A RETA e O PLANO

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A RETA
EQUAÇÃO VETORIAL e EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
1º) No plano ( IR2 )
Consideremos a reta “r” que passa pelo ponto 
 e tem a direção do vetor não nulo 
.
 Estes elementos são suficientes para determinar a reta “r” e, portanto, também são suficientes para equacioná-la como veremos a seguir.
Seja 
 um ponto qualquer de “r”. ( 
 é ponto variável sobre “r”).
	
Por construção qualquer vetor 
é paralelo ao vetor 
. Assim, para cada ponto 
 o vetor 
 é proporcional ao vetor 
, onde o coeficiente de proporcionalidade é a variável real 
 chamada parâmetro. Assim,
ou
ou
ou
Equação Vetorial da Reta “r”
Daí,
Equações Paramétricas da Reta “r”
Por exemplo:
A reta “r” que passa pelo ponto 
 e tem a direção do vetor 
 tem equação vetorial 
	Atribuindo valores reais para o parâmetro 
 obtemos pontos de da reta “r”:
2º) No espaço ( IR3 ) 	
	O desenvolvimento é análogo mudando apenas o fato de que os pontos possuem uma 3ª coordenada e os vetores uma 3ª componente.
Consideremos a reta “r”determinada por:
o ponto 
o vetor não nulo 
Sendo 
um ponto qualquer (variável) de “r” temos:
ou 
ou
Equação Vetorial da Reta “r”
Daí, 
Equações Paramétricas da Reta “r”
( Reta Definida por Dois Pontos (
A reta definida por dois pontos A e B, tem a direção do vetor 
.
Exemplo:
A reta r, determinada pelos pontos A(1, -2, -3) e B(3, 1 , -4), tem a direção do vetor 
 = 
= (2, 3, -1)
E as equações paramétricas
 com direção do vetor 
 e passa pelo ponto A
Analogamente
 com direção do vetor 
 e passa pelo ponto B
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
Das equações paramétricas, supondo abc ( 0, vem:
 Logo 
Exemplo
As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, -5) e tem a direção do vetor 
= (2, 2, -1) são:
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA
Às equações simétricas da reta
Pode-se dar outra forma, isolando as variáveis y e z e expressando em função de x
Assim
 
 
Fazendo: Fazendo:
 
 
Vem: Vem:
 
Estas equações são as equações reduzidas da reta
RETAS PARALELAS AOS PALNOS E AOS EIXOS COORDENADOS
Se uma das componentes de 
 é nula 
Paralela ao plano e aos eixos
Se duas componentes de 
 são nulas
Paralela ao eixo do vetor 
ÂNGULO DE DUAS RETAS
Chama-se ângulo de duas retas (() r1 e r2o menor ângulo diretor de r1 e de um vetor diretor de r2 .
Observamos que ( ( [0 , 90º]
CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DUAS RETAS
A condição de paralelismos das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores diretores de r1 e r2.
 ou 
CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS
A condição de ortogonalidade das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores 
 e 
 que definem as direções dessas retas, isto é:
 . 
 = 0
CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS
As retas r1 e r2 são coplanares se os vetores 
 , 
 e 
 forem coplanares, isto é,
(
,
,
) = 0 
ou seja 
(
,
,
) = 
POSIÇÃO RELATIVAS DE DUAS RETAS
Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são
coplanares. Caso contrário são denominadas reversas.
As retas coplanares podem ser paralelas (distintas ou coincidentes) ou concorrentes.
Resumindo, duas retas r1 e r2 podem ser:
* Concorrentes : r1  r2 = {P}
Paralelas:

Distintas : r1 r2 Coincidentes : r1 r2
Reversas:
Isto é, não situadas no mesmo plano, nesse caso r1 r2  
O PLANO
Equação geral do plano
 Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano ( e 
um vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano ( pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor 
é ortogonal a 
. O ponto P pertence a ( se, e somente se : 
Tendo em vista que:
 
ou, ainda: 
Fazendo: 
�� EMBED Equation.3 
 
 
. 
Esta é a equação geral ou cartesiana do plano (.
Observações: a) Da forma com que definimos o plano (, vimos que ele fica perfeitamente identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal 
 não simultaneamente nulos. Qualquer vetor 
é também vetor normal ao plano.
 
