Apostila de Análise de vigas feitas de dois materiais

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Análise de vigas feitas de 
dois materiais
Localização da linha neutra
• A posição da linha neutra depende da forma da 
seção transversal, das parcelas de cada 
material na seção e do módulo de elasticidade 
de cada material.
Exemplo
Viga de 2 materiais,
seção tranversal 
retangular, carga 
uniformemente 
distribuída 
Diagrama de esforços solicitantes
Determinação da posição da linha neutra
Cálculo da distância c:
Primeira forma:
Achar c que satizfaz a equação
-E1 (b c
2) + E1 (b (H-c)
2) + E2 (b h (h/2+H-c) = 0
2 2 
Segunda forma:
c = [E1bH
2/2 + E2bh(H + h/2)]/[E1bH + E2bh]
Cálculo do momento de inércia
 Como tem-se Mz, deve-se 
calcular Iz
 Sendo Iz1 relativo à parte 
do material 1 e Iz2 à parte 
do material 2, tem-se:
Iz1= bH
3/3 + b(H-c)3/3
Iz2= b(H-c+h)
3 – b(H-c)3/3
Cálculo da tensão normal e 
da deformação específica
Fazendo
K = [E1Iz1 + E2Iz2]/E1
• Na parte de material 1 tem-se: 
σx1 = (Mz/K)y
x1 = σx1/E1
• Na parte de material 2 tem-se: 
σx2 = (Mz/K) (E2/E1)y
x2 = σx2/E2
Diagramas de tensão normal e de
deformação específica
Cálculo da tensão cisalhante
• Na parte de material 1 tem-se:
1 = VM1/(K b)
onde M1 é o momento estático com relação à linha neutra da parte da 
seção de material 1 acima do nível onde se quer calcular a tensão
• Na parte de material 2 tem-se:
2 = VM2E2/(K b/E1)
onde M2é o momento estático com relação à linha neutra da parte da 
seção de material 2 abaixo do nível onde se quer calcular a tensão
Diagrama de tensão cisalhante
Aplicação numérica
Faça os diagramas de σx, x e  para a seção a 1m do 
apoio da esquerda da viga com os seguintes dados:
q = 2 kN/m
L = 5 m
H = 150 mm
h = 10 mm
b = 100 mm
E1 = 20 GPa
E2 = 200 GPa
Confira seus resultados com os mostrados a seguir.
Diagramas de tensão normal e 
deformação específica
Diagrama de tensão cisalhante