Exercícios unidade 2 - Cinemática e Dinâmica

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Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
Notamos que a aceleração de Coriolis é perpendicular aos vetores n e VP/F.
Entretanto, como estes vetores não são usualmente perpendiculares entre si, o
modulo de ac em geral não é equivalente a 2QVP/F como no caso do movimento
plano de um ponto material.
Os sistemas de referência rotativos são particularmente utilizados no estudo
do movimento tridimensional dos corpos rígidos. Uma escolha adequada do sistema
rotativo conduzirá muitas vezes a análises mais simples do movimento de um corpo
rígido do que seria possível com eixos de orientações fixas.
Ex. 1 - Peças manufaturadas recebem tinta ao passarem pelo estágio de pintura
automatizado mostrado na Fg. 4.2. Sabendo-se que o tubo curvo ACE gira com
velocidade angular constante W1 = 0,6 rad/s e que no ponto D a tinta se move no
tubo com velocidade relativa u = 150 mm/s, na direção e no sentido indicado,
determine, para a posição mostrada, a.•velocidade e ~eração da tin@..em D..
Yy
Figura 4.2 - Estágio de pintura automatizado
Definindo-se o sistema de referência fixo AXYZ e o sistema rotativo Axyz, que gira
com velocidade angular n = W1, e usando -se as equações 4.7 e 4.9, tem-se:
125
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. _
vs: = Vo' + VO/F q.1)
126
onde:
[
0.6l r350+200COS(1200)j [0 j
VJ)' = W1 /\ AD = o' J /\ 200sen(1200) = °° LO 0,6(200)sen(1200) q.2)
q.3)
Substituindo q.2) e q.3) em q.1), tem-se:
1° j i150COS(300)ll150COS(300) j
Vf) = ° + 150sen(300) = 150sen(300)
lO,6(200)Sen(1200) _O 0,6(200)sen(1200)
q.4)
ao = ao, + aO/F + ac q.5)
onde:
/
iol f350 + 200COS(200)j [0,6j [O j [0 1
a íY = I O] /\ l200sen(200) + ° /\ ° = - (0,6)2 (200)sen(1200)
LO ° O 0,6(200)sen(l200) O
I~ q 6), J,/J .
WC: <?J?r.
.~
l{
LO'/
\~
" o Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. RiultN "
r-'
- cos(3000) l 2lCOS(3000)llO] 2lCOS(3000)J-
a".,.= a;". +a;" = lit,~en(3000) J +: ~en(3 00°) = ~ + U
r
~en(3 00°) co>
q.7)
Substituindo q.6), q.7) e q.8) em q.5);
r.Q 50)2 cos(3000)
200
(150)2aD = _(0,6)2(200)sen(1200)+--sen(3000)200
/1,2(150)Sen(300)
L
q.9)
J
127
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Ex. 2 - Um disco de raio r gira com velocidade angular constante W2 em torno do
eixo preso na extremidade da barra horizontal em forma de garfo, que gira com
velocidade angular constante W1, conforme mostra a Fig. 4.3. Determine a
aceleração de P.
128
U
:,i; 0-·:'",t ...•
Figura 4.3 - Disco girante
Definindo-se o sistema de referência fixo OXYZ e o sistema rotativo Oxyz, que gira
com velocidade angular O = W1, e usando -se as equações 4.7 e 4.9, tem-se:
Vp = Vp' + VP/F t.1 )
onde:
l
úJ'll' COSCB)110 1VI" = W1 1\OP = O 1\ rsenCB) = O
O O rúJ,sen(B) t.2)
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
t.3)
Substituindo t.2) e t.3) em t.1), tem-se:
[
O l i-rOJ2senCB)lf-rúJ2senCB)-
Vi' = O I+ I r0)2 cos(B) = rO)2 cosCB)
Lrcu}sen(tJ) J L° J rOJ}sen(B) t.4)
ao = ao, + aOIF + ac t.5)
onde:
[
OJ [r cos( B)l [eu} 1 [0 l [0 l
ai" = O 1\ rSen(B)J+ ° 1\ O = -rúJ}2Sen(B)j t.6)
O O ° rúJ}senCB)J °
t.8)
129
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Substituindo t.6), t.7) e t.8) em t.5);
Ex. 3 - O rator do motor elétrico mostrado na Fig. 4.4 gira à razão constante
W1 = 3600 rpm. Determinar a aceleração angular do rotor quando o motor está
girando em torno do eixo Y com velocidade angular constante de 5 rpm no sentido
horário quando visto do sentido positivo do eixo Y.
