Bons exemplos Geometria Vetorial

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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 
 
Prof. Mário Selhorst 
e-mail: mario.selhorst@unisul.br 
 
 
115
 
4ª Unidade: Geometria Analítica no Espaço 
 
1. Equações da reta no 3IR 
 
 
Sabemos que dois pontos definem uma reta r . Com apenas um dos pontos também é possível definir a 
posição de uma reta, desde que tenhamos a direção precisa da mesma. Se utilizarmos um vetor e um 
ponto teremos então como definir exatamente a posição de uma reta. 
Observe a figura 4.2, nela definimos os pontos ),,( 111 zyxA conhecido e pertencente a reta r e, 
),,( zyxB um ponto qualquer pertencente a mesma reta r . O vetor ),,( cbav =r é um vetor paralelo a 
reta r e é o vetor diretor da reta. 
 
 
Figura 4.2: Reta r e vetor paralelo vr 
 
Como o vetor vr é paralelo a reta r , também é paralelo ao vetor AB , marcado sobre a reta r , temos 
que vr // AB e se m é uma constante, então vmAB r= e: 
 
vmABvmAB rr +=⇒=− 
 
A expressão vmAB r+= é chamada de equação vetorial da reta r . 
 
 Substituindo os valores dos pontos ),,( 111 zyxA e ),,( zyxB , temos: 
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116
),,(),,(
),,(),,(),,(
),,(),,(),,(
),,(),,(),,(
111
111
111
111
zmcmbymaxzyx
mcmbmazyxzyx
cbamzyxzyx
cbamzyxzyx
+++=
+=
+=
=−
 
 
Podemos escrever que: 





+=
+=
+=
cmzz
bmyy
amxx
1
1
1
, que correspondem as equações paramétricas da reta r . 
 
Podemos continuar o processo, isolando o m em cada uma das sentenças, da seguinte forma: 
Da expressão 
a
xx
mxxmamaxx 111
−
=⇒−=⇒+= . 
Da expressão 
b
yy
myymbmbyy 111
−
=⇒−=⇒+= 
Da expressão 
c
zz
mzzmcmczz 111
−
=⇒−=⇒+= , como todos o m ficaram isolados podemos 
compara-los, fazendo: 
 
c
zz
b
yy
a
xx 111 −
=
−
=
−
. Esta é a equação simétrica da reta r . 
 
É possível ainda uma outra representação. Na igualdade que podemos obter: 
 
b
yy
a
xx 11 −
=
−
 e 
c
zz
a
xx 11 −
=
−
, vamos escrever o y como valor dependente de x . 
11
1
1
)(
yx
a
b
x
a
by
a
xxb
yy +−=⇒
−
=− 
 
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Fazendo 
a
b
m =1 e 111 yx
a
b
n +−= , teremos 11 nxmy += 
Vamos agora isolar z tendo como variável independente também o x : 
a
xx
c
zz 11 −
=
−
 
11
1
1
)(
zx
a
c
x
a
c
z
a
xxc
zz +−=⇒
−
=− 
Fazendo 
a
cp =1 e 111 zx
a
cq +−= , teremos 11 qxpz += . 
O par de equações 



+=
+=
11
11
qxpz
nxmy
, são chamadas de equações reduzidas da reta r . 
 
Estas equações também podem ter como variável independente o y ou o z , e poderíamos também 
escrever 



+=
+=
22
22
qypz
nymx
 e 



+=
+=
33
33
qzpy
nzmx
. 
 
 
Exemplo1: 
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos )3,2,1(−A e )2,2,0( −B . 
Resolvendo: 
A equação paramétrica da reta é representada por 





+=
+=
+=
cmzz
bmyy
amxx
1
1
1
, basta acharmos o vetor diretor da reta 
que é indicado por ),,( cbav =r , e substituirmos na equação. 
 
Como temos dois pontos vamos construir o vetor: 
)5,0,1()3,2,1()2,2,0( −=−−−=−== ABABvr , logo substituindo vr e um dos pontos, escolhemos o 
ponto )3,2,1(−A , temos a equação 





−=
=
+−=
⇒





−=
+=
+−=
mz
y
mx
mz
my
mx
53
2
1
53
02
11
. 
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Exemplo2 
Determinar as equações reduzidas da reta, com variável independente y, que passa pelo ponto 
)4,2,3( −A e tem a direção do vetor kji
rrr
542 −+ . 
 
