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Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 1
Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno
1.3.1 - Produto interno
1.3.2 - Norma
Ale´m da soma e do produto por um escalar, existe ainda uma outra operac¸a˜o entre dois elementos do Rn
de muita importaˆncia em aplicac¸o˜es em economia e administrac¸a˜o: o produto interno ou produto escalar (que
na˜o deve ser confundido com o produto por um escalar, visto nos cap´ıtulos passados).
1.3.1 - Produto interno
Para explicar o produto interno, comecemos considerando somente o espac¸o R2. O produto interno entre
dois elementos A = (a1, a2) e B = (b1, b2) de R
2, tambe´m chamado de produto escalar, e´ dado por
〈A,B〉 = 〈(a1, a2), (b1, b2)〉 = a1b1 + a2b2 .
Observac¸a˜o: ale´m do s´ımbolo 〈A,B〉, o s´ımbolo A · B tambe´m e´ usado para designar o produto interno.
Exemplo 1: calcule o produto interno entre (2, 1) e (3, 4).
Soluc¸a˜o: 〈(2,−1), (3, 4)〉 = 2 · 3 + 1 · 4 = 6 + 4 = 10.
Exemplo 2: calcule o produto interno entre (−1, 0) e (2,−6).
Soluc¸a˜o: 〈(−1, 0), (2,−6)〉 = −1 · 2 + 0 · (−6) = −2.
Note que o resultado do produto interno e´ sempre um escalar (um nu´mero real). Este, inclusive, e´ o motivo
do produto interno tambe´m ser chamado produto escalar. O nome produto interno e´ porque ele e´ o resultado
do produto entre dois elementos do R2 (ou, no caso geral, do Rn).
Tambe´m podemos definir um produto interno para o R3:
〈A,B〉 = 〈(a1, a2, a3), (b1, b2, b3)〉 = a1b1 + a2b2 + a3b3 .
A generalizac¸a˜o para o Rn e´ dada pela definic¸a˜o a seguir.
Definic¸a˜o 1 - O produto interno entre dois elementos A = (a1, a2, · · · , an) e B = (b1, b2, · · · , bn) do
R
n e´ definido como 〈A,B〉 = 〈(a1, a2, · · · , an), (b1, b2, · · · , bn)〉 = a1b1 + a2b2 + · · · anbn.
Exemplo 3: calcule o produto interno entre (2, 1,−1) e (2, 4,−2).
Soluc¸a˜o: 〈(2, 1,−1), (2, 4,−2)〉 = 2 · 2 + 1 · 4 + (−1) · (−2) = 4 + 4 + 2 = 10.
a) Um exemplo em administrac¸a˜o
Um significado econoˆmico para o produto interno pode ser dado pelo seguinte exemplo: considere uma loja
de roupas que vende cinco tipos diferentes de calc¸as jeans. O estoque da loja desses produtos pode ser dado
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 2
por E = (21, 14, 10, 9, 8), um elemento do R5, o que significa que ha´ 21 calc¸as do primeiro tipo, 14 do segundo
tipo, 10 do terceiro, 9 do quarto e 8 do quinto tipo.
Um outro elemento do R5, que podemos chamar de vetor, indica o prec¸o de cada tipo de calc¸a que esta´
em estoque na loja. Utilizando a mesma ordem do vetor estoque, podemos definir o vetor prec¸o dado por
P = (110, 130, 145, 180, 230), onde o prec¸o de cada tipo de calc¸a e´ expresso em reais. Caso a gerente da loja
queira determinar o valor total do estoque em termos de reais, ela pode fazeˆ-lo executando a operac¸a˜o
E · P = (21, 14, 10, 9, 8) · (110, 130, 145, 180, 230) = 21 · 110 + 14 · 130 + 10 · 145 + 9 · 180 + 8 · 230 = 9040 ,
o que e´ exatamente o produto interno dos dois vetores. Esses ca´lculos costumam ser feitos em planilhas de
ca´lculo, em geral utilizando func¸o˜es como “somarproduto”.
