PRINCIPIOS DOS TRABALHOS VIRTUAIS PVT T.E C5

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PRINCÍPIO DOS TRABALHOS 
VIRTUAIS – PTV
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
PTV
I - Princípio dos Trabalhos Virtuais – PTV
Aplicado aos corpos rígidos...
É uma ferramenta das mais versáteis:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
É uma ferramenta das mais versáteis:
�Cálculo de deslocamentos;
�Linha de influência;
�Etc... 
Obs 1 → Deslocamento virtual entende-se 
um deslocamento infinitesimal hipotético...
Obs 2 → Trabalho é o produto da força F 
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Obs 2 → Trabalho é o produto da força F 
pelo espaço percorrido d...
3
τ = F∙d 
“A condição necessária e suficiente para o 
equilíbrio é ser nula a soma dos trabalhos 
virtuais de todas as ‘Forças’ externas, em 
todos os deslocamentos virtuais 
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
todos os deslocamentos virtuais 
independentes, compatíveis com as 
ligações do sistema”
4
τext = 0 
Obs 3 → O PTV pode ser utilizado no lugar 
das três equações de equilíbrio para a 
determinação de uma incógnita de cada 
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
determinação de uma incógnita de cada 
vez...
5
II - Princípios dos Trabalhos Virtuais – PTV
Aplicado aos corpos deformáveis...
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
Obs: a→ Elemento diferencial genérico 
(infinitesimal) de comprimento ds
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
P1
P
Mq
a
ds
'
a
a
PTV
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“Forças em equilíbrio”
“Deslocamento virtual 
compatível”
R RA B
AH
P2
'a
Sob o estado de deslocamento o elemento 
genérico “a” deforma-se e desloca-se para a 
posição “a’ ”(translada, rotaciona e deforma-se):
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
posição “a’ ”(translada, rotaciona e deforma-se):
dub – deformação axial → Esforço axial
dvb – deformação transversal → Esforço cortante
dϕb – deformação angular → Momento fletor
8
“Em uma estrutura deformável em equilíbrio, a 
soma dos trabalhos virtuais das ‘Forças’ 
externas, em um deslocamento virtual compatível 
com as suas ligações é igual ao trabalho virtual 
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
com as suas ligações é igual ao trabalho virtual 
interno, realizado pelos esforços internos (Na, 
Va, Ma) na deformação dos elementos da 
estrutura (dub, dvb e dϕb)”
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τext = τint 
τext = � Na∙dub+� Va∙dvb+
Estr
� Ma∙dφb
EstrEstr
 
τext = τint 
PTV
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� �
Estr
� φ
EstrEstr
Obs → Se a estrutura for um corpo rígido 
dub, dvb e dϕb são zero, portanto:
τext = 0 
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS 
VIRTUAIS – PTV
Exercício 1
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Exemplo: Calcule a reação RA usando PTV 
de corpo rígido.
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
“Forças em equilíbrio”
“r - deslocamento 
virtual infinitesimal 
compatível com a 
vinculação do 
sistema”
Retira o 
vínculo do 
qual se quer 
obter o valor e 
coloca-se sua 
incógnita...
Aplica-se PTV de corpo rígido
τext = 0 
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS 
VIRTUAIS – PTV
Exercício 2
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Exemplo: Calcule a reação RB usando PTV 
de corpo rígido.
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
PTV
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
“Forças em equilíbrio”
“r - deslocamento 
virtual infinitesimal 
compatível com a 
vinculação do 
sistema”
Retira o 
vínculo do 
qual se quer 
obter o valor e 
coloca-se sua 
incógnita...
Aplica-se PTV de corpo rígido
τext = 0 
 
r
 
PTV
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HA∙0 + RA∙0 - 50∙
r
2 + RB∙r=0 
RB∙r = 50
r
2 RB=25 kN 
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O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) é uma ferramenta das mais versáteis para:
  
 
A Cálculo de deslocamentos;
B Cálculo de Linha de Influência;
C Cálculo de reações de apoio;
D Cálcula de flechas;
E Todas as anteriores estão corretas.
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Sobre o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) aplicado aos corpos rígidos é correto afirmar:
A A condição necessária e suficiente para o equilíbrio é ser nula a soma dos trabalhos virtuais de todas as ‘Forças’ externas, em todos os deslocamentos virtuais independentes, compatíveis com as ligações do sistema;
B A condição necessária e suficiente para o equilíbrio é não ser nula a soma dos trabalhos virtuais de todas as ‘Forças’ externas, em todos os deslocamentos virtuais independentes, compatíveis com as ligações do sistema;
C A condição necessária e suficiente para o equilíbrio é ser nula a soma dos trabalhos virtuais de todas as ‘Forças’ externas, em apenas um deslocamento virtual independente, compatível com as ligações do sistema;
D A condição necessária e suficiente para o equilíbrio é ser nula a soma dos trabalhos virtuais de todas as ‘Forças’ internas, em todos os deslocamentos virtuais independentes, compatíveis com as ligações do sistema;
E Nenhuma das anteriores.
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Sobre o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) aplicado aos corpos rígidos é correto afirmar:
A Ele não pode ser utilizado no lugar das três equações de equilíbrio para a determinação de uma incógnita de cada vez;
B Ele pode ser utilizado no lugar das três equações de equilíbrio para a determinação de uma incógnita de cada vez;
C Ele pode ser utilizado no lugar das três equações de equilíbrio para a determinação de todas as incógnitas de uma vez só;
D Ele pode ser utilizado no lugar das três equações de equilíbrio para a determinação de apenas uma das incógnitas;
E Nenhuma das anteriores.
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Sobre o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) aplicado aos corpos deformáveis analise as assertivas abaixo:
 
I ­ No estado de carregamento tem­se forças em equilibrio;
II – No estado de deslocamento tem­se um deslocamento virtual compatível;
III ­ No estado de carregamento tem­se um deslocamento virtual compatível;
          
IV ­ No estado de deslocamento tem­se forças em equilibrio;
A Apenas I e II estão corretas;
B Apenas III e IV estão corretas;
C Apenas a I esta correta;
D Apenas a IV esta incorreta;
E Nenhuma das anteriores.
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A afirmação: “Em uma estrutura deformável em equilíbrio, a soma dos trabalhos virtuais das ‘Forças’ externas, em um deslocamento virtual compatível com as suas ligações é igual ao trabalho virtual interno, realizado pelos esforços internos (Na, Va, Ma) na deformação dos elementos da estrutura (dub, dvb e db)” refere­
se ao: 
A Processo dos deslocamentos;
B Processo dos esforços;
C Princípio dos trabalhos virtuais;
D Processo de cross;
E Nenhuma das anteriores.
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Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) aplicadoaos corpos rígidos para viga abaixo determine o valor de RA :
 
A 140kN;
B 150kN;
C 160kN;
D 170kN;
E Nenhuma das anteriores.
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Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) aplicado aos corpos rígidos para viga abaixo determine o valor de RB:
 
A 60kN;
B 50kN;
C 40kN;
D 30kN;
E Nenhuma das anteriores.
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Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) aplicado aos corpos rígidos para viga abaixo determine o valor de HB:
A 30kN;
B 20kN;
C 10kN;
D 0;
E Nenhuma das anteriores.