Analise de Tensoes

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Castro & Meggiolaro 1
Revisão de Análise de Tensões
Castro & Meggiolaro 2
Ëconsidera-se nesta análise das tensões que o material da 
peça é sempre linear, elástico, isotrópico e homogêneo
Ëlogo, assume que as tensões e deformações em qualquer 
ponto da peça seguem lei de Hooke que, na notação de 
engenharia, pode ser dada por:
Análise de Tensões
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
τ=γ
τ=γ
τ=γ
σ+σν−σ=ε
σ+σν−σ=ε
σ+σν−σ=ε
yzyz
xzxz
xyxy
yxzz
xzyy
zyxx
G
G
G
)(E
)(E
)(EÀE é o módulo de elasticidade àtração e G o módulo elástico ao 
cisalhamento
Àεx, εy, εz são as deformações e σx, σy, σz as tensões normais
Àγxy, γxz, γyz são as deformações e τxy, τxz, τyz as tensões cisalhantes 
Àν é o coeficiente de Poisson 
(aços: ν = 0.29; Al: ν = 0.33) 
Castro & Meggiolaro 3
Tensões Principais
Ëσ1, σ2 e σ3 são as tensões principais, obtidas nas 
direções em que a tensão cizalhante é nula
Ëdados σx, σy e τxy em um plano xy qualquer, obtemos
Ëse τxy = 0, então
Ëe se σy = 0,
2
xy
2
yxyx
2,1 22
τ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ σ−σ±σ+σ=σ
y2x1 , σ=σσ=σ
2
4 2xy
2
xx
2,1
τ+σ±σ=σ
Castro & Meggiolaro 4
Tensões de Tresca e Mises
Ëas tensões de Tresca e Mises são:
(σ1,σ2 eσ3 são as tensões principais)
Ëno caso plano (com componentes σx, σy e τxy):
se σ2 < 0, ou
se σ2 > 0
31Tresca σ−σ=σ
2/])(6)()()([
2/])()()([
2
xz
2
yz
2
xy
2
zx
2
zy
2
yx
2
32
2
31
2
21Mises
τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ
=σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ
2
xy
2
yxTresca 4)( τ+σ−σ=σ
2/]4)([ 2xy
2
yxyxTresca τ+σ−σ+σ+σ=σ
2
xyyx
2
y
2
xMises 3τ+σσ−σ+σ=σ
Castro & Meggiolaro 5h muito cuidado com o sinal de σ2 ao calcular a tensão 
de Tresca no caso de tensões planas (onde σ3 = 0): se
σ2 > 0, τmax atuará no plano 1-3 e não no plano 1-2, 
como ilustrado pelos círculos de Mohr abaixo
Castro & Meggiolaro 6
Ëem uma viga de seção reta uniforme, temos:
Ëseção reta circular:
Ëseção reta retangular:
Tração
d
xP
A
P
x =σ
2x d
P4
π=σ4
dA
2π=
b
hbhA =
bh
P
x =σ
Castro & Meggiolaro 7
Ëem uma viga de seção reta uniforme, temos:
Ëseção reta circular:
Torção
d
L
T
z
xy I
rT ⋅=τ
r
r z
32
dI
4
z
⋅π=
34xy d
T16
32/d
2/dT
max π=⋅π
⋅=τ
zz GI
TL)L(
IG
T
dz
d =φ⇒⋅=
φo ângulo de torção φ(z) é:
em r = d/2
Castro & Meggiolaro 8
Ëtorção em viga com seção reta oca de paredes finas:
área A
tA2
T
⋅⋅=τ
T t
seção reta
a tensão cisalhante na parede é aproximadamente:
Castro & Meggiolaro 9
Ëem uma viga de seção reta uniforme, temos:
Ëseção reta circular:
Flexão
d
L
P
zz
x I
yM ⋅=σ
y
y x
64
dI
4
zz
⋅π=
LPM ⋅=
34x d
PL32
64/d
2/dLP
max π=⋅π
⋅⋅=σ
e, neste caso, no engaste:
zz
2
2
IE
M
dx
wd
⋅=a deflexão w(x) é calculada por:
em y = d/2
Castro & Meggiolaro 10
Ëseção reta retangular:
b
h
y 12
hbdybyI
32/h
2/h
2
zz
⋅=⋅⋅= ∫
−
23x bh
PL6
12/hb
2/hLP
