Power Point sobre Estudo do Ponto - Descritiva I A

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

*
ARQ 051 - Expressão Gráfica
Departamento das Geometrias de Representação
Faculdade de Arquitetura
Universidade Federal da Bahia
Salvador - 2006
*
 GEOMETRIA DESCRITIVA
 	
INTRODUÇÃO 
ESTUDO DO PONTO
ESTUDO DA RETA
ESTUDO DOS PLANOS
REPRESENTAÇÃO DE SÓLIDOS
*
INTRODUÇÃO
		“Geometria é a ciência que investiga as formas e dimensões dos elementos matemáticos.” – Definição de Aurélio B.de H. Ferreira no seu Dicionário da língua portuguesa. 
	A Geometria Projetiva estuda os objetos representando-os através de suas projeções sobre planos.
		
*
INTRODUÇÃO
		Estas projeções são obtidas através de “Sistemas de Projeções”. Estes podem ser Cônicos, Cilíndricos Oblíquos ou Cilíndricos Ortogonais. 
		No Sistema Cônico de Projeções, o centro das projeções está situado à uma distância finita do plano de projeções. É o sistema utilizado pela Perspectiva Exata. 
		
*
INTRODUÇÃO
	Sistema Cônico de Projeções
*
INTRODUÇÃO
		No Sistema Cilíndrico o centro de projeções está situado à uma distância infinita do plano de projeções. Neste caso, as projetantes (retas que ligam o centro de projeções ao plano de projeções, passando pelo objeto a ser projetado), podem ser oblíquas (Perspectivas Paralelas) ou perpendiculares ao plano de projeções (Geometria Descritiva, Geometria Cotada), e assim o sistema Cilíndrico pode ser Oblíquo ou Ortogonal. 
*
INTRODUÇÃO
		Sistema Cilíndrico Ortogonal
*
1. INTRODUÇÃO
		
	Como vimos, a Geometria Descritiva está baseada no Sistema Cilíndrico Ortogonal, ou seja, utiliza projetantes perpendiculares ao plano de projeções.
	Além disto, caracteriza-se por representar os objetos através de projeções em dois planos, perpendiculares entre si. Esse planos são chamados de: 
Plano Horizontal de Projeções - PHp
Plano Vertical de Projeções - PVp
*
1. INTRODUÇÃO
	
PLANOS DE PROJEÇÕES
*
1. INTRODUÇÃO
	O método de projeção da Geometria Descritiva foi idealizado por um matemático francês, chamado Gaspar Monge, daí também ser conhecido como “Método Mongeano da Dupla Projeção”.
*
1. INTRODUÇÃO
1.1 Principais elementos do Método Mongeano da Dupla Projeção
*
1. INTRODUÇÃO
1.1 Principais elementos do Método Mongeano da Dupla Projeção	
O PVp divide o PHp em dois semi-planos: o que está à frente do PVp chama-se de Semi-Plano Horizontal Anterior – sPHA, e o que está atrás do PVp, chama-se de Semi-Plano Horizontal Posterior – sPHP.
Da mesma forma o PHp divide o PVp em dois semi-planos: o que está acima do PHp chama-se Semi-plano Vertical Superior – sPVS e o que está abaixo do PHp, chama-se de Semi-Plano Vertical Inferior – sPVI
A interseção entre os dois planos de projeção é a Linha de Terra – LT.
*
1. INTRODUÇÃO
1.1 Principais elementos do Método Mongeano da Dupla Projeção	
	Cada par de semi-planos consecutivos define uma região distinta, denominada de DIEDRO. A região entre o sPHA e o sPVS é o 1° Diedro, e os outros são numerados de acordo com o sentido trigonométrico (anti-horário). Assim, o 2° Diedro será a região entre o sPVS e o sPHP; o 3° Diedro será a região entre o sPHP e o sPVI; e, por último, o 4° Diedro será a região entre o sPHA e o sPVI.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.1 Representação do Ponto
	No Método Mongeano, o Ponto (e qualquer objeto), será representado por duas projeções: a Projeção Horizontal, obtida através de uma projetante perpendicular ao PHp e a Projeção Vertical, através de uma projetante perpendicular ao PVp. Para identificá-las utilizaremos uma convenção onde o Ponto no espaço será identificado por uma letra maiúscula entre parênteses, a Projeção Horizontal pela mesma letra maiúscula sem o parênteses e acrescida do índice 1, e a Projeção Vertical pela mesma letra maiúscula também sem o parênteses e acrescida do índice 2.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.1 Representação do Ponto
	Assim, o ponto (A) será projetado nos dois planos, sendo obtidas as suas projeções A1 e A2.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.1 Representação do Ponto
	Observe que a figura anterior utiliza o recurso da perspectiva para ilustrar as projeções do ponto (A). Entretanto, o objetivo do método é representar um objeto num plano (portanto através de duas dimensões), através de suas projeções cilíndrico-ortogonais e, desta forma, poder transmitir através do desenho todas as informações dimensionais e de posição necessárias para a materialização / reprodução do objeto. 
	Para isto, Monge idealizou um artifício: girar o PHp até que ele encontre o PVp, de maneira que o sPHP coincida com o sPVI e o sPHP coincida com o sPVI.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.1 Representação do Ponto - ÉPURA
	
