PROCESSO DOS ESFORÇOS DAS VIGAS T.E C7

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PROCESSO DOS ESFORÇOS
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Processo dos esforços
A solução de estruturas hiperestáticas é feita 
através de uma superposição de efeitos e 
Processo dos Esforços
Aplicado a vigas
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
através de uma superposição de efeitos e 
estabelecimento de um sistema de equações 
de compatibilidade de deslocamentos...
2
Processo dos esforços
Quando se tem uma viga uma vez hiperestática
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
Processo dos esforços
Deve-se retirar apenas um vínculo 
incógnito:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
Estruturas isostáticas fundamentais possíveis...
Processo dos esforços
I - Escolhe-se retirar primeiro o momento do 
engaste que passa a ser chamada de 
incógnita hiperestática X1...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
≡
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
(r) = ( r’) = (0) + (1)
Processo dos esforços
Ou...
(r) = ( r’) = (0) + X (1)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0
X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Diagramas de momentos fletores para 
problema (0) e problema (1)...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
Processo dos esforços
Os deslocamentos são calculados através 
do PTV aplicado aos corpos deformáveis 
pelo processo da carga unitária...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
∆10 e δ11
Processo dos esforços
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
∆10 =?
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11
MbMa
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12
ou
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13
Linha 1 * Coluna IV
G F
∆10 = 
1
EI ∙ �L
1
3 ∙F∙G� 
Processo dos esforços
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
δ11 =?
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 14
MbMa
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 15
ou
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16
Linha 0 * Coluna II
F F
δ11 = 
1
EI ∙ �L
1
3 ∙F
2� 
Processo dos esforços
Equação de 
compatibilidade de deslocamento:
X = - 
∆10
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17
X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Para obter os esforços finais da viga utiliza-
se o momento fletor (incógnita 
hiperestática) encontrada...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18
Processo dos esforços
II - Escolhe-se retirar agora a reação de 
apoio do apoio móvel que passa a ser 
chamada de incógnita hiperestática X1...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19
≡
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20
(r) = ( r’) = (0) + (1)
Processo dos esforços
Ou...
(r) = ( r’) = (0) + X (1)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 21
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22
∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0
X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Diagramas de momentos fletores para 
problema (0) e problema (1)...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 23
Processo dos esforços
Os deslocamentos são calculados através 
do PTV aplicado aos corpos deformáveis 
pelo processo da carga unitária...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 24
∆10 e δ11
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 26
Linha 1 * Coluna V
G F
∆10 = 
1
EI ∙ �- L
1
4 ∙F∙G� 
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 27
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 28
Linha 0 * Coluna II
F F
δ11 = 
1
EI ∙ �L
1
3 ∙F
2� 
Processo dos esforços
Equação de 
compatibilidade de deslocamento:
X = - 
∆10
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 29
X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Para obter os esforços finais da viga utiliza-
se a reação do apoio móvel(incógnita 
hiperestática) encontrada...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 30
Processo dos esforços
Generalizando...
Caso se tenha uma estruturas “n” vezes 
hiperestática, adota-se “n” incógnitas 
hiperestáticas X1, X2, ..., Xn definindo uma 
Estrutura Isostática Fundamental... 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 31
Estrutura Isostática Fundamental... 
A aplicação conveniente do Princípio de 
Superposição de Efeitos conduz à equação 
de superposição:
(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) +...+ Xn(n)
Processo dos esforços
Sistema de equações de compatibilidade de 
deslocamentos...
∆1,real = ∆10 + δ11 X1 + δ12 X2 +...+ δ1n Xn
∆ = ∆ + δ X + δ X +...+ δ X
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 32
∆2,real = ∆20 + δ21 X1 + δ22 X2 +...+ δ2n Xn
⋅
⋅
⋅
∆n,real = ∆n0 + δn1 X1 + δn2 X2 +...+ δnn Xn
Processo dos esforços
O sistema de equações de compatibilidade 
de deslocamentos usando a notação 
matricial pode ser escrito:
�δij�∙�Xi�=	∆i,real-∆i0
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 33
� � � � 	 
Obs → i indica a incógnita hiperestática
j indica qual o problema 
Processo dos esforços
Exemplo GH=2
δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10
δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20
� δ11 δ12
δ21 δ22
� �X1X2�= �
∆1,real-∆10
∆2,real-∆20
� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 34
�
δ21 δ22
� �X2� �∆2,real-∆20�
Obs 1 → Os deslocamentos δij são denominados 
coeficientes de flexibilidade e [δij] é a matriz de 
flexibilidade.
Obs 2 → A matriz é simétrica δij = δji, 
portanto δ12 = δ21
Processo dos esforços
Exercício1– Traçar os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor.
GH=?
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 1
GH=?
GH=1
Processo dos esforços
Para uma estrutura uma vez hiperestática 
retirar apenas um vínculo incógnito:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Estruturas isostáticas fundamentais
Processo dos esforços
Escolheu-se retirar o momento do engaste 
que passa a ser chamada de incógnita 
hiperestática X1...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
≡
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
(r) = ( r’) = (0) + (1)
Processo dos esforços
Ou...
(r) = ( r’) = (0) + X (1)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0
X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Diagramas de momentos fletores para 
problema (0) e problema (1)...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
Processo dos esforços
Os deslocamentos são calculados através 
do PTV aplicado aos corpos deformáveis 
pelo processo da carga unitária...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
∆10 e δ11
Processo dos esforços
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
∆10 =?
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
MbMa
Processo dos esforços
τext = � Ma∙MbEI dx
4
0
 