Resolução: Para determinar as equações reduzidas da reta precisamos montar a equação simétrica da 
reta 
c
zz
b
yy
a
xx 111 −
=
−
=
−
. 
Como já temos o vetor diretor e um ponto, escrevemos: 
5
4
4
2
2
3
−
−
=
+
=
− zyx
 
Agora vamos separar as equações da seguinte forma 
4
2
2
3 +
=
− yx
 e 
4
2
5
4 +
=
−
− yz
, assim, isolando o 
x : 
4
2
1)2(2)3(4
4
2
2
3
+=⇒+=−⇒
+
=
− yxyxyx 
Isolando y . 
4
6
4
5)2(5)4(4
4
2
5
4
+−=⇒+−=−⇒
+
=
−
− yzyzyz 
Logo, as equações reduzidas da reta são: 





+−=
+=
4
6
4
5
4
2
1
yz
yx
 
 
Exemplo 3 
Citar um ponto e o vetor diretor das equações das retas: 
a) 



+=
−=
54
32
xz
xy
 b) 





−=
=
+=
mz
y
mx
4
5
52
 c) zyx == 
d) 
5
4
4
23
4
2
−
−
=
+
=
− zyx
 e) 



=
=
5
4
y
x
 f) 




−
−
=
−
=
5
4
3
2
4
zy
x
 
 
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Resolvendo: 
a) 



+=
−=
54
32
xz
xy
 
Para “citarmos” um ponto basta atribuirmos um valor aleatório para x , por exemplo 1=x e substituir 
na equação. 



=+=+=
−=−=−=
95451.4
13231.2
z
y
 
Logo, um ponto da reta é )9,1,1( −A . 
 
Para acharmos o vetor diretor podemos proceder de duas maneiras: 
(i) Podemos achar outro ponto dando outro valor para x , calculamos outro ponto da reta e com estes 
determinamos o vetor diretor. 
Seja 2−=x : 



−=+−=+−=
−=−−=−−=
3585)2.(4
7343)2.(2
z
y
 
Assim, outro ponto da reta é )3,7,2( −−−B . Calculando o vetor diretor: 
)12,6,3()9,1,1()3,7,2( −−−=−−−−−=−== ABABv . 
Logo )12,6,3( −−−=vr 
(ii) Podemos também determinar o vetor diretor partindo das equações dadas, que estão na forma 
reduzida, retornando para a forma simétrica. 
Como 



+=
−=
54
32
xz
xy
, isolamos o x nas duas equações, temos: 
2
33232 +=⇒+=⇒−= yxyxxy 
4
55454 −=⇒−=⇒+= zxzxxz 
Logo 
4
5
2
3 −
=
+
=
zy
x e como o vetor diretor está localizado no denominador da equação na forma 
simétrica, temos que )4,2,1(=vr . 
 
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120
Observe que o vetor no primeiro modo é ( 3− ) vezes o vetor do segundo modo, o que não representa 
nenhum problema, pois estamos tratando com vetores diretores de retas. 
b) 





−=
=
+=
mz
y
mx
4
5
52
 
Agora temos as equações na forma paramétrica: 





+=
+=
+=
mczz
mbyy
maxx
1
1
1
, onde ),,( 111 zyxA e ),,( cbav =
r
. 
Comparando as equações concluímos que um ponto da reta é )0,5,2(A e o vetor diretor é )4,0,5( −=vr . 
 
c) zyx == 
Neste caso temos a equação na forma simétrica: 
c
zz
b
yy
a
xx 111 −
=
−
=
−
, onde ),,( 111 zyxA e 
),,( cbav =r . 
Comparando as equações encontramos o ponto )0,0,0(A e o vetor )1,1,1(=vr . 
 
d) 
5
4
4
23
4
2
−
−
=
+
=
− zyx
 
A forma da equação sugere a forma simétrica 
c
zz
b
yy
a
xx 111 −
=
−
=
−
, ),,( 111 zyxA e ),,( cbav =
r
, no 
entanto precisamos inicialmente arrumar a equação: 
5
4
4
23
4
2
−
−
=
+
=
− zyx
 
Dividimos o membro da primeira parte por 1− e dasegunda por 3, temos: 
5
4
3
4
3
2
4
2
5
4
3
4
3
23
1
4
1
2
−
−
=
+
=
−
−
−
−
=
+
=
−
−
−
z
y
x
z
yx
 
Agora comparando as equações, temos )4,
3
2
,2( −A e o vetor )5,
3
4
,4( −−=vr . 
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121
e) 



=
=
5
4
y
x
 
Note que neste caso trata-se de uma equação reduzida com variável independente z. 
 
