Lista de cálculo III do professor Anatoli

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Professor Anatoli CÁLCULO III Lista 1 – 05.11.98
 EXERCÍCIOS 
 Página 1 de 1 
Troque a ordem de integração: 
1. ∫ ∫
1
0
3
2
x
x
dydx)y,x(f
 
2. ∫ ∫
−1
0
3
2
1
2
2
y
y
dxdy)y,x(f
 
3. ∫ ∫
−1
0
2 2x
x
dydx)y,x(f
 
4. ∫ ∫
1
0
2
3
x
x
dydx)y,x(f
 
5. ∫ ∫
2
0
2x
x
dydx)y,x(f
 
6. ∫ ∫
−
1
0
x
x
e
e
dydx)y,x(f
 
7. ∫ ∫
−
a ax
xax
dydx)y,x(f
2
0
2
2 2
 
8. ∫ ∫
−1
0
2 y
y
dxdy)y,x(f
 
9. ∫ ∫
−1
0
23 y
y
dxdy)y,x(f
 
10. ∫ ∫
−
−−
1
0
3
1
2
2
y
y
dxdy)y,x(f
Calcule a área da região limitada 
pelas curvas: 
1. yx,xy 95253 22 == 
2. 222 =+= x,xy 
3. 02 === y,xcosy,xcosy 
4. xxy,xxy 524 22 −=−= 
5. 0424 2 =−+−= yx,yx 
6. 310 xy,x,y === 
7. xey,x,y,x ==== 200 
8. 
x
y,y,y,x 1310 ==== 
9. yyx,xy,y 21 22 −=+−=−= 
10. 222 =+= x,xy 
 
Calcule o volume limitado pelas 
superfícies: 
1. 
40
00822
=++=
===+
zyx,z
,y;x,yx
 
2. 00422 2 ===++= z,y,zyx,yx 
3. 014 22 ==++ z,zyx 
4. 01222 ===+= z,y,xy,yxz 
5. 
000
424 2
===
=+−=
z,y,x
,yx,xz
 
6. 
040
102
===
===
z,y,y
,x,x,xyz
 
7. 095 22 ==+= z,yx,yz 
8. 
0063
12236
===+
=+=++
z,y,yx
,yx;zyx
 
9. 
001
1 2
===
=++=
z,y,x
,xy,yxz
 
10. 40 22 =+== yx,xyz,z 
11. 
0222
2222
===
=++=
z,xyx
,xyx,yxz
 
Professor Anatoli CÁLCULO III Lista 1 – 05.11.98
 EXERCÍCIOS 
 Página 2 de 2 
Calcule as integrais duplas: 
1. 2
0 pipi ≤≤≤≤ΩΩ∫∫
Ω
+ yo,x:dycose ysenx
 
2. ( ) 21022 ====ΩΩ+∫∫
Ω
y,y,x,xy:dyx
 
3. ( ) 2023 22 ===ΩΩ+−∫∫
Ω
y,yx,x:dyxyx
 
4. ( ) 212 ===ΩΩ+∫∫
Ω
x,xy,xy:dysenxcos
 
5. ( )






+≥≤+=ΩΩ+∫∫
Ω
3
3
293 22 xy,yxdyx
 
6. ( ) xy,y,x:dyxsen ===ΩΩ+∫∫
Ω 2
0 pi
 
7. ( ) ( ) ( )542732 ,C,,B,,A:dx B
C
A ∆≡ΩΩ∫∫
Ω
 
8. ( ) 201022 ====ΩΩ+∫∫
Ω
y,y,x,x:dyy
 
9. 100 =+==ΩΩ∫∫
Ω
yx,y,x:dxy
 
10. ( ) 3002 =+==ΩΩ+∫∫
Ω
yx,y,x:dyx
 
11. 202 =+==ΩΩ∫∫
Ω
yx,y,xy:dy
 
12. 
x
y,xy,x:dyx 1222 ===ΩΩ∫∫
Ω
−
 
13. ylnx,y,y,x:dxdye
x
====Ω∫∫
Ω
210
 
14. ( ) ty,xy,x:dyxcos ===ΩΩ+∫∫
Ω
0
 
15. ( ) 156 ===ΩΩ+∫∫
Ω
x,xy,xy:dyx
 
 
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 EXERCÍCIOS 
 Página 3 de 3 
Calcule as integrais duplas usando a mudança de variáveis: 
1. 11 2
2
2
2
2
2
2
2
=+ΩΩ−−∫∫
Ω b
y
a
x
:d
b
y
a
x
 