Yy
Figura 4.4 - Motor elétrico
130
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Definindo-se o sistema de referência fixo OXYZ e o sistema rotativo Oxyz, que gira
com velocidade angular n = W2, e usando-se a equação 4.5, considerando Q = W1
tem-se:
o
O
3600( 27r )5( 27r )
60 60
4.3 SISTEMA DE REFERÊNCIA NO MOVIMENTO GERAL
Considere-se um sistema fixo de referência OXYZ e um sistema Axyz que se
desloca de maneira conhecida, embora arbitrária, em relação a OXYZ (Fig. 4.5).
y Y'
trajetória de P em
relação ao sistema
AX}fl
~~ ~Xt
I
/
jz
Figura 4.5 - Sistemas de referência no movimento tridimensional
_._---~
131
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eixos móveis e o segundo termo, a aceleração ap/A de P em relação ao sistema
AX'Y'Z'. Esta aceleração pode ser obtida de 4.8), substituindo-se r por rp/A.
Escrevemos, portanto:
As fórmulas 4.13) e 4.15) possibilitam a determinação da velocidade e da
aceleração de um dado ponto material em relação a um sistema fixo de referência,
quando se conhece o movimento do ponto material em relação a um sistema móvel.
Essas fórmulas tornam-se mais significativas e mais fáceis de serem memorizadas,
se nos lembrarmos de que a soma dos dois primeiros termos em 4.13) representa a
velocidade do ponto P' do sistema móvel que coincide com P no instante
considerado, e de que a soma dos três primeiros termos em 4.15) representa a
aceleração do mesmo ponto. Então, as relações 4.7) e 4.9) da seção anterior são
também validas para o caso de um sistema de referência em movimento geral, e
escrevemos:
Vp = Vp' + VP/F 4.16)
onde: Vp' = VA + O fi rp/A 4.17)
ap = ap' + ap/F + ac 4.18)
onde: ap' = a, + n fi rp/A + O fi (O fi rp/A) 4.19)
Ex. 4 - Faça a análise cinemática do mecanismo mostrado na Fig. 4.6, na posição
mostrada, considerando W1 constante e W2 constante e determine a velocidade e a
aceleração de B.
Definindo-se o sistema de referência fixo OXYZ, o sistema em translação Ax'y'z' e o
sistema rotativo Axyz, que gira com velocidade angular O = W1, e usando -se as
equações 4.16 à 4.19, tem-se:
Vs = VS' + VS/F n.1)
133
--,
l
V\' )
•
onde:
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
y t•••' y'y
~O.406m~
1
1
I
::-,: ~x
m
--x'x
Figura 4.6 - Mecanismo com disco de dupla rotação
De n.2);
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
[
O 1 [0,127J [0 1VHF =W2 AAB= O A ° == 0,1270)2
0)2 J ° ° nA)
Substituindo n.3) e nA) em n.1), tem-se:
onde:
[°1 [0,533 - ro Iro - r- 0,533(0,21'ali' =W1 A(OA+AB)+w1 A VB, = ° A -0,254 + (o, A ° = °° ° ° - 0,533cu, °-'
n.7)
135
Cinemática,e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
n.9)
Substiiuindo n.?), n.8) e n.9) em n.6);
- r- 0,533w,2j r- 0,127Wij _ r- 0,533w,2 - 0,127Wij
ali - O + O _ O
O O O
Ex. 5 - Faça a análise cinemática do mecanismo mostrado na Fig. 4.7, na posição
mostrada, considerando W1 constante, W2 e 02 e determine a velocidade e a
aceleração de C.