b) Propriedades
Dados os elementos A, B e C de um espac¸o Rn e escalares α ∈ R, enta˜o:
P1) 〈A,B〉 = 〈B,A〉 (comutativa);
P2) 〈A,B + C〉 = 〈A,B〉+ 〈A,C〉 (distributiva com relac¸a˜o a` adic¸a˜o);
P3) 〈αA,B〉 = α 〈A,B〉, α ∈ R (fatorac¸a˜o dos escalares);
Essas propriedades sa˜o provadas na Leitura Complementar 1.3.1.
1.3.2 - Norma
A norma de um elemento V do Rn esta´ ligada a` representac¸a˜o vetorial desse elemento e e´ definida a seguir.
Definic¸a˜o 2 - A norma de um elemento elemento V = (v1, v2, · · · , vn) ∈ Rn e´ a raiz quadrada do
produto interno dele com ele mesmo, isto e´, ||V || =
√
〈V, V 〉.
Para um elemento V = (v1, v2) do R
2, por exemplo, a norma fica ||V || =√〈(v1, v2), (v1, v2)〉 =√v21 + v22 .
Exemplo 1: calcule a norma do vetor V = (−1, 3).
Soluc¸a˜o: ||V || =√(−1)2 + 32 = √1 + 9 = √10.
Exemplo 2: calcule a norma do vetor V = (1,−4, 2).
Soluc¸a˜o: ||V || =
√
12 + (−4)2 + 22 = √1 + 16 + 4 = √21.
a) Aplicac¸a˜o em Estat´ıstica
Quando tomamos medidas relativas a uma determinada populac¸a˜o, podemos calcular medidas estat´ısticas
como a me´dia e o desvio padra˜o. A me´dia mede o valor me´dio da totalidade dos dados e o desvio padra˜o e´
uma medida do quanto esses dados esta˜o afastados da me´dia.
Por exemplo, foram coletadas as idades de 5 pessoas em uma entrevista para um emprego e os resultados
foram 28, 25, 23, 21 e 32 anos de idade. Essas idades podem ser organizadas em um elemento do R5 dado por
X = (28, 25, 23, 21, 32). A me´dia das idades desses cinco entrevistados e´ dada por
X¯ =
28 + 25 + 23 + 21 + 32
5
=
129
5
= 25, 8 .
Em geral, a me´dia de n dados organizados em um vetor (elemento do Rn) X = (x1, x2, · · · , xn) e´ dada por
X¯ =
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
=
1
n
n∑
i=1
xi .
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 3
O desvio padra˜o desses dados e´ a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenc¸as entre os dados
coletados e a sua me´dia dividida pelo nu´mero de dados obtidos, como no ca´lculo feito a seguir:
σ =
√
(28− 25, 8)2 + (25− 25, 8)2 + (23− 25, 8)2 + (21− 25, 8)2 + (32− 25, 8)2
5
=
=
√
2, 52 + (−0, 8)2 + (−2, 8)2 + (−4, 8)2 + 6, 22
5
=
√
6, 25 + 0, 64 + 7, 84 + 23, 04 + 38, 44
5
=
=
√
76, 21
5
=
√
15, 242 ≈ 3, 90 .
Se construirmos o vetor diferenc¸a D = X − X¯ = (28 − 25, 8, 25 − 25, 8, 23 − 25, 8, 21 − 25, 8, 32 − 25, 8) =
= (2, 5,−0, 8,−2, 8,−4, 8, 6, 2), enta˜o o desvio padra˜o pode ser escrito σ = ||D||√
5
.
De modo geral, o desvio padra˜o e´ definido como
σ =
√√√√ 1
n
n∑
i=1
(xi − x¯)2 ,
onde xi sa˜o os n dados e x¯ e´ a me´dia deles. Definido o vetor D = (x1− x¯, x2− x¯, · · · , xn− x¯), podemos escrever
o desvio padra˜o como
σ =
||D||√
n
,
ou seja, o desvio padra˜o e´ proporcional a` norma do vetor diferenc¸a entre os dados obtidos e a sua me´dia.