max
=⋅
⋅⋅=σ
esforço cortante:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=τ 2
2
zz
xy y2
h
I2
P)y(
bh2
P3
2
h
12/hb2
P 2
3xymax =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅=τ
e na seção circular: 2xy d3
P16
max π=τ
em y = h/2
na linha neutra
Castro & Meggiolaro 11¼ex.1: ache a maior tensão na viga bi-apoiada esquematizada 
abaixo com seção retangular de base b = 20, altura h =10, 
comprimento L = 200 (cotas em mm), quando submetida a 
duas cargas P = 1kN, uma a 80 e outra a 160mm do apoio 
esquerdo
80 80 40
PP
R1= 0.8P 1.2P= R2
Ëpelo diagrama de momento fletor
abaixo, o momento e a tensão
máximos ocorrem na seção
abaixo da carga a 80mm da
esquerda:
M = 80R1 = 64P e M 64P
48P
22max )mm10(mm20
N1000mm646
bh
M6
⋅
⋅⋅==σ
MPa192mm/N192 2max ==σ �
Castro & Meggiolaro 12¼ex.2: ache a menor carga P que causa escoamento na viga I
esquematizada abaixo (cotas em mm), se SE = 250MPa
kN186P250
1047.4
125P480SI
2/HM
mm1047.412
230110250120
12
h)bB(BHI
7E
473333
=⇒=⋅
⋅⋅⇒=⋅=σ
⋅=⋅−⋅=−−=
�
B=120
H
=2
50
1200800
P
0.6P 0.4PM = 0.6P ⋅800 = 480P
h
=2
30
b =10
Castro & Meggiolaro 13¼ex.3: calcule a tensão de Mises no ponto crítico de um eixo 
circular de diâmetro d, sob fletor M e torçor T
·o problema é linear elástico, logo vale a superposição
2
3
2
3Mises )d
T16(3)
d
M32( π⋅+π=σ
T
M
3d
M32
π=σ
na seção do engaste:
3d
T16
π=τ
a flexão causa no ponto superior da seção:
a torção causa na periferia da seção:
222
xyyx
2
y
2
xMises 33 τ+σ=τ+σσ−σ+σ=σ
logo, por Mises:
�
Castro & Meggiolaro 14Ëa análise de tensões linear elástica preserva o princípio 
da superposição: quando for conveniente, pode-se 
separar a carga em componentes simples, calcular seus 
efeitos em separado e depois superpô-los
¼ex.4: se a alavanca de Al (E = 70GPa, ν= 0.33) abaixo 
tem diâmetro d = 30mm e se P = 1kN, calcule as tensões 
e as deformações principais σ1,σ2,ε1 e ε2 nominais que 
solicitam o seu ponto crítico (neste caso, os extremos do 
diâmetro vertical da seção do engaste) 
400mm
200
P
y
x
ËP causa um fletor M = 1000⋅400
= 4 ⋅105 e um torçor T = 1000 ⋅200
= 2 ⋅105Nmm, que geram no 
ponto crítico as tensões normal σx
= 32M/πd3 = 151 e cisalhante τxy
= 16T/πd3 = 37.7MPa
Castro & Meggiolaro 15Àem geral não vale a pena calcular tensões com mais de 3 
dígitos significativos, pois em geral não se conhecem as 
resistências com precisão melhor que esta
Ëσ1 e σ2 são calculadas superpondo os efeitos de σx e τxy:
Ëe as deformações principais são obtidas por lei de Hooke:
ε1 = (σ1−νσ2)/E = 2328µm/m
ε2 = (σ2−νσ1)/E = −881µm/m �
MPa9.8,MPa0162/)4( 21
2
xy
2
xx2,1 −=σ=σ⇒τ+σ±σ=σ
σx
τxy y
xz
obs.: as direções 1 e 2 
estão no plano xz, no 
ponto A
A
Castro & Meggiolaro 16¼ex.5: se a alavanca de seção circular abaixo é sujeita à
carga P = 2kN, calcule por Mises a tensão no seu ponto 
crítico
b = 500
a = 30
0
P
30o
x
y
detalhe do engaste
