prova_p1_gab_calc3_2010_2_eng

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Instituto de Matema´tica - IM/UFRJ
Ca´lculo Diferencial e Integral III - MAC238
Gabarito prim. prova unificada - Escola Polite´cnica / Escola de Qu´ımica - 13/10/2010
’Questa˜o 1: (2.5 pontos)
Calcule a integral dupla
I =
∫∫
D
(2x+ y) sen(x− 2y)dxdy,
onde D e´ a regia˜o do R2 delimitada pela curvas dadas pelas equac¸o˜es (2x + y)2 − 2y + x = −3,
(2x+ y)2 − 2y + x = 0, 2x+ y = 1 e 2x+ y = 0.
Soluc¸a˜o:
As curvas dadas sa˜o duas para´bolas com eixos coincidentes mas que na˜o sa˜o paralelos a nenhum
dos eixos coordenados e duas retas. Uma mudanc¸a de coordenadas linear podera´ transformar
este domı´nio de forma que o eixo das para´bolas coincida com um eixo coordenado no novo
sistema de coordenadas. Seja, enta˜o, u = 2x + y e v = 2y − x. Isto implica que x = 2u− v
5
e
y =
u+ 2v
5
. Enta˜o o Jacobiano e´ dado por
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2
5
−1
5
1
5
2
5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =
1
5
.
As curvas originais, expressas nas coordenadas u e v, sa˜o dadas por v = 2u2 + 3, v = u2, u = 1
e u = 0. Portanto, a integral pedida e´ dada por
I = −1
5
∫ 1
0
∫ u2+3
u2
u sen vdvdu =
1
5
∫ 1
0
u
(
cos(u2 + 3)− cos(u2)) du = 1
10
(sen 4− sen 3− sen 1)
Questa˜o 2: (2.5 pontos)
Calcule a integral tripla
I =
∫∫∫
W
√
x2 + y2 dxdydz,
onde W e´ a intersec¸a˜o dos so´lidos C = {(x, y, z) : x2 + y2 6 1}, P = {(x, y, z) : z 6 0} e
K = {(x, y, z) : z > −√x2 + y2}.
Soluc¸a˜o:
Utilizaremos coordenadas cil´ındricas. Temos que ϕ(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z). Os limites
de integrac¸a˜o sa˜o facilmente obtidos como θ ∈ [0, 2pi), r ∈ [0, 1] e z ∈ [−r, 0]. Ale´m disso,
F (ϕ(r, θ, z)) = r. Temos que J =
∂(x, y, z)
∂(r, θ, z)
= r e, portanto,
I =
∫∫∫
W
√
x2 + y2 dxdydz =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
∫ 0
−r
r2dzdrdθ =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
r3drdθ =
pi
2
Pa´gina 1 de 3
Ca´lculo Diferencial e Integral III - MAC238
Gabarito prim. prova unificada - Escola Polite´cnica / Escola de Qu´ımica - 13/10/2010(continuac¸a˜o)
Questa˜o 3: (2.0 pontos)
Seja C a curva obtida pela intersec¸a˜o do cilindro el´ıptico x2 + 2y2 = 2 com o plano z = 10 − y,
satiszazendo x 6 0. Parametrize a curva C e calcule
∫
C
x2ds.
Soluc¸a˜o:
Uma parametrizac¸a˜o para a curva e´ dada por σ(θ) = (
√
2 cos θ, sen θ, 10 − sen θ), com θ ∈[
pi
2
,
3pi
2
]
. Enta˜o, σ′(θ) = (−√2 sen θ, cos θ,− cos θ) e |σ′(θ)| = √2.
Portanto,
∫
C
x2ds =
∫ 3pi/2
pi/2
2
√
2 cos2 θdθ =
√
2pi
Questa˜o 4: (3.0 pontos)
Seja C uma curva parametrizada por γ : [0, 1] −→ R2, C1 por partes como no esboc¸o abaixo tal
que γ(0) = (−1, 0) e γ(1) = (1, 0).
Calcule ∫
C
−y
x2 + 4y2
dx+
x
x2 + 4y2
dy
Soluc¸a˜o:
Verificamos, inicialmente, que o campo detorial dado F (x, y) =
( −y
x2 + 4y2
,
x
x2 + 4y2
)
na˜o esta´
definido na origem. Portanto, se utilizarmos o Teorema de Green o domı´nio escolhido na˜o pode
conter a origem. Temos que
∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
=
1
x2 + 4y2
− 2x
2
(x2 + 4y2)2
+
1
x2 + 4y2
− 8y
2
(x2 + 4y2)2
= 0.
Vamos, enta˜o, utilizar o Teorema de Green. Seja β o arco da elipse x2 + 4y2 = 1, satisfazendo
y 6 0 orientado com x crescente. Uma parametrizac¸a˜o para este arco e´ dada por σ(θ) =(
cos θ,
sen θ
2
)
, com θ ∈ [pi, 2pi]. Enta˜o, sendo Ω a regia˜o limitada por C e β temos, pelo
Teorema de Green, que∫∫
Ω
∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
dA =
∫
C
F (x, y).dr −
∫
β
F (x, y).dr,
Pa´gina 2 de 3
Ca´lculo Diferencial e Integral III - MAC238
Gabarito prim. prova unificada - Escola Polite´cnica / Escola de Qu´ımica - 13/10/2010(continuac¸a˜o)
isto implica que
∫
C
F (x, y).dr =
∫
β
F (x, y).dr. Temos que σ′(θ) =
(
− sen θ, cos θ
2
)
e F (σ(θ)) =(
−sen θ
2
, cos θ
)
. Portanto F (σ(θ)).σ′(θ) =
1
2
e, da´ı,
∫
C
F (x, y).dr =
∫
β
F (x, y).dr =
∫ pi
0
1
2
dθ = pi/2.
Observe que o campo vetorial F (x, y) e´ conservativo desde que escolhamos um domı´nio sim-
plesmente conexo (por exemplo, retirando o semi eixo positivo das ordenadas). Neste caso, a
integral pedida coincide com a integral calculada, sem necessidade de utilizar o Teorema de
Green como argumento (este esta´ impl´ıcito no resultado utilizado). A busca de uma func¸a˜o
potencial, que realmente existe no domı´nio simplesmente conexo citado acima, e´ um pouco mais
delicada pois a soluc¸a˜o por integrac¸a˜o costuma envolver arc tan(2y/x) (ou arc tan(x/2y)) que
na˜o esta˜o definidas em x = 0 (ou y = 0).
Obs: Todas as curvas e regio˜es auxiliares utilizadas na resoluc¸a˜o das questo˜es devera˜o ser claramente
identificadas, incluindo as orientac¸o˜es adotadas.
Pa´gina 3 de 3 Boa prova!