Conforme visto no exemplo (a), temos duas maneiras de achar o ponto e o vetor diretor: 
(i) Atribuímos dois valores arbitrários ao z , sejam, 2=z e 5=z , e como x e y são constantes, os 
pontos serão )2,5,4(A e )5,5,4(B . 
O vetor diretor )3,0,0()25,55,44( =−−−=−== ABABvr 
ii) Pelo segundo modo, consideramos que as equações reduzidas da reta originaram das equações 
simétricas. Fazemos o procedimento inverso e transformamos a equações reduzidas em simétricas: 
 
Na equação 



=
=
5
4
y
x
, isolando o z : 
0
440044 −=⇒−=⇒+=⇒= xzxzzxx 
0
550055 −=⇒−=⇒+=⇒= yzyzzyy 
Logo zyx =−=−
0
5
0
4
 e no denominador temos o vetor diretor )1,0,0(=vr . 
Observe que o vetor encontrado no primeiro modo é (3) vezes o vetor do segundo modo, no entanto, 
eles têm a mesma direção e juntamente com o ponto definem a reta. 
 
f) 




−
−
=
−
=
5
4
3
2
4
zy
x
 
Neste caso, a primeira parte 4=x , esta na forma paramétrica, ou seja, mx 04 += , e a segunda 
5
4
3
2
−
−
=
− zy
, esta na forma simétrica. 
Comparando então as duas formas, podemos escrever que o ponto é )4,2,4(A e o vetor diretor é 
)5,3,0( −=vr . 
 
 
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122
Exemplo 4 
Represente graficamente as seguintes retas: 
a) 



=
+=
2
4
y
zx
 
Resolvendo: 
Para que possamos traçar uma reta precisamos de dois pontos. Atribuindo-se dois valores arbitrários 
para z , que é a variável independente, temos: 
Se 0=z , então 404 =+=x e como 2=y é 
constante, um ponto da reta é )0,2,4(A . 
Se 2=z , então 624 =+=x e como 2=y é fixo o 
segundo é )2,2,6(B . 
 
 Representando, na figura 4.3: 
 
 
b) 





+=
−−=
+=
mz
my
mx
24
23
32
 
 
Como se trata de equações paramétricas 
da reta, podemos extrair um ponto da 
própria equação, ou seja, )4,3,2( −A . O 
outro ponto obtemos atribuindo um valor 
arbitrário para o parâmetro m . 
Assim, para 1=m , temos: 





=+=+=
−=−−=−−=
=+=+=
6241.24
5231.23
5321.32
z
y
x
, 
logo )6,5,5( −B . 
Obtidos os pontos )4,3,2( −A e )6,5,5( −B , desenhamos a reta, como na figura 4.4 acima: 
 
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Ângulo entre duas retas 
Duas retas podem ser comparadas através da inclinação de uma em relação a outra, ou seja, 
determinando o ângulo formado por elas. Na figura 4.5 esboçamos duas retas r e s , os vetores 
diretores ur e vr que as representam e o ângulo α formado por elas. 
 
Figura 4.5: Ângulo entre retas 
 
Considerando os vetores diretores das retas r e s , e aplicando a relação que determina o ângulo entre 
dois vetores, 
vu
vu
rr
rr
.
cos
•
=α , com uma pequena adaptação, ou seja, acrescentando o módulo no 
numerador, uma vez que o ângulo entre duas retas não é superior a 090 , pois só medimos o menor 
ângulo entre elas, temos: 
vu
vu
rr
rr
.
cos
•
=α
, onde 0900 ≤≤ α . 
 
Exemplo 1 
Calcular o ângulo entre a reta r que passa pelos pontos )3,2,5(−A e )5,4,0( −B , e a reta s que passa 
pelos pontos )4,3,1( −−C e )1,2,3( −−−D . 
 
Resolvendo: 
Como 
vu
vu
rr
rr
.
cos
•
=α , vamos inicialmente encontrar os vetores diretores ur e vr : 
)2,6,5()3,2,5()5,4,0( −=−−−=−== ABABur 
)5,1,2()4,3,1()1,2,3( −−=−−−−−−=−== CDDCv rr 
 
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Calculando o produto escalar: 
1066102.31).6()2.(5 −=+−−=+−+−=• vu rr 
Determinando também o módulo dos vetores ur e vr : 
65436252)6(5 222 =++=+−+=ur 
302514)5(1)2( 222 =++=−++−=vr 
E utilizando a expressão 
vu
vu
rr
rr
.
cos
•
=α , temos que: 
( )
09,76
2264,0arccos2264,0cos
1950
10
cos
30.65
10
cos
≅
≅⇒≅
=⇒
−
=
α
αα
αα
 
 
Condição de paralelismo entre duas retas 
Quando as duas retas são paralelas, como na figura 4.6, podemos deduzir que o vetor diretor ur 
pertencente a reta r e o vetor diretor vr pertencente a reta sr , também são paralelos. Por isso, podemos 
usar a condição de paralelismo entre dois vetores, ou seja, se ),,( 111 cbau =r e ),,( 222 cbav =r , então 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
==
. 
 
