exercicios resolvidos algebra linear

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Respostas da Preparação Prévia 02 1º Semestre 2017 
Pág. 1 de 3 
Nome: ______________________________________________ Data: ___/___/_____ 
Assinatura: __________________________ R.A. _______________ Curso: ____________ 
Professor: José Mirtênio da Paz Turma: Engenharia 
 
1. Considere o triangulo ABC. Determine os pontos M, N e P, pontos médios dos segmentos 
AB , BC e CA , e o seu baricentro ( )GGG zyxG ,, , respectivamente é: 
 
( )3,1,2A , ( )9,7,12B e ( )1,3,8C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BA CB AC 
( ) 5
2
212
=
−
=xr 
 
( ) 3
2
17
=
−
=yr 
 
( ) 3
2
39
=
−
=zr 
( ) 2
2
128
−=
−
=xr 
 
( ) 2
2
73
−=
−
=yr 
 
( ) 4
2
91
−=
−
=zr 
( ) 3
2
28
=
−
=xr 
 
( ) 1
2
13
=
−
=yr 
 
( ) 1
2
31
−=
−
=zr 
 
( )
( ) ( )
( )6,4,7
3,1,23,3,5
=
+=
+=
M
M
AABrM
 
( )
( ) ( )
( )5,5,10
9,7,124,2,2
=
+−−−=
+=
M
M
BBCrM
 
( )
( ) ( )
( )2,2,5
3,1,21,1,3
=
+−=
+=
M
M
AACrM
 
 
( )
33
;
3
,,
CBA
G
CBA
G
CBA
GGGG
ZZZ
ze
YYY
x
XXX
xcomzyxG ++=++=++= 
 
( )3,1,2A , ( )9,7,12B e ( )1,3,8C 
 
( )
3
193
3
371;
3
8122
,,
++
=
++
=
++
= GGGGGG zexxcomzyxG 
 
a) ( )6,4,7M , ( )5,5,10N , ( )2,2,5P e 





3
13
,
3
11
,
3
22G 
M P 
N C B 
A 
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2. Determine o ponto C que divide o segmento AB na razão de 2 para 3, sendo ( )3,2,2−A e 
( )2,12,23 −B 
 
Sejam dados um segmento AB e uma razão nm na qual deve ficar dividido o segmento AB por 
um ponto C. Se o ponto C divide o segmento AB na razão nm então temos: 
( )AB
nm
mAC −
+
=− . 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos calcular o ponto C (x, y, z) diretamente, usando estas fórmulas, sendo nmr = 
 
( ) ( ) ( )
r
xBrxA
xC
+
+
=
1
.
 ( ) ( ) ( )
r
yBryAyC
+
+
=
1
.
 ( ) ( ) ( )
r
zBrzA
zC
+
+
=
1
.
 
( )
3
21
23.
3
22
+
+−
=xC ( )
3
21
12.
3
22
+
+
=yC ( )
( )
3
21
2.
3
23
+
−+
=zC 
( ) 8=xC ( ) 6=yC ( ) 1=zC 
 
Ou então: 
 
( ) 5
5
25
5
223
==
+
=⇒ xrAB 
 
( ) 2
5
10
5
212
==
−
=⇒ yrAB 
 
( ) 1
5
5
5
32
−=
−
=
−−
=⇒ zrAB 
 
( ) AABrC += 2 
( ) ( )3,2,21,2,52 −+−=C 
( ) ( )3,2,22,4,10 −+−=C 
( )1,6,8=C 
b) 
 
 
 
B 
C 
A 
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3. Qual a distância entre os pontos ( )1,3A e ( )2,4−B . 
 
( ) ( )22 ABABAB yyxxd −+−= 
( ) ( )22 1234 −+−−=ABd 
( ) ( )22 17 +−=ABd 
07,750 ≅=ABd 
 
c) 
 
 
4. Qual a distância entre os pontos ( )1,3,4 −A e ( )3,2,1B . 
 
( ) ( ) ( )222 ABABABAB zzyyxxd −+−+−= 
( ) ( ) ( )222 133241 −+++−=ABd 
( ) ( ) ( )222 253 ++−=ABd 
4259 ++=ABd 
16,638 ≅=ABd 
 
d) 
 
 
5. Determinar as coordenadas do ponto médio ( )MM yxM , do segmento AB , sendo dado: ( )1,6A e ( )1,6−B 
 
22
BA
M
BA
M
yyyexxx +=+= 
 
2
11
2
66 +
=
−
= MM yex 
 
2
2
2
0
== MM yex 
 
( )1,0M 
e)