a carga P atua no plano xy
perpendicular ao plano da 
alavanca, e com este faz 
um ângulo de 60o
Ëcomo este problema é linear, é
didático resolvê-lo passo a passo 
pelo princípio da superposição:
Àdecompondo P em Px e Py
Àidentificando os esforços
Àcalculando tensões no ponto
crítico da seção do engaste
Àsuperpondo as várias tensões 
por Mises ou por Tresca
Ëcomo só há 4 tipos de esforços
(fletores e torçores, normais e 
cortantes), pode-se facilmente 
construir uma tabela com as 
tensões causadas por Px e Py
40
Castro & Meggiolaro 17
carga esforço tensões nominaismáximas
distribuição das tensões
na seção do engaste
fletor
Mx 3
x
xM d
aP32
π
⋅=σ linear, com o eixo neutrona posição vertical
Px normal
Nx 2
x
xN d
P4
π=σ
uniforme em todos os
pontos da seção
fletor
My 3
y
yM d
bP32
π
⋅=σ linear, com o eixo neutrona posição horizontal
torçor
Ty 3
y
yT d
aP16
π
⋅=τ linear, máximo em toda aperiferiaPy
cortante
Cy 2
y
yC d3
P16
π=τ
distribuição parabólica,
máximo na linha neutra
horizontal e zero nos
pontos mais distantes
Castro & Meggiolaro 18Ëas maiores tensões devidas 
ao torçor e ao normal agem 
em toda a periferia da seção 
do engaste, onde se localiza 
também, num ângulo θ em 
relação ao eixo z, o ponto
mais solicitado pelos dois 
fletores Mx e My, o qual é
localizado maximizando o 
valor de σM(θ)
ËσMx e σMy (e σNx) atuam na 
mesma direção (são todas ⊥
ao plano do engaste), logo 
podem ser somadas
Ëa notação σMx deve ser lida 
como tensão normal devida 
ao fletor induzido por Px, e 
assim por diante
localização do ponto crítico na 
periferia da seção do engaste, 
num ângulo θ em relação a z
Castro & Meggiolaro 19Ë logo, o ponto da alavanca mais solicitado pela superposição
dos esforços normais, torçores e fletores está localizado na 
superfície do 1o quadrante da seção do engaste, num ângulo 
θΜ = tan−1(σMy/σMx) em relação ao eixo z
Àno entanto, θM não maximiza também τC(θ), e σMises(θ)
deveria ser recalculada considerando o cortante (mas as 
tensões por ele induzidas são em geral desprezíveis, e em 
geral este trabalhão todo não vale a pena)
Ëassim, desprezando em primeira aproximação o cortante, a 
tensão de Mises é dada por:
Ësubstituindo os valores numéricos apropriados, obtém-se:
2
T
2
NMMises 3)( τ+σ+σ=σ
3570)30030sinP/50030cosP(tana ′°=⋅⋅=θ
kN2P,30sinPP,30cosPP xy ===
Castro & Meggiolaro 20
Ào máximo valor da tensãoalternada induzida pelo 
cortante é τCa = 16⋅2000cos30/3π⋅402 = 1.8MPa
Àneste caso, tanto o cortante como o normal induzem 
tensões muito pequenas em relação ao torçor e ao fletor
·como em geral não se mede as resistências das ligas 
metálicas com precisão maior que 1MPa, não se deve
calcular as tensões com resolução maior que esta
MPa146)cos30030sinnis50030cos(
40
200032
3M =θ⋅+θ⋅π
⋅=σ
MPa41
40
30030cos200016,MPa8.0
40
30sin20004
3T2N =π
⋅⋅=τ=π
⋅=σ
MPa163413)8.0146( 22Mises =⋅++=σ �
2
T