Figura 4.6: Retas paralelas 
 
Exemplo1 
Vamos verificar se as retas )4,3,1()4,3,2(),,(: −+−= mzyxr e 





+−=
−−=
+−=
mz
my
mx
s
82
65
24
: são paralelas. 
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125
Resolvendo: Conforme definição, a reta r esta na forma vetorial, ou seja, 
),,(),,(),,( 111 cbamzyxzyx += . Por comparação, o vetor diretor da reta r é )4,3,1( −=u
r
. 
A reta s esta na forma paramétrica, ou seja, na forma 





+=
+=
+=
cmzz
bmyy
amxx
1
1
1
. Comparando com a reta dada 
concluímos que )8,6,2( −=vr . 
Aplicando a condição de paralelismo 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
== , verificamos que 
8
4
6
3
2
1
=
−
−
= é verdadeiro, 
simplificando todas as frações obtemos a constante 
2
1
. Logo as retas r e s são paralelas. 
 
Condição de ortogonalidade ou perpendicularidade 
 
Se duas retas r e s são ortogonais, como na figura 4.7, os seus vetores diretores também são 
ortogonais. Para mostrarmos a ortogonalidade entre duas retas, basta aplicarmos a condição de 
ortogonalidade entre dois vetores, ou seja, 0=• vu
rr
. 
 
Figura 4.7: Retas ortogonais 
 
Exemplo1 
Verificar se a reta 




−
=
+
=
6
3
4
2
3
: zy
x
r é ortogonal a reta 



+=
−=
zy
x
s
32
2
: . 
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126
A reta r é apresentada na forma paramétrica e simétrica. Para encontrar o vetor diretor comparamos a 
parte do 3=x , com a forma paramétrica mxamxx 031 +=⇒+= , logo a componente 0=a . 
A segunda parte 
6
3
4
2 −
=
+ zy
, e comparada a 
c
zz
b
yy 11 −
=
−
, onde identificamos as componentes 
4=b e 6=c . Assim, o vetor diretor de r é )6,4,0(=vr . 
No caso da reta s , a equação está na forma reduzida com variável independente z , então vamos 
passá-la para a forma simétrica isolando o z , ou seja, 
13
2
0
2 zyx
=
−
=
+
, onde identificamos o vetor 
diretor de s como )1,3,0(=ur . 
Pela condição de ortogonalidade de dois vetores 0=• vu rr . Efetuando o produto, temos: 
01861201.63.40.0)1,3,0()6,4,0( ≠=++=++=• , logo as retas r e s não são ortogonais. 
 
Condição para duas retas sejam coplanares 
Duas retas no espaço podem estar situadas num mesmo plano ou em planos diferentes. Observe as 
figuras 4.8(a) e4.8(b): 
 
Figura 4.8: Retas de um plano 
Na figura 4.8.(a), as retas são paralelas, ou seja, são coplanares. Na figura 4.8.(b), as retas são 
concorrentes, mas como garantir que estão situadas no mesmo plano? 
Para isso vamos trabalhar com três vetores. Dois vetores já conhecidos, os vetores diretores das retas 
r e s , e o terceiro obtido a partir de um ponto pertencente a reta r e de outro ponto pertencente a reta 
s . Se estes três vetores forem coplanares, as retas que os suportam também são coplanares. A 
verificação é feita através da condição de coplanariedade entre três vetores, ou seja , o produto misto 
0)( =ו wvu rrr
. 
 
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127
Exemplo1 
As retas 
5
2
4
3
2
2
:
+
=
−
=
+ zyx
r e 





+=
−=
+=
mz
my
mx
s
45
43
32
: são coplanares? 
Como a reta r está na forma simétrica, o vetor diretor está presente no denominador, assim, 
)5,4,2(=ur . A reta s está na forma paramétrica o vetor diretor é dado pelos coeficientes do parâmetro 
m , então )4,4,3( −=vr . Precisamos de um terceiro vetor que será formado pelos pontos pertencente a 
reta r e s . Na reta r o ponto pode ser )2,3,2( −−A e da reta s o ponto )5,3,2(B 
Se as retas são coplanares, 0)( =ו vuBA rrr . 
Assim: 
)7,0,4()25,33,22( =+−+=−= ABBA r , e calculando: 
041401440808456064
443
542
704
)( ≠=−=++−−+=
−
=ו vuBA rr
r
, logo as retas não são 
coplanares. 
 