Uma outra aplicac¸a˜o da norma e´ no chamado me´todo dos mı´nimos quadrados para o ajuste de curvas. Essa
aplicac¸a˜o pode ser vista na Leitura Complementar 1.3.2.
b) Significado geome´trico
Qual e´ o significado da norma? Para descobri-lo, consideremos a representac¸a˜o vetorial de um elemento
V = (vx, vy) do R
2 (primeira figura a seguir). O mo´dulo |V | desse vetor, que e´ o comprimento do segmento de
reta que vai da origem ate´ (vx, vy), pode ser calculado utilizando o teorema de Pita´goras no triaˆngulo retaˆngulo
ao lado da primeira figura.
x
y
vx
vy b
vx
vy
|V |
·
Pelo teorema de Pita´goras,
|V |2 = v2x + v2y ⇔ |V | = ±
√
v2x + v
2
y .
Como o mo´dulo de um vetor e´ sempre um nu´mero positivo ou nulo, enta˜o
|V | =
√
v2x + v
2
y .
Note que a fo´rmula calculada e´ exatamente a definic¸a˜o da norma do elemento V = (vx, vy) do R
2.
Veremos agora o que acontece se calcularmos o mo´dulo de um vetor V = (vx, vy, vz), que e´ representado no
espac¸o na figura a seguir.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 4
x
y
z
vx
vy
vz
V
r
b
·· r
vz
|V |
·
vx
vyr
·
Podemos identificar dois triaˆngulos retaˆngulos na primeira figura, representados acima e ao lado. O primeiro
triaˆngulo retaˆngulo e´ formado pelo vetor V e pelos lados vz e r. O segundo triaˆngulo retaˆngulo e´ formado no
plano xy e tem lados vx, vy e r.
De acordo com o Teorema de Pita´goras,
|V |2 = r2 + v2z .
Agora, temos que determinar r. De acordo com o teorema de Pita´goras, aplicado ao triaˆngulo retaˆngulo que
se encontra no plano xy,
r2 = v2x + v
2
y .
Juntando as duas fo´rmulas, temos, enta˜o, que
|V |2 = v2x + v2y + v2z ⇔ |V | = ±
√
v2x + v
2
y + v
2
z .
Como somente um valor positivo e´ admiss´ıvel para um mo´dulo, temos, enta˜o,
|V | =
√
v2x + v
2
y + v
2
z =
√
(vx,vy, vz) · (vx, vy, vz) =
√
〈V, V 〉 ,
que e´ novamente a definic¸a˜o da norma de V .
Dada essa analogia entre a norma de um elemento do R2 e o mo´dulo de um vetor no plano e entre a norma
de um elemento do R3 e o mo´dulo de um vetor no espac¸o, podemos definir o mo´dulo de um vetor associado ao
elemento V = (v1, v2, · · · , vn) do Rn como sendo a norma desse vetor.
c) Propriedades da norma
As propriedades sera˜o enunciadas agora para elementos do Rn, que designaremos X = (x1, x2, · · · , xn) e
Y = (y1, y2, · · · , yn) e sa˜o provadas na Leitura Complementar 1.3.1.
N1) ||X|| ≥ 0 (a norma e´ sempre positiva).
N2) ||X|| = 0⇔ X = (0, 0, · · · , 0) (a norma so´ e´ nula quando o pro´prio vetor for nulo).
N3) ||αX|| = |α| ||X|| (norma do produto de um vetor por um escalar).
N4) se X 6= (0, 0, · · · , 0), o vetor uX = X||X|| tem norma 1 (uX e´ chamado vetor unita´rio).
N5) ||X + Y ||2 = ||X||2 + 2 〈X,Y 〉+ ||Y ||2 (quadrado da norma da soma de dois vetores).