2
NMMises 3)( τ+σ+σ=σ
Castro & Meggiolaro 21
Vasos de Pressão
Ëlonge das tampas de vasos de pressão cilíndricos, a 
tensão tangencial na parede cilíndrica σθ é dada por σθ = pr/t e a axial σa é dada por σa = pr/2t, onde p é
a pressão interna, r é o raio do vaso e t a (pequena) 
espessura da parede
Ëé trivial achar qualquer destas componentes: basta 
equilibrar as forças atuantes nas duas metades do 
cilindro, para obter σθ = (p×2r×l)/(2×t×l), onde l é o 
comprimento do cilindro, ou equilibrar a força nas 
tampas, para achar σa = (p×πr2)/(2πr×t)
Ëa tensão radial σr na parede interna é desprezada, 
mas pode ser facilmente adicionada: σr = −p
Castro & Meggiolaro 22
r
t
pressão interna p
σa = pr/2t
σθ = pr/tσr =−p
parede
interna
σa = pr/2t
σθ = pr/t
parede
externa
D
d
Castro & Meggiolaro 23
Ëa teoria da máxima tensão cisalhante ou de Tresca, 
prevê início do escoamento sob um estado complexo 
de tensões quando a máxima tensão cisalhante τmax
(atuante no ponto crítico da peça) atingir a metade da 
resistência ao escoamento do material, a qual é medida 
num teste de tração uniaxial: τmax= SE/2
Ëa tensão de Tresca σT é a tensão normal uniaxial que 
corresponde a τmax: σT = 2⋅τmax =σ1−σ3, onde σ1 é a 
maior e σ3 é a menor tensão principal atuantes
Ëportanto, para se projetar um cilindro de pressão por 
Tresca pelo modelo de paredes finas e desprezando
σr, basta fazer σT = p⋅r/t = SE/ϕ, onde ϕ é um fator de 
segurança apropriado (que depende do material e do 
uso do vaso)
Castro & Meggiolaro 24
Ëmas este não é um procedimento intrinsecamente 
seguro, já que a menor tensão principal atuante na 
parede do vaso, σ3 =σr =−p, é menor que zero
Ëlogo, como σT =σθ + p, não se deve desprezar a σr
que atua na parede interna, usando no projeto do vaso 
a expressão igualmente simples p⋅(r/t +1) = SE/ϕ
Ëalém disto, deve-se enfatizar que “paredes finas” é
um conceito relativo: cilindros de pressão reais têm 
um diâmetro externo D e um diâmetro interno d, 
logo uma espessura finita t = (D−d)/2
Àdesta forma, no projeto de vasos reais há diferença
numérica entre os cálculos baseados nos diâmetros
interno d, externo D, e médio, dm = (D + d)/2
Àesta diferença cresce com a razão t /D
Castro & Meggiolaro 25
Ëassim, o projeto do vaso cilíndrico de paredes finas 
segundo Tresca é melhor aproximado por:
Àpara estarmos do lado da segurança, pode-se super-
estimar r pelo raio externo D/2 do vaso
Ëcomo a hipótese de paredes finas no projeto de vasos 
de pressão esféricos leva às tensões σ1 =σ2 = pr/2t, 
pode-se usar a mesma idéia para dimensioná-los, 
obtendo-se a tensão de Tresca σT = 2⋅τmax =σ1−σ3 =
pr/2t− (−p), logo: 
ϕ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅ ES1
t
rp
ϕ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅ ES1
t2
rp
, onde r = dm/2 = (D + d)/4
, onde r = dm/2 = (D + d)/4
Castro & Meggiolaro 26