RA·0 + HA·0 + RB·0 + 1·∆10 = 1EI ·� Ma
4
·Mb dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10RA·0 + HA·0 + RB·0 + 1·∆10 = EI ·� Ma0 ·Mb dx 
ou ∆10 = 
1
EI ·� M1
4
0
· M0 dx ∆10 = 1EI ·� Ma
4
0
· Mb dx 
Processo dos esforços
∆10 = 
1
EI ·� M1
4
0
· M0 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11
Linha 1 * Coluna IV
G F
Processo dos esforços
1 � 1 � 160
∆10 = 
1
EI · �L
1
3 ·F·G� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12
∆10 = 
1
EI · �4
1
3 ·40·1�=
160
3EI 
Processo dos esforços
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
δ11 =?
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13
MbMa
Processo dos esforços
τext = � Ma∙MbEI dx
4
0
 
RA·0 + HA·0 + RB·0 + 1·δ11 = 1EI ·� Ma
4
0
·Mb dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 14
ou
 δ EI �0
δ11 = 1EI ·� Ma
4
0
· Mb dx δ11 = 1EI ·� M1
4
0
· M1 dx 
Processo dos esforços
δ11 = 1EI ·� M1
4
0
· M1 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 15
Linha 0 * Coluna II
F F
Processo dos esforços
δ11 = 
1
EI · �4
1
3 ·1
2�= 43EI 
δ11 = 
1
EI · �L
1
3 ·F
2� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16
δ11 = EI · �4 3 ·1 �=3EI 
Processo dos esforços
Equação de 
compatibilidade de deslocamento:
X1 = - 
∆10
δ11
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17
11
X1 = - 
∆10
δ11
= - 
160
3EI
4
3EI
= - 1603EI ·
3EI
4 = - 40 kN.m 
Obs → O sinal negativo significa que o sentido adotado 
inicialmente para a incógnita esta errado...
Processo dos esforços
Para obter os esforços finais da viga utiliza-
se o momento fletor (incógnita 
hiperestática) encontrada...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18
Processo dos esforços
Esforços finais
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19
V
M
Processo dos esforços
Exercício 2– Traçar os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor.
GH=?
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 1
GH=?
GH=1
Processo dos esforços
Para uma estrutura uma vez hiperestática 
retirar apenas um vínculo incógnito:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Estruturas isostáticas fundamentais
Processo dos esforços
Escolheu-se retirar a reação de apoio do 
apoio móvel que passa a ser chamada de 
incógnita hiperestática X1...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
≡
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
(r) = ( r’) = (0) + (1)
Processo dos esforços
Ou...
(r) = ( r’) = (0) + X (1)
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0
X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Diagramas de momentos fletores para 
problema (0) e problema (1)...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
Processo dos esforços
Os deslocamentos são calculados através 
do PTV aplicado aos corpos deformáveis 
pelo processo da carga unitária...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
∆10 e δ11
Processo dos esforços
∆10 = 
1
EI ·� M1
4
0
· M0 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
Linha 1 * Coluna V
G F
Processo dos esforços
∆10 = 
1
EI · �- L
1
4 ·F·G� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
11
Obs → O sinal negativo deve ser utilizado quando 
os diagramas são traçados em lados contrários ao 
eixo da barra.
Processo dos esforços
δ11 = 1EI ·� M1
4
· M1 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12
δ11 = EI ·� M10 · M1 dx
Processo dos esforços
δ11 = 1EI ·� M1
4
0
· M1 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13
Linha 0 * Coluna II
F F
Processo dos esforços
δ11 = 
1
EI · �L
1
3 ·F
2� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
14
Processo dos esforços
Equação de 
compatibilidade de deslocamento:
X1 = - 
∆10
