Lista6 - Derivadas

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CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Prof.o Andre´ Guerino Castoldi
Lista 6: Conceito de derivada.
1. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado.
(a) y = 4x− x2, (1, 3)
(b) y = x− x3, (1, 0)
(c) y = x3 − 3x+ 1, (2, 3)
(d) y =
√
x, (1, 1)
2. Se uma bola for atirada ao ar com velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros) depois de t
segundos e´ dada por y = 10t− 4, 9t2. Encontre a velocidade quando t = 2.
3. Se uma pedra for lanc¸ada para cima no planeta Marte com velocidade de 10 m/s, sua altura (em
metros) apo´s t segundos e´ dada por H = 10t− 1, 86t2.
(a) Encontre a velocidade da pedra apo´s um segundo.
(b) Encontre a velocidade da pedra quando t = a.
(c) Quando a pedra atinge a superf´ıcie?
(d) Com que velocidade a pedra atinge a superf´ıcie?
4. Use a definic¸a˜o de derivada para encontrar f ′(a).
(a) f(x) = 3x2 − 4x+ 1
(b) f(x) = 2x3 + x
(c) f(x) = 2x+1x+3
(d) f(x) = x−2
(e) f(x) =
√
1− 2x
(f) f(x) = 4√
1−x
5. Cada limite representa a derivada de certa func¸a˜o f em certo nu´mero a. Diga o que sa˜o f e a em
cada caso.
(a) lim
h→0
(1 + h)10 − 1
h
(b) lim
h→0
4
√
16 + h− 2
h
(c) lim
x→5
2x − 32
x− 5
(d) lim
x→pi
4
tg (x)− 1
x− pi4
(e) lim
h→0
cos(pi + h) + 1
h
(f) lim
x→1
x4 + x− 2
x− 1
6. Encontre a derivada da func¸a˜o dada usando a definic¸a˜o. Diga quais sa˜o os domı´nios da func¸a˜o e
da func¸a˜o derivada.
(a) f(x) = mx+ b, onde m e b sa˜o constantes.
(b) f(x) = −9x2 + 5x
(c) f(x) = x3 − 3x+ 5
(d) f(x) = x+
√
x
(e) f(x) =
√
9− x
7. O gra´fico de f e´ dado. Indique os nu´meros nos quais f na˜o e´ diferencia´vel.
(a)
(b)
(c)
(d)
8. Use a definic¸a˜o de derivada para encontrar f ′(x) e f ′′(x).
(a) f(x) = 3x2 + 2x+ 1
(b) f(x) = x3 − 3x
9. Seja f(x) = 3
√
x.
(a) Se a 6= 0, encontre f ′(a).
(b) Mostre que f ′(0) na˜o existe.
(c) Mostre que y = 3
√
x tem uma reta tangente vertical em (0, 0).
10. As derivadas a` esquerda e a` direita de f em a sa˜o definidas por
f ′−(a) = lim
h→0−
f(a+ h)− f(a)
h
f ′+(a) = lim
h→0+
f(a+ h)− f(a)
h
respectivamente, se esses limites existirem. Enta˜o f ′(a) existe se, e somente se, essas derivadas
laterais existirem e forem iguais.
(a) Encontre f ′−(4) e f ′+(4) para a func¸a˜o
f(x) =

0 se x ≤ 0
5− x se 0 < x < 4
1
5−x se x ≥ 4
(b) Esboce o gra´fico de f .
(c) Onde f e´ descont´ınua?
(d) Onde f na˜o e´ diferencia´vel?