y'y ,
Figura 4.7 - Braço robótico de 2 gdl
135
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
Definindo-se o sistema de referência fixo AX.YZ, o sistema em translação Bx'y'z' e o
sistema rotativo Bxyz, que gira com velocidade angular n = W1, e usando -se as
equações 4.16 à 4.19, tem-se:
Vc = VC' + VCíF p.1)
onde:
VC' = Vs + W1 lI. Be p.2)
De p.2);
p.3)
pA)
Substituindo p.3) e pA) em p.1), tem-se:
p.5)
aC = ac· + aC/F + aco p.6)
onde:
137
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
p.7)
p.8)
p.9)
Substituindo p.7), p.8) e p.9) em p.6);
138
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
r
-350Sen(300)CX? -350cos(300)cv; j
a.. = - 350sen(300)cv]2 + 350 cos(300)cx2 - 350sen(300)cvi
2(350) cos(300)cv] cv2
p.10)
Ex. 6 - A barra Be de 420 mm de comprimento, do mecanismo cursar-manivela
mostrado na Fig. 4.8, está conectada por juntas bola-soquete ao braço rotativo AB e
ao cursor e. O braço AB de 60 mm de comprimento gira horizontalmente com
te a e angular = 20 rad/s. Deter ine a velocidade do cursor e, qua
e
Definindo-se o sistema de referência fixo OXYZ, o sistema em translação Bx'y'z' e o
sistema rotativo Bxyz,que gira com velocidade angular O = W1 (velocidade angular
da barra Be), e usando -se a equações 4.16 e 4.17, tem-se:
vc = VC' + VCIF r.1)
onde:
vc = VB + W1 A Be r.2)
Determinação de Be.
Sabe-se que:
OB+ se = oe e Be = oe - 08 s.1)
139
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
Da Fig. 4.8;
08 = 60i + 80 j OC = xci + 100ke s.2)
Substituindo s.2) em s.1);
BC = (xc - 60)i - 80 j + 100k s.3)
ly
z
Figura 4.8 - Mecanismo cursar-manivela
Mas,
IBC/ = 420, logo de s.3);
140
--
r.3)
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
Substituindo s.4) em s.3);
ec = (400)i - 80 j + 100k 5.5)
De r.2);
r.4)
Substituindo r.3) e r.4) em rt), tem-se:
Por outro lado, sabe-se que:
v, =[tJ r.6)
Iguaiando r.5) e r.6);
r.5)
141
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
142
Separando as componentes dos eixos X, Y e Z, de r.7), tem-se:
Y : 400úJl: - 100úJIX = O r.9)
De r.9) e de r.10);
e 8 6úJ = --úJ --úJ
Iy 40 Ix 40 o
r.11 )
Substituindo r.11) em r.8), obtém-se:
60 60
V. = --úJ = --(20) = -300 mm/s r.12)r: 4 o 4
E,
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
Q - velocidade angular do sistema girante, Gx'y'z'
Retornando ao princípio de D'Alembert representado pelas equações 5.1) e 5.2) e
substituindo 5.21) em 5.2);
17 _
I r: = Rxy= = Lu"= = mã(i", 5.22)
i=J . ..
5.24)
- -I Mu", = fIG", = »-: +Q x Hein= 5.23)
Se os eixos x', y'e z', são os eixos principais de inércia do corpo, então, Ix'y'= Ix'z'=
ly'z=Oe de 5.15), 5.16) e 5.17);
E substituindo 5.24) em 5.18);
5.25)
Derivando 5.25);
5.26)
Ex. 1 - Um disco fino de massa m = 3,63 kg (Figura 5.3) gira com velocidade
angular constante W2 = 12,0 rad/s, em relação ao braço OA, que, por sua vez, gira
uniformemente com velocidade angular W1 = 4,0 rad/s, em torno do eixo y.
Determine o momento angular do disco em relação ao seu centro A
Solução: Considere o sistema de referência Axyzfixo em A, e paralelo ao sistema fixo
Oxyz. Sabe-se que os eixos xyz correspondem aos eixos principais de inércia do
disco e desta forma, tem-se:
148
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
___ ~ ,l..----;--- x
Figura 5.3 - Disco fino
FI4r", = Hxz + Hy] + Hzk -
IxOJ).1 + IyOJy] + IzOJzk
a.1 )
onde:
Ix = Iy = 1/4(mr) e Iz = 1/2(mr)
ÕJ = OJxZ + OJy] + OJ)~
0"[ + 4.0] + 12.0k
a.2)
a.3)
Substituindo a.2) e a.3) em a.1);
- 1 2 -HA = -(3.63)(0.127) .(O)i +
.\}Z 4
1 2-"4(3.63)(0.127) .(4.0)j +
~(3.63)(0.127)2 .(12.0)k =>2 a.4)
FIA = 0.059 J + 0.35k
.\}"=
149
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
Ex. 2 - Uma haste homogênea delgada AS (Figura 5.4) de massa m e comprimento
2b está soldada em seu ponto médio a um eixo vertical GD. Sabendo-se que o eixo
gira com velocidade angular constante w, determine o binário exercido pelo eixo
sobre a haste AS.
