lista 4 exercícios resolvidos álgebra linear

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Respostas da Preparação Prévia 04 1º Semestre 2017 
Pág. 1 de 3 
Nome: ______________________________________________ Data: ___/___/_____ 
Assinatura: __________________________ R.A. _______________ Curso: ____________ 
Professor: José Mirtênio da Paz Turma: Engenharia 
 
 
 
1. Escrever o vetor como combinação linear dos vetores e 
. 
 
a) 
 
Vamos resolver por escalonamento: 
 
( ) 3
3
4
10
10
21
5
10
15
30
4
50
100
21
.2
.3
7
18
4
12
43
21
3
2
31
21
−
−
−
≈
−÷
÷−
−
−
≈
+−
+−
−
−
−
L
L
LL
LL 
 
Encontramos: 
 
3−=y 
( )
264
46
43.2
42
=∴+−=
−=−
−=−+
−=+
xx
x
x
yx
 
 
Caso o determinante dos três vetores for igual a zero, concluímos que eles são Linearmente 
Dependente (LD), portanto terão Combinação Linear (CL), daí é só encontrar os valores de x, y 
e z. 
 
0
712
1843
421
,
=
−
−−
−
=D
wevu
rrr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Respostas da Preparação Prévia 04 1º Semestre 2017 
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2. Escrever o vetor como combinação linear dos vetores e 
. 
 
e) O vetor não pode ser escrito como combinação linear de e . 
 
Vamos resolver por escalonamento: 
 
( ) 514
23
4
10
10
21
5
10
14
15
4
50
100
21
.2
.3
6
3
4
12
43
21
3
2
31
21 ≈
−÷
÷
−−
≈
+−
+
−−
−
L
L
LL
LL 
 
Neste caso, não encontramos valor para y nas linhas 2 e 3, pois esse sistema difere do primeiro 
pelos termos independentes. Como é incompatível, o vetor wr não pode ser escrito como 
Combinação Linear de veu rr . 
 
0
612
343
421
,
≠
−−
−=D
wevu
rrr
 
 
Caso o determinante dos três vetores seja diferente de zero, concluímos que eles são 
Linearmente Independentes (LI), portanto não terão Combinação Linear (CL). 
 
 
 
3. Determine o valor de k para que o vetor seja combinação linear dos vetores 
 e . 
 
c) 13 
 
 
Vamos resolver por escalonamento: 
 
( ) 1
103
1
10
10
21
5
10
5
3
1
50
100
21
.2
.3
7
1
12
43
21
3
2
31
21 −
−
≈
−÷
÷
−
−
−
−
≈
+−
+
−
−
−
− k
L
Lk
LL
LLk 
 
 
13310103
10
31 =∴+=⇒=−⇒−= kkkk 
 
Daí, temos a seguinte combinação linear: 
 
( ) ( ) ( )1,4,2.12,3,1.37,13,1 −+−−=−− 
 
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4. Determinar a condição para x, y e z seja combinação linear dos vetores e 
. 
 
d) (y + 2z, y, z) 
 
Vamos resolver por escalonamento: 
 
( ) 52
10.3
4
10
10
21
5
10
2
.3
50
100
21
.2
.3
12
43
21
3
2
31
21
−+−
+≈
−÷
÷
+−
+
−
≈
+−
+
−
−
zx
yx
L
L
zx
yx
x
LL
LL
z
y
x
 
 
 
zyxzxyxzxyxzxyx 2243)2(.23
5
2
10
3
+=∴−=+⇒+−−=+⇒
−
+−
=
+
 
 
Assim, todos os vetores ( ) 3,, IRzyx ∈ , que são combinações lineares de veu rr , têm a forma 
( )zyzy ,,2+ com IRzey ∈ . 
 
 
5. Escrever o vetor como combinação linear dos vetores: 
, e 
 
b) 
 
 
Vamos resolver por escalonamento: 
 
1
9
5
100
110
121
10
9
5
010
110
121
.2
5
1
5
111
332
121
3231
21 −
−
≈
+
−
−
−
≈
+
+−
−−
−
−
LLLL
LL 
 
 
1=z 
1019
91
9
−=∴−−=
−=+
−=+
yy
y
zy
 ( )
16165
5120
5110.2
52
−=∴−=
=++
=+−−
=+−
xx
x
x
zyx
 
 
Daí, temos a seguinte combinação linear: 
 
( ) ( ) ( ) ( )1,3,1.11,3,2.101,2,1.165,1,5 −+−−−−−=