Cinematica_Aula3

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Aula 3Aceleração Constante
	
Aceleração	Constante
Objetivos	desta	Aula
Entender o conceito de aceleração média no movimento retilíneo;
Entender o conceito de aceleração instantânea no movimento retilíneo 
e entender a sua relação com a derivada;
Ser capaz de deduzir as equações do movimento relativas ao MRUV.
Pré-Requisitos
Ter estudado a Aula 2 - Velocidade Instantânea..
cinemática Aceleração Constante
A aceleração descreve quão rapidamente varia a velocidade durante o 
movimento. De certo modo, percebemos acelerações com mais facilidade do 
que velocidades. Imagine que você esteja de olhos fechados viajando em um 
automóvel de janelas fechadas, que percorre uma estrada horizontal e reta 
(suponha, além disso, que a estrada esteja em bom estado e que o carro seja 
bom), as acelerações são facilmente percebidas. Se o carro acelera, você sente 
o banco do carro pressionando as suas costas. Se a aceleração é negativa, isto 
é, se o carro desacelera, você sente agora o cinto de segurança pressionando 
o seu peito para trás (sendo uma pessoa inteligente, você certamente usará 
cinto de segurança).
Já estamos habituados ao uso coloquial do conceito de aceleração. Todos nós 
entendemos o que significa dizer que o automóvel está acelerando; significa que 
a velocidade do automóvel está aumentando. Se dissermos que a aceleração 
é grande, entende-se que a velocidade está variando rapidamente, ou seja, em 
um certo intervalo de tempo, a velocidade varia de uma quantidade considerada 
grande. Se um automóvel é freado, sua velocidade também varia, só que a 
valores menores. Nesse caso diz-se que o automóvel foi desacelerado.
Em linguagem coloquial, variações positivas de velocidade são chamadas de 
acelerações, e variações negativas são chamadas de desacelerações. Em 
Física, o conceito de aceleração num movimento retilíneo é de uma grandeza 
que pode ser positiva, negativa ou nula. É positiva se descreve um aumento 
de velocidade e negativa se descreve uma diminuição. Desse modo, o que 
usualmente se chama de desaceleração, é chamado em Física de uma 
aceleração negativa. Por aceleração nula entende-se, é claro, a ausência de 
aceleração. Nesse caso, a velocidade é constante.
Antes de ler esta seção você deve estudar a seção anterior .
Aceleração	média	e	instantânea
Considere um intervalo de tempo [t1, t2], com t2 > t1. Se v(t1) é a velocidade 
da partícula no instante t1 e v(t2) é a velocidade da partícula no instante t2 , a 
variação da velocidade no intervalo de t2 a t1 é
 (1.4.1)
e a duração deste intervalo é
 (1.4.2)
A razão entre a variação da velocidade no intervalo de t1 a t2 e a duração deste 
intervalo é chamada de aceleração	média da partícula no intervalo [t1,t2], ou 
seja,
 (1.4.3)
Uma variação de velocidade é expressa, naturalmente, em unidades de 
velocidade, isto é, em unidades de comprimento dividida por unidade de 
∆v v t v t= −( ) ( )
2 1
∆t t t= −
2 1
.
a
v t v t
t t
v
tt t1 2
2 1
2 1
→ =
−
−
≡
( ) ( )
.
∆
∆
 Aula 3Aceleração Constante
tempo. Sendo a aceleração média a razão entre a variação de velocidade e a 
duração de um intervalo de tempo, a sua unidade será a de velocidade dividida 
pelo tempo. No SI a unidade de aceleração média é o metro por segundo por 
segundo, ou simplesmente m/s2.
Sendo a duração do intervalo t2 - t1 uma grandeza positiva, concluímos que a 
aceleração média é positiva somente se a variação da partícula no intervalo de 
t1 a t2 é positiva, isto é, se a velocidade aumenta nesse intervalo de tempo. 
A aceleração média é negativa somente se a velocidade diminui no intervalo. 
Finalmente, o caso da aceleração média nula corresponde à situação em que 
a velocidade da partícula em t2 é igual à sua velocidade em t1. Porém, isso 
não significa que necessariamente durante esse intervalo a velocidade da 
partícula tenha permanecido constante. Isso pode ou não ter acontecido, mas 
conhecendo-se apenas a velocidade média nesse intervalo, nada podemos 
afirmar. A aceleração média dá apenas uma idéia global de como varia a 
velocidade em um intervalo.
Por exemplo, a velocidade média nula em um intervalo não significa 
necessariamente que a velocidade tenha permanecido constante neste 
intervalo, ela pode ter variado de modo a voltar, no final do intervalo, ao valor 
que tinha no início.
Para ter uma informação mais detalhada sobre a rapidez da variação da 
velocidade, devemos considerar o conceito de velocidade instantânea, que nos 
fornece a rapidez com que a velocidade varia num instante em particular.
A aceleração instantânea da partícula no instante t é o limite da razão entre ∆v 
e ∆t, quando a duração do intervalo tende a zero, ou seja,
 (1.4.4)
Esse limite (lim) define a derivada da velocidade com relação ao tempo, 
ou seja, a aceleração	instantânea	num	dado	instante	é	a	derivada	com	
relação	ao	tempo	da	função	que	descreve	a	velocidade	da	partícula	neste	
dado	instante. 
Logo, a aceleração instantânea num dado instante t0 é expressa por
 (1.4.5)
(A expressão dv t
dt
( ) é a derivada da função velocidade, denotada por v(t), com 
relação ao tempo, que denotamos por t.)
Agora você poderia dizer com convicção:
- Mas a função velocidade já não é a derivada com relação ao tempo da 
função posição? Logo, posso concluir então que devo derivar com relação ao 
a t
v t t v t
tt
( ) lim .=
+( ) − ( )