 b) Sendo 
 um vetor ortogonal ao plano (, ele será ortogonal a qualquer vetor representado no plano. Em particular, se 
 são vetores não colineares, e paralelos ao plano, em virtude de 
 ser ortogonal, ao mesmo tempo, a 
, tem-se: 
.
 c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da equação geral 
 representam as componentes de um vetor normal ao plano. Por exemplo, se um plano ( é dado por: 
um de seus vetores normais é: 
 Este mesmo vetor 
 é também normal a qualquer plano paralelo a (.
 Assim, todos os infinitos planos paralelos a ( têm equação geral do tipo: 
na qual d é o elemento que diferencia um plano de outro. O valor de d está identificado quando se conhece um ponto do plano.
 
Determinação de um plano
Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de determinação de um plano nas quais estes dois elementos (ponto e vetor normal) ficam bem evidentes. Algumas destas formas serão a seguir apresentadas.
Assim, existe apenas um plano que:
passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores 
 não colineares.
Neste caso: 
.
Passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor 
 não colinear ao vetor 
. 
 
 Neste caso: 
passa por três pontos A, B e C não em linha reta.
Neste caso:
contém duas retas r1 e r2 concorrentes.
Neste caso: 
, sendo 
 vetores diretores de r1 e r2 ;
contém duas retas r1 e r2 paralelas.
Neste caso: 
sendo 
um vetor diretor de r1 (ou r2) e A1 ( r1 e A2 ( r2.
 
contém uma reta r e um ponto 
 Neste caso:
um vetor diretor de r e
 A( r.
Observação: Nos seis casos apresentados de determinação de planos, um vetor normal 
 sempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano. Estes dois vetores são chamados vetores-base do plano.
Exemplos:
 1º.) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto 
e é paralelo aos vetores 
 2º.) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos 
.
 3º.) Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta 
.
Planos Paralelos aos Eixos e aos Planos Coordenados
Casos Particulares
 A equação 
 na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano 
. Quando uma ou duas das componentes de 
 são nulas, ou quando d = 0, está-se em presença de casos particulares. 
i) Plano que passa pela origem
 Se o plano 
 passapela origem: 
 
	
Assim a equação: 
 representa a equação de um plano que passa pela origem.
ii) Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
 Se apenas uma das componentes do vetor 
é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano 
 é paralelo ao mesmo eixo:
se 
 e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: 
A figura mostra o plano de equação: 
 
 
 
 Com raciocínio análogo, vamos concluir que:
os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: 
os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: 
 
Observações:
 a) A equação 
, como vimos, representa no espaço 
 um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano 
, representa uma reta.
 b) Se na equação :
 representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z.
iii) Planos Paralelos aos Planos Coordenados
 Se duas das componentes do vetor normal 
 são nulas, 
 é colinear a um dos vetores 
,e, portanto, o plano 
 é paralelo ao plano dos outros dois vetores:
se 
 e a equação geral dos planos paralelos ao plano x0y é: 
Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y.
A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.
 A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma 
 na qual vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e 
 é um vetor normal ao plano.
 
 Com raciocínio análogo, vamos concluir que:
os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k;
os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k.
As figuras abaixo mostram os planos 
 respectivamente
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO
Seja A (x0 , y0, z0) um ponto doe um plano e 
dois vetores não colineares. Um ponto P (x, y, z) pertence ao plano que passa por A e é paralelo aos vetores 
se ,e somente se, existem números reais h e t tais que :
 
Escrevendo a equação em coordenadas, obtemos:
(x-x0 , y – y0 , z – z0 ) = h(a1 , b1 , c1 ) + t (a2 , b2 ,c2)
Donde:
Estas são as equações paramétricas do plano.
Ângulo entre dois planos
Sejam os planos
	Então, 
 e 
 são vetores normais a 
 e 
, respectivamente (figura abaixo)
	Chama-se ângulo de dois planos 
 e 
 o menor ângulo que um vetor normal de 
 forma com um vetor normal de 
. Sendo ( este ângulo, tem-se:
	