N6) ||X − Y ||2 = ||X||2 − 2 〈X,Y 〉+ ||Y ||2 (quadrado da norma da subtrac¸a˜o entre dois vetores).
O pro´ximo cap´ıtulo trata de mais algumas relac¸o˜es entre o produto interno e conceitos como ortogonalidade
entre vetores, a projec¸a˜o de um vetor sobre outro vetor e o aˆngulo entre vetores. A Leitura Complementar
1.3.3 trata de uma outra operac¸a˜o entre vetores: o produto vetorial.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 5
Resumo
• Produto interno. O produto interno (ou produto escalar) entre dois elementos A = (a1, a2, · · · , an)
e B = (b1, b2, · · · , bn) do Rn e´ definido como
〈A,B〉 = 〈(a1, a2, · · · , an), (b1, b2, · · · , bn)〉 = a1b1 + a2b2 + · · · anbn .
• Norma. A norma de um elemento V = (v1, v2, · · · , vn) ∈ Rn e´ a raiz quadrada do produto interno
dele com ele mesmo, isto e´, ||V || =
√
〈V, V 〉.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 6
Leitura Complementar 1.3.1 - Teoremas e
demonstrac¸o˜es
Esta leitura complementar sera´ usada para demonstrar as propriedades do produto interno e da norma.
Comec¸amos pelas propriedades do produto interno.
a) Propriedades do produto escalar
Vamos, agora, provar as propriedades do produto interno mencionadas no texto principal deste cap´ıtulo.
Dados os elementos X = (x1, x2, · · · , xn), Y = (y1, y2, · · · , yn) e Z = (z1, z2, · · · , zn) do Rn, temos as seguintes
propriedades.
P1) 〈X,Y 〉 = 〈Y,X〉 .
Demonstrac¸a˜o: 〈X,Y 〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn = y1x1 + y2x2 + · · ·+ ynxn = 〈Y,X〉.
P2) 〈X,Y + Z〉 = 〈X,Y 〉+ 〈X,Z〉.
Demonstrac¸a˜o: temos
〈X,Y + Z〉 = 〈(x1, x2, · · · , xn), (y1, y2, · · · , yn) + (z1, z2, · · · , zn)〉 =
= 〈(x1, x2, · · · , xn), (y1 + z1, y2 + z2, · · · , yn + zn)〉 = x1(y1 + z1) + x2(y2 + z2) + · · ·+ xn(yn + zn) =
= x1y1 + x1z1 + x2y2 + x2z2 + · · ·+ xnyn + xnzn = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn + x1z1 + x2z2 + · · ·+ xnzn =
= 〈X,Y 〉+ 〈X,Z〉 .
P3) 〈αX,Y 〉 = α 〈X,Y 〉 , α ∈ R.
Demonstrac¸a˜o: temos
〈αX, Y 〉 = 〈(αx1, αx2, · · · , αxn), (y1, y2, · · · , yn)〉 = αx1y1 + αx2y2 + · · ·+ αxnyn =
= α(x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn) = α 〈X,Y 〉 .
b) Propriedades da norma
Vamos, agora, provar as propriedades da norma mencionadas no texto principal deste cap´ıtulo. Dados os
elementos X = (x1, x2, · · · , xn) e Y = (y1, y2, · · · , yn) do Rn, temos as seguintes propriedades.
N1) ||X|| ≥ 0.
Demonstrac¸a˜o: ||X || =
√
〈X,X〉 = √x1x1 + x2x2 + · · ·+ xnxn =
√
x2
1
+ x2
2
+ · · ·+ x2n ≥ 0 .
N2) ||X|| = 0 ⇔ X = (0, 0, · · · , 0).