→∆
∆
∆0
a t
dv t
dt
t t
( )
( )
.
0
0
=
=
cinemática Aceleração Constante
tempo duas vezes a função posição para obter a função aceleração!
 - Isso mesmo, a expressão matemática da sua afirmação nos mostra como 
calcular a função aceleração a partir da função posição:
 (1.4.6)
(A expressão d
dt
2
2
 indica que estamos derivando duas vezes a função posição 
com 
relação ao tempo. O índice “2” não significa que estamos “elevando ao 
quadrado”!)
Como vimos no final da seção anterior, você poderia nos perguntar agora:
-	Se você conhecesse a aceleração de uma partícula em todos os instantes 
do movimento e a sua velocidade num instante em particular, seria possível 
determinar a sua função velocidade? 
- A resposta é sim! Se conhecemos a função aceleração e uma dada velocidade 
instantânea v0 , podemos encontrar a função velocidade. A função velocidade 
é obtida por meio do conceito matemático de integral. Assim, 
 (1.4.7)
(A expressão a t dt
t
t
( ') ' 
0
∫ é a integral, do instante t0 ao instante t, da função 
aceleração, 
denotada por a(t), e t’ é a variável de integração.)
Como já dissemos, o	cálculo	de	derivadas	e	integrais	está	fora	do	objetivo	
deste	curso	e	não	serão	cobrados	nas	avaliações, mas eles são necessários 
para deduzirmos as equações do movimento retilíneo com aceleração constante 
a seguir.
Aceleração	 constante	 ou	 Movimento	 Retilíneo	
Uniformemente	Variado	(MRUV)
Suponha que uma partícula se mova com aceleração constante durante 
um determinado intervalo de tempo. Como vimos acima, se você souber a 
velocidade instantânea no instante inicial deste intervalo, você pode conhecer 
a velocidade em qualquer instante deste intervalo.
Vamos representara aceleração da partícula por a e vamos chamar de v0 
a velocidade no instante inicial t0 = 0. Pela Eq. (1.4.7), podemos resolver a 
integral para obter a função velocidade em qualquer instante t pertencente a 
este intervalo,
a t
dv t
dt
d
dt
dx t
dt
d x t
dt
( )
( ) ( ) ( )
.= = 



≡
2
2
v t v a t dt
t
t
( ) ( ') '.= + ∫0
0
 
 Aula 3Aceleração Constante
 (1.4.8)
Agora, se conhecermos também a posição da partícula no instante inicial, 
podemos obter a sua posição em qualquer instante deste intervalo, como já 
vimos na seção anterior .
Assim, se representarmos x0 como a posição inicial da partícula, podemos 
substituir o resultado da Eq. (1.4.8) na Eq. (1.3.2) para obter
 (1.4.9)
que é a conhecida expressão para a lei	horária	do	movimento	no	MRUV, 
que é estudada no ensino médio!
Finalmente, vamos terminar esta seção com o seguinte exercício: combine os 
resultados obtidos pelas Eqs. (1.4.8) e (1.4.9) e encontre que, num instante 
qualquer do intervalo, a seguinte relação é válida:
 (1.4.10)
	
 
v t v a dt
v at
t
( ) '
.
= +
= +
∫0
0
0
 
 
x t x v t dt
x v at dt
t
( ) ( ') '
' '
= +
= + +( )
∫0
0
0 0
0
 
 
tt
x v t at
∫
= + + 
0 0
21
2
,
v v a x x2
0
2
0
2= + −( ).
cinemática Aceleração Constante
CRÉDITOS
Texto adaptado por Lizardo H. C. M. Nunes da apostila Física 1A, de Carlos 
Farina de Souza, Marcus Venicius C. Pinto e Paulo Carrilho Soares Filho.
Revisão
Mônica dos Santos Dahmouche
Equipe do Portal da Educação
Programação	Visual
André Nogueira
Ilustração
Fabiana Rocha
Fabio Muniz
André Nogueira