2. 
baqpbyx,ayx,qxy,pxy:
d
<<<<====Ω
Ω∫∫
Ω
002222
 
3. 
( ) ( )
1311
23
−=−=+=−=+Ω
Ω−+∫∫
Ω
yx,yx,yx,yx:
dyxyx
 
4. ( ) 21112 22 =+=++==ΩΩ+∫∫
Ω
yx,yx,xy,xy:dx
 
5. 4
411
2
22 yx,yx,yx:dx −=−=−=ΩΩ∫∫
Ω
 
Observação: mudança x = x² - v², y = xv 
6. 
12122222
12
2
=+=−=+=−Ω
Ω
−−
+
∫∫
Ω
xy,xy,xy,xy:
d
xy
xy
 
7. 9494
22222 yxyx
:d −=





+ΩΩ∫∫
Ω
 
8. ( ) { }41
22
222
≤+≡Ω
++
Ω
∫∫
Ω
yx
yx
d
 
9. 
222222 Rzyx,Rxyx:d =++=+ΩΩ∫∫
Ω
 
10. ( ) { }11 2222 ≤+≡ΩΩ+−∫∫
Ω
yxdyx
 
 
Observação: Em caso de dúvida em relação a Ω, considere Ω no 1º quadrante. 
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 EXERCÍCIOS 
 Página 4 de 4 
LISTA DAS RESPOSTAS
Ordem de integração 
1. ∫ ∫∫ ∫ +
3
2
1
3
1
2
0
2
1
3
1 y
y
y
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
 
2. 
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
−
+
+
3
2
3
0
2
2
1
1
0
2
1
0
2
0
2
x
x
dydx)y,x(f
dydx)y,x(fdydx)y,x(f
 
3. ∫ ∫∫ ∫
−
+
2
1
2
0
1
0 0
2yy
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
 
4. ∫ ∫
1
0
3 y
y
dxdy)y,x(f
 
5. ∫ ∫∫ ∫ +
4
2
2
2
2
0
2
y
y
y
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
 
6. ∫ ∫∫ ∫ +
e
yln
e y
ln
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
1
11
1
1
1
 
7. ∫ ∫∫ ∫
++
−−
+
a a
yaa
a yaa
a
y
dydx)y,x(fdxdy)y,x(f
0
2
0
2
22
22
2
 
8. ∫ ∫∫ ∫
−
+
2
1
2
0
1
0 0
xx
dydx)y,x(fdydx)y,x(f
 
9. ∫ ∫∫ ∫
−
+
3
1
2
3
0
1
0 0
2
x
x
dydx)y,x(fdydx)y,x(f
 
10. ∫ ∫∫ ∫
−
−
−
+
1
0
1
0
0
1
1
0
2 xx
dydx)y,x(fdydx)y,x(f
 
Área da região 
1. 5 2. 
3
32
 3. 
2
1
 
4. 
2
27
 5. 
3
4
 6. 
4
1
 
7. 12 −e 8. 3ln 
9. 
42
1 pi
+ 
10. Correção: 
( ) 414 222 =+−= yx,xy 
Resposta: 82 −pi 
Volume do corpo 
1. 
3
2328 −pi 2. 2
17
 
3. 
4
pi
 4. 
105
88
 5. 
3
40
 
6. 
9
32
 7. 90 8. 12 
9. 
60
79
 10. 4 11. 32
45pi
 
Integrais duplas 
1. ( )( )11 −− piee 2. 5 
3. 
21
244
 
4. Correção: 
pi=+==Ω yx,y,x: 4400 
Resp.: ( )22141 −+pi 
5. 
169
432
− 
6. 1 7. 26 
8. 
3
14
 9. 
24
1
 10. 
2
27
 
11. 
6
5
 12. 
4
9
 13. 
2
1
 
14. 2− 15. 
3
125 
Mudança de variáveis 
1. abpi32 
2. ( )( )abpq −−31 
3. 320 4. 1 5. 24 
6. 43 7. 6 8. pi54 
9. ( ) 392 43 R−pi 10. pi32