Demonstrac¸a˜o: ||X || = 0 ⇔
√
〈X,X〉 = 0 ⇔
√
x2
1
+ x2
2
+ · · ·+ x2n = 0 ⇔ x21 + x22 + · · · + x2n = 0, o que
so´ e´ poss´ıvel se x1 = x2 = · · · = xn = 0, o que significa que X = (0, 0, · · · , 0). Se X = (0, 0, · · · , 0), enta˜o
x2
1
+ x2
2
+ · · ·+ x2n = 0⇔ 〈X,X〉 = 0⇔ ||X || = 0.
N3) ||αX|| = |α| ||X|| , α ∈ R.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 7
Demonstrac¸a˜o: temos
||αX || =
√
〈(αx1, αx2, · · · , αxn), (αx1, αx2, · · · , αxn)〉 =
√
α2x2
1
+ α2x2
2
+ · · ·+ α2x2n =
=
√
α2(x2
1
+ x2
2
+ · · ·+ x2n) =
√
α2
√
x2
1
+ x2
2
+ · · ·+ x2n = |α| ||X || .
N4) se X 6= (0, 0, · · · , 0), o vetor uX = X||X|| tem norma 1.
Demonstrac¸a˜o: ||uX || =
∣∣∣∣
∣∣∣∣ X||X ||
∣∣∣∣
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣
∣∣∣∣ 1||X ||X
∣∣∣∣
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 1||X ||
∣∣∣∣ ||X || = 1||X || ||X || = 1 .
N5) ||X + Y ||2 = ||X||2 + 2 〈X,Y 〉+ ||Y ||2.
Demonstrac¸a˜o: expandindo a primeira expressa˜o, temos
||X + Y ||2 = 〈X + Y,X + Y 〉 = 〈X,X〉+ 〈X,Y 〉+ 〈Y,X〉+ 〈Y, Y 〉 = ||X ||2 + 2 〈X,Y 〉+ ||Y ||2 .
N6) ||X − Y ||2 = ||X||2 − 2 〈X,Y 〉+ ||Y ||2.
Demonstrac¸a˜o: expandindo a primeira expressa˜o, temos
||X − Y ||2 = 〈X − Y,X − Y 〉 = 〈X,X〉+ 〈X,−Y 〉+ 〈−Y,X〉+ 〈−Y,−Y 〉 =
= 〈X,X〉 − 〈X,Y 〉 − 〈Y,X〉+ 〈Y, Y 〉 = ||X ||2 − 2 〈X,Y 〉+ ||Y ||2 .
c) Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Veremos aqui como provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que e´ um importante teorema envolvendo a
norma de um vetor. Esse teorema e´ enunciado e provado a seguir.
Teorema 1 - desigualdade de Cauchy-Schwarz - dados X,Y ∈ Rn, |〈X,Y 〉| ≤ ||X|| ||Y ||.
Demonstrac¸a˜o: para todo α ∈ R, ||X + αY || ≥ 0 (propriedade N1). Portanto,
√
〈X + αY,X + αY 〉 ≥ 0⇔ 〈X + αY,X + αY 〉 ≥ 0⇔ 〈X,X〉+ 〈X,αY 〉+ 〈αY,X〉+ 〈αY, αY 〉 ≥ 0⇔
⇔ 〈X,X〉+ α 〈X,Y 〉+ α 〈Y,X〉+ α2 〈Y, Y 〉 ≥ 0⇔ ||X ||2 + 2α 〈X,Y 〉+ α2||Y ||2 ≥ 0 .
Esta e´ uma inequac¸a˜o para α e significa que a para´bola p(α) = ||X ||2 +2α 〈X,Y 〉+α2||Y ||2 tem que estar toda
acima, ou toda abaixo, ou sobre o eixo horizontal (em que p = 0). Isto significa que na˜o ha´ ra´ızes reais para a
equac¸a˜o ||X ||2 + 2α 〈X,Y 〉+ α2||Y ||2 = 0 ou que essa raiz e´ u´nica, o que so´ e´ poss´ıvel se
∆ = (2 〈X,Y 〉)2 − 4||Y ||2||X ||2 ≤ 0⇔ (2 〈X,Y 〉)2 ≤ 4||Y ||2||X ||2 ⇔ 4 (〈X,Y 〉)2 ≤ 4||X ||2||Y ||2 =
(〈X,Y 〉)2 ≤ (||X || ||Y ||)2 .
