(x0)=a0+20a1+400a2=0,99907 
p2(x1)=f(x0)=a0+25a1+625a2=0,99852 
p2(x2)=f(x2)=a0+30a1+900a2=0,99818 
 
Resolvendo o sistema linear temos: a0=1,003370 a1=-0,00030 a2=0,000004 
120 
Cálculo Numérico 
Interpolação Polinomial 
Temperatura (°C) - X 20 25 30 
Calor Específico - f(x) 0,99907 0,99852 0,99818 
• Exemplo de interpolação: 
Polinômio de grau ≤2 que interpola os pontos da tabela. 
Polinômio 
p2(x)=1,003370+-0,00030x+0,000004x
2 
Calor Específico
0,9978
0,998
0,9982
0,9984
0,9986
0,9988
0,999
0,9992
15 20 25 30 35 40
Temperatura
Calor Específico - f(x) g(x)
121 
Cálculo Numérico 
Interpolação Polinomial 
• Exercício para Fixação: Encontre o polinômio de grau ≤ 3 que 
represente os dados da tabela abaixo: 
x 0,1 0,2 0,3 0,4 
f(x) 5 13 -4 -8 
Qual o valor obtido para x=0,4? 
122 
Cálculo Numérico 
Interpolação Polinomial 
• Exercício para Fixação: Encontre o polinômio de grau ≤ 2 que 
represente os dados da tabela abaixo: 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
Qual o valor obtido para x=1? 
123 
Cálculo Numérico 
Interpolação Polinomial: Forma Lagrange 
• A forma de Lagrange consiste na seguinte fórmula: 









n
kj
0j
jk
n
kj
0j
j
k
)xx(
)xx(
)x(L
)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(p 2211002 
124 
Cálculo Numérico 
Interpolação Polinomial: Forma Lagrange 
x -1 0 2 
f(x) = y 4 1 -1 
• Exemplo de Interpolação pela Forma de Lagrange: 









n
kj
0j
jk
n
kj
0j
j
k
)xx(
)xx(
)x(L
)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(p 2211002 
3
x2x
)21)(01(
)2x)(0x(
)xx)(xx(
)xx)(xx(
)x(L
2
2010
21
0








2
2xx
)20)(10(
)2x)(1x(
)xx)(xx(
)xx)(xx(
)x(L
2
2101
20
1









6
xx
)02)(12(
)0x)(1x(
)xx)(xx(
)xx)(xx(
)x(L
2
1202
10
2








6
xx
)1(
2
2xx
1
3
x2x
4)x(p
222
2







125 
Cálculo Numérico 
Interpolação Polinomial: Forma Lagrange 
• Exercício para Fixação: Encontre o polinômio que represente os 
dados da tabela abaixo pela Forma de Lagrange: 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
Qual o valor obtido para x=0,5? 
126 
Cálculo Numérico 
Interpolação Polinomial: Forma Lagrange 
• Exercício para Fixação: Encontre o polinômio que represente os 
dados da tabela abaixo pela Forma de Lagrange: 
x 1 2 3 
f(x) 0 0,6931 1,0986 
Qual o valor obtido para x=0,5?