δ11
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 15
11
Obs → O sinal positivo significa que o sentido adotado 
inicialmente para a incógnita esta certo...
X1 = - 
∆10
δ11
= - −
640
EI
64
3EI
= 640EI ·
3EI
64 = 30 kN.m 
Processo dos esforços
Para obter os esforços finais da viga utiliza-
se a reação do apoio móvel(incógnita 
hiperestática) encontrada...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16
Processo dos esforços
Esforços finais
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17
V
M
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Para resolução de uma estrutura hiperestática é necessário um processo de cálculo para obter­
se os esforços solicitantes. Qual dos processos de cálculo descrito abaixo se refere ao cálculo de estruturas hiperestáticas:
A Processo dos deslocamentos;
B Processo de Cross;
C Equação dos três momentos;
D Processo dos esforços;
E Todas as alternativas anteriores estão corretas;
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
O processo dos esforços utilizado para obter os esforços solicitantes de estruturas hiperestáticas tem por base:
A Uma superposição de efeitos e estabelecimento de um sistema de equações de compatibilidade de esforços;
B Somente uma superposição de efeitos;
C Apenas o estabelecimento de um sistema de equações de compatibilidade de esforços;
D Uma superposição de efeitos e estabelecimento de um sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos;
E Nenhuma das anteriores.
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Seja a viga hiperestática abaixo: 
  
Qual das estruturas abaixo não representa uma possível estrutura isostática fundamental:
 
 
A
B
C
D
E Nenhuma das anteriores.
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Para a superposição dos efeitos no processo dos esforços o problema real pode ser equivalente a um problema fictício o qual representa:
A A estrutura isostática fundamental com nenhuma incógnita hiperestática;
B A estrutura isostática fundamental com todas as incógnitas hiperestáticas e com o carregamento externo;
C A estrutura isostática fundamental com apenas duas incógnitas hiperestáticas;
D A estrutura isostática fundamental com apenas uma incógnita hiperestática;
E Nenhuma das anteriores.
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
No processo dos esforços devem ser obtidos:
A os esforços calculados através do PTV pelo processo da carga unitária;
B as deformações calculadas através do PTV pelo processo da carga unitária;
C as flechas calculadas através do PTV pelo processo da carga unitária;
D os deslocamentos calculados através do PTV pelo processo da carga unitária;
E Nenhuma das anteriores.
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No processo dos esforços qual das equações abaixo representa a equação de compatibilidade de deslocamento para uma estrutura uma vez hiperestática:
A X1 = (10/11)
B X1 = ­ (10/11)
C X1 = ­ (10/11)
D X1 =(10/11)
E Nenhuma das anteriores.
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http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Seja viga abaixo:
Adotando como incógnita hiperestática o momento fletor no engaste no sentido antihorário para EI constante, qual o valor de 10 e 11, respectivamente:
A 20/EI   e   2/EI
B 2/EI   e   20/EI
C ­ 20/EI   e   2/EI
D 2/EI   e   20/EI
E Nenhuma das anteriores.
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Seja viga abaixo:
  
Adotando como incógnita hiperestática o momento fletor no engaste no sentido antihorário para EI constante, qual o valor da incógnita hiperestática:
 
A ­20kN.m;
B ­10kN.m;
C +10kN.m;
D +20kN.m;
E Nenhuma das anteriores.