Como ambos os lados desta inequac¸a˜o sa˜o positivos, isto significa que |〈X,Y 〉| ≤ ||X || ||Y ||, o que prova o teorema.
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): matema´tico franceˆs responsa´vel pela formulac¸a˜o mais precisa do conceito
de limites e por va´rias contribuic¸o˜es de fundamental importaˆncia na teoria de func¸o˜es de varia´veis complexas e
em equac¸o˜es diferenciais. Cauchy teve uma infaˆncia atribulada, tendo vivido na e´poca da Revoluc¸a˜o Francesa.
Trabalhou como engenheiro para a marinha de Napolea˜o e teve va´rias tentativas de obter posic¸o˜es em universidades
recusadas, muitas vezes por motivos pol´ıticos. Cato´lico devoto, teve atritos com seus colegas partida´rios do ate´ısmo.
Quando o rei da Franc¸a voltou ao poder, recusou-se a jurar lealdade e perdeu seu emprego, retornando ao seu
trabalho apo´s o rei ter sido novamente deposto.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 8
Karl Hermann Amandus Schwarz (1864-1951): inicialmente interessado em Qu´ımica, Schwarz ingressou na
universidade para estudar esse campo da cieˆncia. No entanto, alguns de seus professores, percebendo a sua vocac¸a˜o
em matema´tica, o convenceram a mudar o assunto de seus estudos. Schwarz trabalhou em Go¨ttingen e em Berlim
(Alemanha) no campo da Ana´lise Complexa e foi membro da Academia Real. Ale´m de matema´tico, ele tambe´m
desenvolveu alguns trabalhos volunta´rios: foi capita˜o da Brigada Volunta´ria de Bombeiros local e tambe´m auxiliava
no fechamento das portas dos trens na estac¸a˜o ferrovia´ria local.
d) Desigualdade triangular
Veremos agora como provar um outro teorema que apresenta uma propriedade importante da norma de um
vetor: a chamada desigualdade triangular (tambe´m conhecida como teorema de Minkowski). Esse teorema e´
enunciado e provado a seguir.
Teorema 2 - desigualdade triangular - dados dois vetores X e Y , ||X + Y || ≤ ||X|| + ||Y ||.
Demonstrac¸a˜o: da propriedade N5 da norma, temos que ||X+Y ||2 = ||X ||2+2 〈X,Y 〉+ ||Y ||2. Pela desigualdade
de Cauchy-Schwarz, |〈X,Y 〉| ≤ ||X || ||Y ||, de modo que
||X + Y ||2 = ||X ||2 + 2 〈X,Y 〉+||Y ||2 ≤ ||X ||2 + 2||X || ||Y ||+ ||Y ||2 = (||X ||+ ||V ||)2 .
Portanto, ||X+Y ||2 ≤ (||X ||+ ||V ||)2. Como ambos os lados sa˜o positivos, isto significa que ||X+Y || ≤ ||X ||+||V ||,
o que prova o teorema.
Exemplo 1: verifique a desigualdade triangular para os vetores X = (2, 4) e Y = (3, 2).
Soluc¸a˜o: primeiro, calculamos X + Y = (5, 6). Agora, calculamos as diversas normas:
||X || = √4 + 16 =
√
20 , ||Y || = √9 + 4 =
√
13 ,
||X + Y || = √25 + 36 =
√
61 .
Substituindo na desigualdade triangular, obtemos
||X + Y || ≤ ||X ||+ ||Y || ⇔
√
61 ≤
√
20 +
√
13 .
Como
√
61 ≈ 7, 81 e √20 + √13 ≈ 4, 47 + 3, 60 = 8, 07, a desigualdade e´
verificada.