Solução - Fixando os eixos x, y', z na haste como mostra a Figura 5.4, e
observando-se que estes são os eixos principais de inércia da haste tem-se:
Figura 5.4 - Haste homogênea
H Gx,y'z' = Hx'l' +Hy']' +Hz,f' b.1)
Ix'OJx'l' + Iy'OJy']' + Iz,OJz,f'
mas,
150
· _...----------------------------------------------
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
OJx' = -úJsenf3; OJy' = OJCOS 13; úJz' = O
b.3)
Substituindo b.2) e b.3) em b.1);
". r ;y'
wt /ti3
/
x.X
Z,Z,Z' x'
Figura 5.5 - Sistemas de Referencias
- 1 2 ~,
H Gt,y':' ="3mb cocos f3 j
b.4)
Em relação ao sistema Gxyz;
= H G ' "sen f3[ +H G ' , , cos 13J
xy: xy.:
b.5)
x
X'
Figura 5.6 - Momento Angular em relação ao sistema Gxyz
151
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riu!
Substituindo bA) em b.5);
I? -:H ~ =-mb-OJcosfJsenfJz +
lJ.\\,= 3
I? -;- mb' OJcos fJ cos fJ}
3
b.6)
b.9)
Como Gxyz gira com Q = OJJ, tem-se:
=: -: _ b.7)
H =H +iiJxH
Gnz GXF Gxrz
onde: Gxyz é um sistema de referencia fixo paralelo a Gxyz. O sistema Gxyz gira com
a haste, logo usando b.6);
- - I? -He =He =-mb-OJcosf3senf3i
'XJ'Z 'X.I:: 3
I? -+-mb-OJcos f3 cos f3j
3
b.8)
Derivando b.6) em relação ao tempo, considerando w constante;
Substituindo b.8) e b.9) em b.7), com Q = OJ], tem-se:
- 1 2 -He = O + oi] X (- mb to cos flsenfli
);'YZ 3
1 2 -+-mb mcos fJ cos f3 j) =>
3
--; 122 -
H G\TZ = -'3mb to cos psenPk =>
152
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
H"VXYZ
1 7 2 -
= --mb~(]) sen(2fJ)k
6
b.i0)
e,
b.11 )
1 2 2 ---n1b OJ sen(2fJ)k
6
Ex. 3 - Determine a derivada fi AXYZ' do momento angular H AX\~' do disco do ex. 1
(Figura 5.3).
Solução: Considerando o sistema Axyz' (para!elo Axyz) girando com 0= úJ\j e a
equação 5.21) tem-se:
c.1)
H Ax'Y'=' = Ix,ax,t + Iy.ay,J' + Iz,az'k'
=0,' a.=a.=a.=Ox y z
c.2)
Substituindo c.2), 0= úJ\j = 4j e aA) em c. 1);
H A = 0+ 4.0J x (0.059 J + 0.35k)
xy=
153
=> HA = 1.41
.I)'Z
(4.3)
c.3)
Ex. 4 - Determine o sistema força-binário representativo da reação dinâmica no
suporte O, do disco do ex. 1 (Figura 5.3).
.,..
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
Solução: Para determinar o sistema força-binário em 0, deve-se usar o princípio de
D'Alembert abaixo, alterando-se as equações 5.22) e 5.23).
11 _
"2);'1", = »; = ir;,," ==.: 5.22)
1=1 . ..
- -
LMc;,,, = Hc;", = HGr.,.,. +Q X HGry, 5.23)
Então tem-se:
n ~
I- ~ .F =R =L =mZil,)": .>.yz A,},z .4'J"
i=l
d.1)
d.2)
ãAX.1'Z = âJl X âJl X DA + (Xl X DA =
4]x4]x(0.406z - 0.254]) =>
ã Axy:: = -6.5z
d.3)
Oe d.3);
mZiA~}-== -(3.63)6.57 = -23.67
dA)
Substituindo dA) em d.1);
~ F =R, =mQ =-23.6í
~ lx.vz xyz Ax)~
d.5)
e resolvendo d.2), com a substituição de c.3) e d.5);
154
Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - José A. Riul
I Mo,,< = fI AX)2 +DA X mã Axyz =
(0.4067 -0.254]) X (-23.67)+
1.47 = 1.47- 6.0k
d.6)
155