Fundamentos de Cálculo (Funções, Trigonometria,...)

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Prof. Eloisa Márcia da Silva 
5/08/2011 
Fundamentos de Cálculo 
Sexta-feira 
 Arcos e ângulos 
 Medidas em graus e em radianos 
 Funções trigonométricas e seus gráficos 
 Funções trigonométricas inversas e seus gráficos 
 Identidades trigonométricas 
Ângulos - definições 
Ângulo é uma figura plana formada por duas semirretas de 
mesma origem. 
As semirretas chamam-se lados do ângulo e o ponto de origem 
chama-se vértice. 
Ângulo raso: ângulo 
de medida 180º (seus 
lados formam uma 
reta). 
Ângulo reto: 
ângulo de 
medida 90º. 
Ângulo agudo: 
ângulo cuja medida 
está entre 0º e 90º. 
Ângulo obtuso: 
ângulo cuja medida 
está entre 90º e 180º. 
Ângulos - definições Ângulos congruentes: 
ângulos de mesma medida 
(símbolo ). 

Ângulos suplementares: par de 
ângulos cuja soma das medidas é 180º. 
Ângulos adjacentes: ângulos que 
possuem um lado comum e as regiões 
determinadas por eles não tem mais 
pontos comuns. 
Arcos e ângulos 
5 
Arco geométrico: é uma das 
partes da circunferência 
delimitada por dois pontos, 
incluindo-os. 
Ângulo central:todo arco de 
circunferência tem um ângulo 
central relacionado. 
6 
Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos) 
Grau: é a unidade usada quando 
dividimos uma circunferência em 
360 partes congruentes. Cada 
parte é um arco de um grau (1º). 
Radiano: um arco de um radiano (1 
rad) é aquele cujo comprimento é 
igual ao raio da circunferência. 
Um arco de 180º e raio unitário tem 
comprimento de  radianos. Sendo 
assim podemos afirmar que um arco 
de 180º equivale a  rad. 
2
 arco de 90º 
ou arco de rad


 arco de 180º 
ou arco de rad


 arco de 360º 
ou arco de 2 rad


7 
Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos) 
Considerando que um arco de 180º mede  rad, podemos fazer a conversão de unidades 
mentalmente ou usando uma regra de três simples. 
Como 60º é 1/3 de 180º, logo é 
1/3 de  rad. 
Como 30º é 1/6 de 180º, logo é 
1/6 de  rad. 
Como 45º é 1/4 de 180º, logo é 
1/4 de  rad. 
Como 120º é o dobro de 60º, logo é 
 o dobro de /3 rad. 
8 
Circunferência unitária ou circunferência trigonométrica 
É a circunferência cujo raio tem 1 unidade de comprimento e na qual o 
sentido anti-horário é positivo. 
9 
Arcos côngruos (ou congruentes) 
Dois arcos são côngruos (ou 
congruentes) quando suas medidas 
diferem de um múltiplo de 2 rad ou 
360º 
Exemplos: 
10 
Determinação de quadrantes 
Os eixos x e y dividem a circunferência unitária em quatro partes congruentes chamadas 
quadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de A no sentido positivo. 
Os pontos A, B, A´ e B´ são pontos 
dos eixos e por isso não são 
considerados pontos dos quadrantes 
Para todo ponto (x, y) pertencente à 
circunferência unitária, temos: 
−1  x  1 e −1  y  1 
Seno, cosseno e tangente 
11 
Definições: As definições dos valores de seno, cosseno e tangente tomam como 
referência a relação entre as medidas dos lados de um triângulo 
retângulo, ou seja, um triângulo em que um dos ângulos mede 90º. 
O lado que fica oposto ao 
ângulo de 90º é chamado de 
hipotenusa, enquanto os lados 
que formam o ângulo de 90º 
são os catetos. 
Tomando um ângulo “a” como referência neste triângulo, nota-se que um dos catetos ficará na 
frente desse ângulo, e é chamado de cateto oposto, enquanto o outro cateto, cujo lado está junto 
desse ângulo, é chamado de cateto adjacente. 
12 
Seno, cosseno e tangente 
Definições: 
medida do cateto oposto ao ângulo α
sen α
hipotenusa
medida do cateto adjacente ao ângulo α
cos α
hipotenusa
medida do cateto oposto ao ângulo α
tg α
medida do cateto adjacente ao ângulo α



b
sen α
a
c
cos α
a
b
tg α
c



Simplificando: 
13 
Tomando o ângulo “b” como referência os valores de seno, cosseno e tangente 
mudam, pois o lado “c” passa a ser o cateto oposto e o lado “b” o cateto adjacente 
ao ângulo “b”. c
sen β
a
b
cos β
a
c
tg β
b