Este procedimento coloca num mesmo plano (portanto, uma representação bidimensional, um desenho), as projeções do objeto. A esta representação Monge denominou de ÉPURA.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
Para que um ponto tenha sua localização em relação aos planos de projeção, determinada com precisão, são necessárias as distâncias do ponto à estes planos. Estas distâncias são:
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
 distância do ponto ao PVp – afastamento, que se projeta em VG (Verdadeira Grandeza) no PHp, e corresponde à distância da projeção horizontal do ponto à LT;
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
 distância do ponto ao PHp – cota, que se projeta em VG (Verdadeira Grandeza) no PVp, e corresponde à distância da projeção vertical do ponto à LT;
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
No sistema cartesiano os objetos são referenciados em relação à três dimensões, em geral largura, comprimento e altura. Se tomarmos apenas o afastamento e a cota o ponto não estará referenciado em relação à estas três dimensões. Por exemplo: um segmento de reta (A)(B)paralelo ao PHp e ao PVp terá seus pontos extremos (A) e (B) com o mesmo afastamento e a mesma cota. Entretanto são pontos distintos.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
A posição exata do ponto ficará determinada se tomarmos além do afastamento e da cota, uma terceira distância, à um plano que seja perpendicular ao PHp e ao PVp ao mesmo tempo, e que será denominado de Plano de Origem das Abscissas – POA. A distância do ponto ao POA será chamada de Abscissa, e sua referência será a Origem, que será marcada na interseção dos três planos, o PHp, PVp e POA.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
A épura dos pontos (A) e (B) será construída, portanto, a partir das três coordenadas de cada um destes pontos, a saber:
	Abscissa, Afastamento e Cota
Apresentadas nesta ordem, e separadas por ponto e vírgula. Por exemplo:
 