Vasos de Pressão - Solução de Lamé
Ëa solução exata do problema da análise de tensões na 
região cilíndrica do vaso de pressão, desde que longe 
da influência das suas tampas, foi obtida por Lamé (e 
está desenvolvida no capítulo 5)
Ëeste problema é axissimétrico (o cilindro tem raios ri e 
re, e é submetido a pressões pi e pe) e tanto σr como σθ só dependem da coordenada radial r:
22
i
2
e
ei
2
e
2
i
2
i
2
e
e
2
ei
2
i
r
r
1
rr
)pp(rr
rr
prpr ⋅−
−−−
−=σ
22
i
2
e
ei
2
e
2
i
2
i
2
e
e
2
ei
2
i
r
1
rr
)pp(rr
rr
prpr ⋅−
−+−
−=σθ
Lamé:
Castro & Meggiolaro 27
Ëno caso particular (importante) de um vaso de pressão 
interna, onde pi = p e pe = 0, as equações se resumem a
Ëneste caso, o maior valor da tensão de Tresca por 
Lamé ocorre na parede interna do vaso, onde σθ é
máximo e σr é mínimo, e vale:
Àa fórmula da tensão de Tresca obtida por Lamé é tão 
simples quanto as dos diversos modelos de paredes 
finas, e além disso ela é exata
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅−=σ 2
2
e
2
i
2
e
2
i
r
r
r1
rr
pr
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅−=σθ 2
2
e
2
i
2
e
2
i
r
r1
rr
pre
ϕ=−
⋅=+−
+=+−
+ E
2
2
2
2
2
i
2
e
2
i
2
e S]
1)d/D(
)d/D(2[p]1
1)d/D(
1)d/D([p)1
rr
rr(p
Castro & Meggiolaro 28
r
t
pressão interna p
D
d
ϕ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⋅ ES1
t4
dDp
vaso cilíndrico de paredes finas 
(solução aproximada):
ϕ=−
⋅ E
2
2 S]
1)d/D(
)d/D(2[p
vaso cilíndrico de qualquer 
espessura (solução exata):
ϕ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⋅ ES1
t8
dDp
vaso esférico de paredes finas 
(solução aproximada):
Castro & Meggiolaro 29¼ ex.6: calcule por Mises, considerando o efeito da pressão 
interna em σr, a mínima espessura t da parede cilíndrica de 
um vaso de pressão de raio externo 200mm, feito de aço 
com SE = 252MPa, para resistir sem escoar a uma pressão 
interna de 2MPa, considerando um fator de segurança ao 
escoamento ϕ = 4
Ëcomo σθ = pr/t, σa = pr/2t e σr = −p, assumindo que r seja o 
raio externo do vaso (para estar do lado da segurança) e 
usando Mises obtém-se:
Ëassim, a espessura da chapa deve ser pelo menos t = 5.65mm
1t
r
2
3
t
r
4
3p)pt2
pr()pt
pr()t2
pr(2
1
2
2222
Mises ++⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++++=σ
4.35t
r)p4
252(1t
r
2
3
t
r
4
3S 2
2
2
F
E
Mises =∴⋅=++⇒ϕ=σ
�
Castro & Meggiolaro 30¼ ex.7: calcule a tensão equivalente de Mises de um vaso de 
pressão cilíndrica de raio externo r e espessura t, sob 
pressão interna p combinada a um momento torçor T
Ëa pressão interna gera σθ = pr/t, σa = pr/2t e σr = −p, e a 
torção causa uma tensão cisalhante:
Ë e a tensão de Mises é dada por
Ëe assim
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
π+++++=σ
2
2
222
Mises )tr2
T(6)pt2
pr()pt
pr()t2
pr(2
1
�
tr2
T
tA2
T
2 ⋅π⋅=⋅⋅=τ
(torção em 
paredes finas)
2
242
2
2
2
Mises T)tr4
3(p)1t
r
2
3
t
r
4
3( π+++=σ
r
t
p
T