Seno, cosseno e tangente 
Definições: 
14 
Relações que envolvem seno, cosseno e tangente de 
ângulos agudos 
15 
Tabela com os principais valores de seno, cosseno e 
tangente 
30º 45º 60º 
sen 
cos 
tg 
1
2
2
2
3
2
3
3
31
2
2
3
2
1
2
16 
Valores Notáveis 
x sen x cos x tg x 
 30º
6

0
 45º
4

 60º
3

 90º
2

 180º
 
3
270º
2

 2 360º
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
1
23
2
2
2
2
2
3
3
3
0


17 
A ideia de seno, cosseno e tangente de um número real 
Relações importantes: 
2 2sen α cos α 1 
sen α
tg α
cos α

Estudo da função seno 
18 
f(x) = sen x 
x sen x 
0 
/6 
/4 
/3 
/2 
2/3 
3/4 
5/6 
 
7/6 
5/4 
4/3 
3/2 
5/3 
7/4 
11/6 
2 
0
0
0
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
3 / 2
3 / 2
3 / 2
3 / 2
1
1
19 
Estudo da função seno 
Observações: 
1ª) O domínio de f(x) = sen x é , pois para qualquer valor real de x existe um e 
apenas um valor para sen x. 
 
2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [1,1]. 
 
3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [1,1]  , isto é, sua imagem não é igual ao 
contradomínio. 
 
4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x temos o mesmo f(x). 
Por exemplo, 
 
 
 
5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja xD(f) = temos sen x = 
sen (x). Por exemplo, 
 
5 3
... 1.
2 2 2
   
     
 
sen sen sen
1 1
.
6 2 6 2
  
    
 
sen sen
20 
Estudo da função seno 
Periodicidade: 
O período da função seno é de 2 e 
indicamos assim: p = 2 
21 
Estudo da função seno 
Sinal: 
A função é positiva para valores do 1º e 2º 
quadrantes e negativa para valores do 3º e 4º 
quadrantes. 
22 
Estudo da função cosseno 
f(x) = cos x 
x cos x 
0 
/6 
/4 
/3 
/2 
2/3 
3/4 
5/6 
 
7/6 
5/4 
4/3 
3/2 
5/3 
7/4 
11/6 
2 
0
1
0
3 / 2
3 / 2
3 / 2
3 / 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1
0
23 
Estudo da função cosseno 
Observações: 
1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide transladada /2 unidades 
para a direita. A maioria dos aspectos relevantes da função cosseno são os mesmos da 
função seno. 
 
2ª) O domínio é o mesmo: D = 
 
3ª) A imagem é a mesma: Im = [1,1]. 
 
4ª) O período é o mesmo: p = 2. 
 
5ª) A função cosseno não é nem injetiva nem subjetiva. 
 
6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos (x). 
24 
Estudo da função cosseno 
Sinal: 
A função é positiva para valores do 1º e 4º 
quadrantes e negativa para valores do 2º e 3º 
quadrantes. 
x cos x 
0 
/6 
/4 
/3 
/2 
2/3 
3/4 
5/6 
 
7/6 
5/4 
4/3 
3/2 
5/3 
7/4 
11/6 
2 
25 
0
0
0
3 / 3
3 / 3
3 / 3
3 / 3
1
1
1
1
3
3
3
3


Estudo da função tangente 
f(x) = tg x 
26 
Observações: 
Estudo da função tangente 
1ª) Domínio: 
 
2ª) Imagem: Im = . 
 
3ª) A função tangente não é injetiva, masé sobrejetiva. 
 
4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x =  tg (x). 
 
5ª) Período: p = . 
| , .
2
D = k kx x
 
      
 
27 
Estudo da função tangente 
Sinal: 
A função é positiva para valores do 1º e 3º 
quadrantes e negativa para valores do 2º e 4º 
quadrantes. 
28 
As funções cossecante, secante e cotangente 
1
,
1
,
,
1
,
cossec x para sen x 0;
sen x
sec x para cos x 0;
cos x
cos x
cotg x para sen x 0;
sen x
cotg x para sen x 0 e cos x 0.
tg x
 
 
 
  
29 
Funções trigonométricas 
 
x 
 
sen x 
 
y = 2 + sen x 
0
2


3
2

2
0
1
0
1
0
2 0 2 
2 1 3 
2 0 2 
 2 1 1  
2 0 2 
( ) 2 .f x sen x, com x  
30 
Funções trigonométricas 
( ) .f x cos 2x, com x 
 
x 
 
2x 
 
y = cos 2x 
0
2


3
2

2
1
0
1
0
1
0
4

2

3
4


31 
Funções trigonométricas inversas 
Para admitir a inversa, a função deve ser bijetora. 
 
Dada a função x = sen y, a função inversa será y = arcsen x. 
 