 
 
 
2. Equação geral do plano 
 
Vamos partir do modelo representado na figura 4.9: um plano contendo um ponto ),,( 111 zyxA , 
ortogonal a um vetor kcjbian
rrrr
++= , chamado de vetor normal ao plano. 
 
Figura 4.9: Plano com vetor ortogonal 
 
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128
O ponto ),,( zyxB representa qualquer ponto pertencente ao plano, enquanto que A representa um 
ponto conhecido. Com o ponto A e o ponto B , podemos montar um vetor ortogonal ao vetor nr . Pela 
condição de ortogonalidade entre dois vetores, o produto escalar entre eles é igual à zero, isto é: 
0=• nBA r
v
. 
Então: 
0
0
0)()()(
0),,(),,(
0)(
111
111
111
111
=−−−++
=−+−+−
=−+−+−
=•−−−
=•−
czbyaxczbyax
czczbybyaxax
zzcyybxxa
cbazzyyxx
nAB r
 
Como ),,( 111 zyxA é um ponto conhecido podemos isolar e propor que: 
 dczbyax =−−− 111 , e assim: 
0=+++ dczbyax , que é a chamada equação geral do plano. 
 
Exemplo 1 
Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto )4,3,2(−A e tem como vetor normal 
)5,2,3(−=nr . 
Resolvendo: 
Como 0=+++ dczbyax , substituindo o vetor nr na equação temos 0523 =+++− dzyx , para 
calcularmos o valor de d , basta substituirmos x, y e z pelas coordenadas do ponto A . 
 
04.53.2)2.(3 =+++−− d 
2066 −−−=d 
32−=d 
Logo a equação geral do plano é 032523 =−++− zyx 
 
Exemplo 2 
Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos )2,1,1(−A , )2,3,2(=B e )3,3,0( −C . 
Conforme figura 4.10.(a) representamos os três pontos. 
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129
 
Figura 4.10: Pontos e vetores no plano 
Formamos os vetores BA
r
e CA
r
, conforme figura 4.10.(b), e com estes determinamos o vetor 
CABAn
rrr
×= . (Produto vetorial resulta num vetor perpendicular) 
Assim: 
)0,2,3()22,13,12( =−−+=−= ABBA r e )1,4,1()23,13,10( −=−−−+=−= ACCA
r
 
Então o vetor 
141
023
−
=
kji
n
rrr
r
. 
Resolvendo pela regra de Sarrus: 
kjinjikkjin
rrrrrrrrrrr 14323.1.0.4.2.1.3.4.0.1.2.1 −−=⇒−+−−+= , 
 
Na equação geral do plano 0=+++ dczbyax , substituímos o vetor nr . 
Assim 01432 =+−− dzyx e, para acharmos o valor de d escolhemos qualquer um dos três pontos, 
neste exemplo escolhemos o ponto )2,1,1(−A . 
Substituindo, 330283202.141.3)1.(2 =⇒=+−−−⇒=+−−− ddd . 
Logo a equação geral do plano é 0331432 =+−− zyx . 
 
Observação: Poderíamos também determinar a equação do plano pela condição de coplanariedade de 
vetores. Considerando os três pontos conhecidos, A, B e C, representado um quarto ponto genérico 
),,( zyxD e formamos três vetores coplanares, por exemplo, AB , AC e AD . 
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130
Como vimos na Unidade 2, para que três vetores sejam coplanares o produto misto destes tem que ser 
igual a zero, ou seja, o produto misto 0)( =ו CABADA rrr . Vamos verificar esta possibilidade no 
exemplo2. 
 
Exemplo 2 
Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos )2,1,1(−A , )2,3,2(=B e )3,3,0( −C . 
Conforme a condição de coplanariedade 0)( =ו CABADA
rrr
, o ponto genérico D, é um ponto 
qualquer pertencente ao plano, que representamos por ),,( zyxD . 
Assim, )2,1,1( −−+=−= zyxADDA r , )0,2,3()22,13,12( =−−+=−= ABBA r e 
)1,4,1()23,13,10( −=−−−+=−= ACCA
r
. 
Calculando 0
141
023
211
)( =
−
−−+
=ו
zyx
CABADA
rrr
, temos pela regra de Sarrus: 
0330422412022
0)1.(3.1)1.(0.4)2(2.1)2.(3.4)1.(0.1)1.(2.1
=+−++−+−++
=−−++−−−−−++
yzzx
yxzzyx
 
Logo 0331432 =−−− zyx 
 
Observação: 
a) No exemplo 2, poderíamos também ter escolhido como a origem dos vetores o ponto B ou ponto C. 
b) A equação do plano então pode ser obtida através do determinante: 
0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
 
 
Representação gráfica de planos 
 
Os planos podem facilmente ser representados graficamente. Esta representação pode ser manual, 
considerando um conjunto de pontos ),,( zyx ou com o auxílio de um software gerador de gráficos 
tridimensionais. O software Derive, cuja versão “Trial Edition”, válida por 30 dias, pode ser obtida na 
internet, é um bom exemplo destes. 
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131
Exemplo 1 
Representar graficamente os seguintes planos, citando o vetor normal ao plano: 
 
a) 04 =−x 
Esta é uma equação incompleta, apenas o x determinado. Seu gráfico é um plano paralelo ao plano 
coordenado yOz e intercepta apenas o eixo x . 
 