 ou 
 
Posições de Paralelismo e Perpendicularismo de dois planos
	Sejam os planos
 Então, 
 e 
	As condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos são as mesmas de seus respectivos vetores normais, isto é:
I)	Se 
Obs.: 
Se além das igualdades anteriores se tiver também
os planos 
 e 
 serão coincidentes porque, nesse caso, a equação de 
 é obtida de 
 mediante a multiplicação por um número, o que não altera a equação de 
.
II)	Se 
Posições de Paralelismo e Perpendicularismo entre reta e plano
	Para a reta r e o plano ( anteriores, temos:
Se 
O paralelismo de r e ( implica a ortogonalidade dos vetores 
Se 
O perpendicularismo de r e ( implica o paralelismo dos vetores 
.
Exemplo:	
Verificar se a reta 
 é perpendicular ao plano 
.
Condições para que uma reta esteja contida num plano
	Uma reta r esta contida num plano ( se:
O vetor diretor 
 de r é ortogonal ao vetor 
, normal ao plano (;
Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano.
Obs.:	Uma reta r está também contida num plano ( se dois pontos A e B pertencentes a r pertencem a esse plano.
Exemplo :	 Verificar se a reta 
 		
está contida no plano 
.
Solução:
	(a) O ponto A (2, 1, -3) pertence à reta r, verificaremos se 
:
Logo A (2, 1, -3) também pertence ao plano (.
Mas só essa condição não é suficiente para garantir que 
.
Verificar se o 
 é ortogonal a 
 (vetor normal ao plano ().
. 
 Logo, 
 é ortogonal a 
;
Conclusão: Como 
 e 
, e 
 é ortogonal a 
, então podemos afirmar que a reta r pertence ao plano (.
Intersecção de dois Planos
	A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a equação que define esta reta.
	Sejam 
 e 
 planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de 
 e 
 resolveremos o sistema composto por suas equações.
Exemplo:	Determinar a equação da reta intersecção dos planos 
 
 e 
.
Solução:	Montamos o seguinte sistema:
O sistema acima é indeterminado.
 Isso é bastante claro quando entendemos que a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos.
	Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos de variável livre.
Como fazer então:
Agora substituímos 
 na primeira ou na segunda equação do primeiro sistema.
Substituindo 
 na equação 
, teremos:
Agora isolando z, teremos:
As equações reduzidas da reta r intersecção dos planos 
 e 
 serão:
Interseção de reta e plano
	A intersecção entre uma reta r e um plano ( é um ponto, que chamaremos de I. Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equações REDUZIDAS da reta r e pela equação do plano (.
Exemplo:	Determinar o ponto de intersecção da reta 
 com o plano 
.
1º passo:	obter as equações reduzidas da reta r.
Neste exemplo faremos y e z em função de x.
	 e	
Logo as equações reduzidas de r são:
Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e (, então suas coordenadas devem verificar as equações do sistema formado pelas equações de r e de (:
Resolve-se este sistema substituindo 
 e 
 na equação 
.
Para 
		
		e	
			
			
Logo I (-2, -1, -10)
Interseção de Plano com os eixos e Planos Coordenados
 Seja o plano 
Como os pontos dos eixos são da forma (x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z), basta fazer na equação do plano duas variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira, e assim obter as interseções com os eixos. Assim:
Se y = z = 0, 
 e 
 é a interseção do plano 
 com o eixo dos x.
Se x = z = 0, 
 e 
 é a interseção do plano 
 com o eixo dos y.
Se x = y = 0, 
 e 
 é a interseção do 
plano 
 com o eixo dos z.
Como as equações dos planos coordenados são x = 0, y= 0 e z = 0, basta fazer, na equação do plano, uma variável igual a zero para se encontrar uma equação nas outras duas variáveis e, assim, obter as interseções com os planos coordenados. Então:
Se 
, a reta 
 é a interseção de ( com o plano yOz.
Se 
, a reta 
 é a interseção de ( com o plano xOz.
Se 
, a reta 
 é a interseção de ( com o plano xOy.
r
0
X
Y
� EMBED Equation.3 ���
A
P
P
P
P
A
0
X
Y
r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
 � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
r
A
0Y
X
Z
 � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
 � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
A2
A1
v2
r2
r1
v1
A B 
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
z
y
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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