Dada a função x = cos y, a função inversa será y = arccos x. 
 
Dada a função x = tg y, a função inversa será y = arctg x. 
 
 
1
.
2 2 2 6
2 3
0 .
2 4
5
3 .
2 2 3
Se x e x arcsen , então x
Se x e x arccos , então x
Se x e x arctg , então x
  
    
  
       
 
  
     
32 
Funções trigonométricas inversas 
Para admitir a inversa, a função deve ser bijetora. 
 
Dada a função x = sen y, a função inversa será y = arcsen x. 
 
Dada a função x = cos y, a função inversa será y = arccos x. 
 
Dada a função x = tg y, a função inversa será y = arctg x. 
 
 
1
.
2 2 2 6
2 3
0 .
2 4
5
3 .
2 2 3
Se x e x arcsen , então x
Se x e x arccos , então x
Se x e x arctg , então x
  
    
  
       
 
  
     
Fórmulas de adição e subtração 
33 
 
 
 
 
 
 
sen a b sen a cos b sen b cos a
sen a b sen a cos b sen b cos a
cos a b cos a cos b sen a sen b
cos a b cos a cos b sen a sen b
tg a tg b
tg a b
1 tg a tg b
tg a tg b
tg a b
1 tg 
    
    
    
    

 
 

 
 a tg b
34 
Fórmulas do arco duplo 
 
 
sen a b sen a cos b sen b cos a
sen a a sen a cos a sen a cos a
sen 2a 2 sen a cos a
     

     

   
sen 2a 2 sen a cos a  
 
 
2 2
cos a b cos a cos b sen a sen b
cos a a cos a cos a sen a sen a
cos 2a cos a sen a
     

     

  
2 2cos 2a cos a sen a 
Lembrando que 
2 2sen a cos a 1 
teremos: 
2cos 2a 2 cos a 1  
2cos 2a 1 2 sen a  
 
 
2
tg a tg b
tg a b 
1 tg a tg b
tg a tg a
tg a a 
1 tg a tg a
2 tg a
tg 2a 
1 tg a

  
 


  
  

 
 
2
2 tg a
tg 2a 
1 tg a



35 
Fórmulas do arco metade 
2
2
2
cos 2x 2 cos x 1
2 cos x 1 cos 2x 
1 cos 2x
cos x 
2
a
fazendo 2x a, temos x , e daí:
2
  

   
 


  

2 a 1 cos acos 
2 2


2
2
2
cos 2x 1 2 sen x
2 sen x 1 cos 2x 
1 cos 2x
sen x 
2
a
fazendo 2x a, temos x , e daí:
2
  

   
 


  

2 a 1 cos asen 
2 2


36 
Fórmulas de transformação em produto 
x y x y
sen x sen y 2 sen cos
2 2
x y x y
sen x sen y 2 sen cos
2 2
 
   
 
   
 
 
   
   
1
2
1 2 1 2
sen a b sen a cos b sen b cos a
sen a b sen a cos b sen b cos a
Fazendo e , teremos:
sen a b sen a b 2 sen a cos b
sen a b sen a b 2 sen b cos a
Indicando a b x e a b y
    
    
 
     
     
    , temos
x y x y
a e b
2 2














 
 

 
 
   
   
1
2
1 2 1 2
cos a b cos a cos b sen a sen b
cos a b cos a cos b sen a sen b
Fazendo e , teremos:
cos a b cos a b 2 cos a cos b
cos a b cos a b 2 sen a sen b
Indicando a b x e a b y
    
    
 
     
      
    , temos
x y x y
a e b
2 2














 
 

x y x y
cos x cos y 2 cos cos
2 2
x y x y
cos x cos y 2 sen sen
2 2
 
   
 
    
Bibliografia 
 http://www.exatas.mat.br/ 
 CD Ensino Médio Digital. Editora Ática e Editora Scipione 
 CD Assessoria Pedagógica Digital – Ensino Médio. Editora 
Scipione 
 CD Projeto ECO – Ensino Médio Volume 1,2 e 3 – Editora 
Positivo