Figura 4.12: Gráfico do plano 04 =−x 
 
Comparando a equação 04 =−x com a equação 0=+++ dczbyax , temos 1=a , 0=b e 0=c , ou 
ainda podemos escrever 0400 =−++ zyx . Logo o vetor normal é )0,0,1(=nr . 
Com o software Derive, podemos ter um representação tal como: 
 
Figura 4.13: Gráfico de 04 =−x construído com o software Derive. 
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132
b) 042 =−+ yx 
Nesta equação, incompleta, apenas o x e o y estão relacionados, logo o plano corta apenas o eixo x e 
o eixo y . 
Para sabermos onde o plano corta o eixo x fazemos 0=y , 
4040.2 =⇒=−+ xx , 
Para sabermos onde o plano corta o eixo y fazemos 0=x , 
20420 =⇒=−+ yy 
 
Figura 4.14: Gráfico do plano 042 =−+ yx 
Para acharmos o vetor normal ao plano temos que comparar 042 =−+ yx com a equação 
0=+++ dczbyax , logo 1=a , 2=b e 0=c , ou seja, )0,2,1(=nr . 
Com o software Derive: 
 
Figura 4.13: Gráfico de 042 =−+ yx construído com o software Derive 
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133
c) 06323 =−++ zyx 
Esta equação apresenta as três variáveis, isto torna evidente que o planocortará os eixos x , y e z . 
Para sabermos onde o plano corta o eixo x , fazemos 0=y e 0=z , na equação 06323 =−++ zyx : 
2060.30.23 =⇒=−++ xx 
 
Para sabermos onde o plano corta o eixo y , fazemos 0=x e 0=z , na equação 06323 =−++ zyx 
3060.320.3 =⇒=−++ yy 
Para sabermos onde o plano corta o eixo z , fazemos 0=x e 0=y , na equação 06323 =−++ zyx 
20630.20.3 =⇒=−++ zz , 
Desenhando o gráfico: 
 
Figura 4.14: Gráfico do plano 
06323 =−++ zyx 
Para determinarmos o vetor normal ao plano 
temos que comparar 
06323 =−++ zyx com a equação 
0=+++ dczbyax , logo 3=a , 2=b e 
3=c , )3,2,3(=nr . 
 
Figura 4.13: Gráfico de 06323 =−++ zyx 
construído com o software Derive. 
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134
Observação: Neste exemplo podemos definir a equação segmentária do plano. Para isso isolamos o 
termo independente e dividimos todos os termos por esse número; no primeiro membro ajustamos as 
frações deixando os números com as variáveis positivas. 
Assim: 
6323
06323
=++
=−++
zyx
zyx
 
Dividindo a equação por (6) 
1
2
1
3
1
2
1
6
6
6
3
6
2
6
3
=++
=++
zyx
zyx
 
Ajustando os numeradores obtemos 1
232
=++
zyx
, que é a equação do plano na forma segmentaria. 
Note que os elementos que estão dividindo as variáveis são exatamente os pontos de intersecção do 
plano com os eixos coordenados. Se m, n e o são os valores onde o plano intercepta os eixos 
coordenados, respectivamente, a equação segmentária pode ser expressa como 1=++
o
z
n
y
m
x
. 
 
 
Exercícios 
 
1) Formar as equações paramétricas e simétricas da mediana do lado AB do triângulo cujos vértices 
são )0,1,2(−A , )2,3,0( −B e )6,0,0( −C . 
 
2)Verificar se as retas r e s são coplanares. 
 a) 





+=
+=
−=
mz
my
mx
r
4
23
3
: e 





+=
+=
−=
mz
my
mx
s
31
62
35
: 
b) 
1
6
3
4
2
3
:
−
−
=
+
=
− zyx
r e 





−=
−=
+=
mz
my
mx
s
4
5
24
: 
 
3) Represente graficamente as seguintes retas e cite o vetor diretor: 
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135
a) 



−=
−=
54
42
:
zy
zx
r b) 



=
=
7
5
:
y
x
s 
 
4) Calcule o ângulo entre as retas r e s , onde r é determinada pelos pontos )1,4,2(−A e )2,0,1(B , e s 
é determinada pelos pontos )1,4,1(−C e )3,1,0( −D . 
 