( xa ; ya ; za)
( xb ; yb ; zb)
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
O ponto pode estar situado à uma mesma distância do PVp, mas estar à sua frente, portanto se projetando no sPHA, ou estar atrás do PVp, portanto se projetando no SPHP. Da mesma forma pode estar acima do PHp, logo se projetando no sPVS ou abaixo do PHp e portanto se projetando no SPVI. E ainda pode estar à esquerda ou à direita do POA.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
Assim, para identificar a posição exata de um ponto, além das distâncias aos planos de projeção e ao plano de origem das abscissas, também são utilizados os sinais + ou -, da seguinte maneira:
Ponto projetado à direita da origem, terá abscissa +, e à esquerda terá abscisssa – ;
Ponto projetado no sPHA, terá afastamento + e no sPHP terá afastamento - ;
Ponto projetado no sPVS, terá cota +, e no sPVI, cota – 
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto – Épura
Em épura, (ou seja, após o rebatimento do PHp sobre o PVp, para obter uma representação bidimensional), observa-se que:
As abscissas
positivas ficarão à direita da Origem e as negativas à esquerda da Origem;
As projeções horizontais que pertencerem ao sPHA ficarão localizadas abaixo da LT;
As projeções horizontais que pertencerem ao sPHP ficarão localizadas acima da LT;
As projeções verticais que pertencerem ao sPVS ficarão localizadas acima da LT;
As projeções verticais que pertencerem ao sPVI ficarão localizadas abaixo da LT.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.2 Coordenadas do Ponto – Épura
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto
Ponto (A) situado no 1° Diedro
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto
Ponto (B) situado no 2° Diedro
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto
Ponto (C) situado no 3° Diedro
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto
Ponto (D) situado no 4° Diedro
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto
Ponto (E) situado no SPHA
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto
Ponto (F) situado no SPHP
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto
Ponto (G) situado no sPVS
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto 
Ponto (J) situado no sPVI
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto
Ponto (K) situado na LT
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto – Exercício
Representar em épura os pontos (A), (B), (C) e (D), dados por suas coordenadas e, em seguida, identificar a posição no espaço. Dados:
(A)(3; 5;-7) (B)(-1; 4; 6) (C)(5; -3; 0)
(D)(0; -5; 5)
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto – Exercício
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto – Bissetores
Observe que, no exercício anterior, o ponto (D) tem afastamento e cota iguais. Isto indica que ele está situado num Plano Bissetor, ou seja, um Plano que divide os diedros ao meio. 
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto – Bissetores
O Bissetor que divide os diedros ímpares (1° e 3°) ao meio é chamado de Bissetor Ímpar ou 1° Bissetor, e o que divide os diedros pares ao meio é o Bissetor Par ou 2° Bissetor.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto – Bissetores
Através do diagrama, a seguir, pode-se observar que, pontos situados no Bissetor Ímpar possuem afastamento e cota iguais em módulo e sinal. Já aqueles situados no Bissetor Par possuem afastamento e cota iguais em módulo, mas com sinais diferentes.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto – Bissetores
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.3 Posições do Ponto – Bissetores
Observe então que, quando o ponto está situado no Bissetor Ímpar, em épura terá projeções simétricas em relação à LT. Caso esteja no Bissetor Par, terá projeções coincidentes, como o ponto (D), no exercício 01.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.4 Simetria entre pontos
Segundo o Dicionário Aurélio, Simetria é uma “Correspondência, em grandeza, forma e posição relativa, de partes situadas em lados opostos de uma linha ou plano médio, ou, ainda, que se acham distribuídas em volta de um centro ou eixo”. 
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.4 Simetria entre Pontos
Alguns casos de simetria serão a seguir apresentados, com objetivo de treinar o raciocínio em questões de geometria e a visão espacial. 
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.4 Simetria entre Pontos
Pontos simétricos em relação ao PVp: neste caso, a cota fica mantida e o afastamento troca de sinal.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.4 Simetria entre Pontos
Pontos simétricos em relação ao PHp: neste caso, o afastamento fica mantido e a cota troca de sinal.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.4 Simetria entre Pontos
Pontos simétricos em relação ao Bissetor ímpar: neste caso, o afastamento passa a ser cota e a cota passa a ser afastamento, mantendo-se os sinais.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.4 Simetria entre Pontos
Pontos simétricos em relação ao Bissetor Par: neste caso, o afastamento passa a ser cota e a cota passa a ser afastamento, trocando-se os sinais.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.4 Simetria entre Pontos
Pontos simétricos em relação à Linha de Terra: neste caso, o afastamento mantém o módulo e troca de sinal, e a cota também faz a mesma mudança apenas de sinal.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.4 Simetria entre Pontos – EXERCÍCIO
(N° 18 do livro “Geometria Descritiva – Noções Básicas”)
Ache as coordenadas e represente em épura o ponto (X)( 3 ; ?; ?) que é simétrico a (A) em relação à LT, que por sua vez é simétrico a (B) em relação ao PHp, simétrico a (C) em relação ao PVp, que é simétrico a (D) em relação ao Bissetor Ímpar que, finalmente, é simétrico a (E)( ?; -2; 4) em relação ao Bissetor Par.
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.4 Simetria entre Pontos – EXERCÍCIO
(N° 18 do livro “Geometria Descritiva – Noções Básicas”)
Observe que este exercício deve ser resolvido do final para o princípio, encontrando inicialmente o ponto (D), depois o ponto (C), a seguir o ponto (B), depois o ponto (A) e, finalmente o ponto (X).
*
2. ESTUDO DO PONTO
2.4 Simetria entre Pontos – EXERCÍCIO
(N° 18 do livro “Geometria Descritiva – Noções Básicas”)