5) Determine o valor de k de modo que as retas 
2
5
2
2
2
3
:
−
=
+
=
−
− zyx
r e 
2
4
1
3
:
−
=
−
−
=
zy
k
x
s , 
sejam ortogonais. 
 
6)Determinar a equação geral do plano: 
a) que possui o ponto )2,1,1( −A e é perpendicular ao vetor kjiv
rrrr 232 +−−= . 
 
b) Que passa pelos pontos )1,2,1(−A , )5,4,0(B e )3,1,2( −−C . 
 
7) Determinar a equação segmentária do plano que passa pelos pontos )1,1,2( −A , )2,1,3( −B e 
)1,2,1(−C . 
 
 
Respostas dos exercícios 
 
Exercício 1 
Resolução: 
Observe a figura 
 
O ponto M é o ponto médio de AB, então a reta formada pelos pontos M e C é a reta mediana do lado 
AB. 
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136
 
),,( 111 zyxM , onde 
1
2
20
2
2
31
1
2
02
1
1
1
−=
−
=
=
+
=
−=
+−
=
z
y
x
, logo ponto )1,2,1( −−M . 
Para achar o vetor diretor vamos fazer )5,2,1()1,2,1()6,0,0( −−=−−−−=−= MCCM
r
 
As equações paramétricas são da forma 





+=
+=
+=
cmzz
bmyy
amxx
1
1
1
, então vamos substituir o vetor CM
r
e um dos 
pontos M ou C , logo 





−−=
−=
+=
mz
my
mx
56
20
0
, ou 





−−=
−=
=
mz
my
mx
56
2 . 
As equações simétricas são da forma 
c
zz
b
yy
a
xx 111 −
=
−
=
−
, também substituindo o vetor e o 
ponto, temos 
5
6
21 −
+
=
−
=
zyx
. 
 
Exercício 2 
a) 





+=
+=
−=
mz
my
mx
r
4
23
3
: e 





+=
+=
−=
mz
my
mx
s
31
62
35
: 
 
Resolução: 
Vamos trabalhar com os vetores )1,2,1(−=ur , vetor diretor da reta r e o vetor )3,6,3(−=vr . 
Primeiro vamos verificar se os vetores ur e vr são paralelos, aplicando a condição de paralelismo entre 
dois vetores: 
3
1
6
2
3
1
==
−
−
, logo são paralelos pois existe uma constante de proporcionalidade igual 
3
1
. 
Por serem paralelos os vetores diretores, as retas são paralelas e duas retas paralelas são coplanares. 
b) 
1
6
3
4
2
3
:
−
−
=
+
=
− zyx
r e 





−=
−=
+=
mz
my
mx
s
4
5
24
: 
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137
Resolução: 
 
Vamos primeiro trabalhar com os vetores diretores de r e s : o vetor diretor de r é )1,3,2( −=ur e de s 
é )1,1,2( −−=vr , vamos verificar se os dois são paralelos com a proporção: 
1
1
1
3
2
2
−
−
≠
−
≠ . Não 
podemos estabelecer uma constante entre eles, logo não são paralelos. 
Agora então teremos que aplicar a condição de coplanariedade entre três vetores: temos que obter 
outro vetor, que pode ser obtido através de um ponto da reta r e outro de s , ou seja, )6,4,3( −A e 
)4,5,4(B . 
Fazemos )2,9,1()6,4,3()4,5,4( −=−−=−= ABBA r 
Aplicando a condição de coplanariedade entre três vetores temos: 
012181124183
112
132
291
)( ≠=+−++−−=
−−
−
−
=ו vuBA rr
r
, logo os vetores não são paralelos, 
consequentemente as retas não são paralelas. 
 
Exercício 3 
 
a) 



−=
−=
54
42
:
zy
zx
r 
Para termos o vetor podemos proceder de duas maneiras: 
A primeira é transformar a equação da reta na forma simétrica isolando o z nas duas expressões 
z
yx
=
+
=
+
4
5
2
4
, logo o vetor diretor é )1,4,2(=vr . 
A outra forma é achar os dois pontos pertencentes a r, dando valores aleatórios para z. 
Seja 550.4440.20 −=−=⇒−=−=⇒= yxz 
Logo um fica definido como )50,4( −−A . 
Seja também 751253.424643.23 =−=−=⇒=−=−=⇒= zxz . 
Logo o ponto fica definido como sendo )3,7,2(B . 
Na seqüência fazemos )3,12,6()0,5,4()3,7,2( =−−−=−= ABBA r , que é um múltiplo de vr . Para 
traçarmos o gráfico utilizaremos os dois pontos: 
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138
 
 
b) 



=
=
7
5
:
y
x
s 
 Observamos que esta equação esta na forma reduzida com variável independente z , vamos então 
achar dois pontos pertencentes a reta como por exemplo se 752 =⇒=⇒= yxz , logo o ponto 
)2,7,5(A , se 750 =⇒=⇒= yxz , logo o ponto )0,7,5(B . 
Marcando a reta: 
 
Exercício 4 
Resolução: 
Para calcularmos o ângulo entre duas retas precisamos trabalhar com seus vetores diretores: 
O vetor diretor da reta r é obtido fazendo )1,4,3()1,4,2()2,0,1( −=−−=−== ABBAu rr ; o vetor 
diretor de s é obtido fazendo )4,3,1()1,4,1()3,1,0( −−=−−−=−== CDDCv rr . 
Aplicando a relação: 
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139
 
0
222
222
97,64
26
11
arccos
26
11
2626
11
cos
261691)4()3(12611691)4(3
11114123)4.(1)3).(4(1.3
cos
≅⇒=
===
=++=−+−+=
=++=+−+=
==−+=−+−−+=•
•
=
αα
α
α
v
u
vu
vu
vu
r
r
rr
rr
rr
 
 
Exercício 5 
Resolução: 
Devemos trabalhar com os vetores diretores das retas e aplicar a condição de ortogonalidade entre 
duas retas. Como as retas estão na forma simétrica os seus vetores diretores são respectivamente 
)2,2,2(−=ur e )2,1,( −= kvr 
A condição de ortogonalidade é 0=• vu rr . Assim: 
 2042202.2)1.(220 =⇒=+−−⇒=+−+−⇒=• kkkvu rr 
Logo o valor de 2=k . 
 
Exercício 6 
Resolução: 
a) que possui o ponto )2,1,1( −A e é perpendicular ao vetor kjiv
rrrr 232 +−−= . 
Como vr é perpendicular ao plano, podemos usar o vetor como vetor normal ao plano. Substituindo o 
vetor na equação geral do plano 0=+++ dczbyax , temos: 
 0232 =++−− dzyx 
Falta achar o número d substituindo o ponto A : 
 5043202.2)1.(31.2 −=⇒=+++−⇒=++−−− ddd 
Logo a equação geral da reta fica definida como 05232 =−+−− zyx . 
 
b) Que passa pelos pontos )1,2,1(−A , )5,4,0(B e )3,1,2( −−C . 
Resolução: 
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140
Vamos ter que achar o vetor normal ao plano: CABAn
rrr
×= 
kjijikkji
kji
CABAn
ACCA
ABBA
rrrrrrrrr
rrr
rrr
r
r
92162122344
231
421
)2,3.1()1,2,1()3,1,2(
)4,2,1()1,2,1()5,4,0(
++=−+−−+=
−
=×=
−=−−−−=−=
=−−=−=
 
Substituindo na equação geral do plano 0=+++ dczbyax obtemos 09216 =+++ dzyx . 
Para achar o valor de d, substituímos qualquer um dos três pontos, seja o ponto )3,1,2( −−C : 
727340272320)3.(9)1.(2)2.(16 =−=⇒=++−−⇒=++−+− ddd . 
Logo a equação é: 079216 =+++ zyx 
 
Exercício 7 
 
Conforme a condição de coplanariedade 0)( =ו CABADA
rrr
, o ponto genérico D, é um ponto 
qualquer pertencente ao plano, que representamos por ),,( zyxD . 
Assim, )1,1,2( +−−=−= zyxADDA r , )3,2,1())1(2,11,23( −=−−−−−=−= ABBA r e 
)2,1,3())1(1,12,21( −=−−−−−=−= ACCA
r
. 
Calculando 0
213
321
112
)( =
−
−
+−−
=ו
zyx
CABADA
rrr
, temos pela regra de Sarrus: 
022636619984
0)1.(1.2)2.(3.1)1)(2).(3()1.(1.1)1.(3).3()2).(2.(2
=+−+−−−+++−+−
=−−−−+−−−++−−+−−
yxzzyx
yxzzyx
 
Logo 0205117 =+−−− zyx 
Adequando a equação para a forma segmentária, igualamos a 1 e ajustamos os denominadores: 
1
4
11
20
7
20
1
4
1
20
11
20
7
)20(:205117
=++
=++
−−=−−−
zyx
zx
zyx