A desigualdade triangular fica mais evidente se desenharmos os vetores
X , Y e a soma deles, como no gra´fico ao lado. Claramente, a soma dos
comprimentos dos dois vetores e´ maior que o comprimento da soma deles.
X
Y
X + Y
Observac¸a˜o: observando a figura do exemplo 1, podemos ver que a desigualdade triangular estabelece uma
relac¸a˜o entre os treˆs lados de um triaˆngulo, de onde se entende a origem do seu nome.
Hermann Minkowski (1864-1909): nasceu na Lituaˆnia, naquela e´poca parte do Impe´rio da Ru´ssia, de descendeˆn-
cia polonesa e judia. Estudou na Alemanha e foi professor em Bonn, Go¨tttingen, Ko¨nigsberg, na Alemenha, e
em Zu¨rich, na Su´ıc¸a, onde foi professor do f´ısico Albert Einstein. Trabalhou principalmente em geometria e
desenvolveu a geometria quadridimensional do espac¸o-tempo da Teoria da Relatividade de Einstein.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 9
Leitura Complementar 1.3.2 - Me´todo dos mı´nimos
quadrados
Em cieˆncias como a estat´ıstica, a f´ısica, a biologia, a economia e muitas outras, e´ comum a coleta de dados
relacionados a algum fenoˆmeno, como o desenvolvimento de uma determinada populac¸a˜o com relac¸a˜o ao tempo.
Em diversas ocasio˜es, e´ necessa´rio ajustar uma curva teo´rica a dados experimentais quando se deseja testar
uma teoria ou explicar um certo fenoˆmeno. Veremos aqui um me´todo para fazer isto, chamado me´todo dos
mı´nimos quadrados.
Consideremos, por exemplo, o primeiro gra´fico a seguir. Trata-se de um conjunto de pontos que se assemelha
a diversos pontos de uma reta. No entanto, e´ imposs´ıvel trac¸ar uma reta que passe por todos os pontos do
gra´fico. Como podemos determinar qual a reta mais adequada a esse conjunto de pontos? Existem diversas
formas de fazeˆ-lo, pore´m uma e´ mais comumente utilizada: a dos mı´nimos quadrados.
x
y
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
b
b
b
b
b
b
x
y
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
b
b
b
b
b
b
Para entender esse crite´rio, note que existem distaˆncias entre a reta teo´rica e os pontos dados, sendo que
algumas vezes a reta esta´ abaixo do ponto dado e outras vezes, esta´ acima deste. Se forem somadas essas
diferenc¸as, pode haver o cancelamento de algumas. Portanto, tal soma na˜o pode ser usada como uma medida
do qua˜o inadequada a reta e´ com relac¸a˜o ao conjunto de pontos. Por exemplo, as diferenc¸as entre os pontos,
(xi, yi), i = 1, . . . , 6, e as coordenadas dos pontos equivalentes na reta usada, (xi, y(xi)), sa˜o dados na tabela a
seguir para a reta cuja equac¸a˜o e´ y = 0, 65x + 1, 3.
xi yi y(xi) yi − y(xi)
0, 3 1, 1 1, 495 −0, 395
0, 5 1, 9 1, 625 0, 275
1, 6 2, 1 2, 34 −0, 24
2 3, 4 2, 6 0, 8
4, 2 3, 7 4, 03 −0, 33
5, 4 5, 5 4, 81 0, 69
A soma desses erros e´ dada por
s = −0, 395 + 0, 275 − 0, 24 + 0, 8− 0, 33 + 0, 69 = 0, 8 .
Veˆ-se que, embora haja uma discordaˆncia grande entre a
reta e os pontos, ela na˜o aparece na medida da soma dos
erros.
No entanto, se tomarmos o quadrado de cada diferenc¸a e somarmos esses quadrados, teremos uma medida
confia´vel, pois um nu´mero real ao quadrado e´ sempre positivo. No exemplo em questa˜o, teremos
E = (−0, 395)2 + (0, 275)2 + (−0, 24)2 + (0, 8)2 + (−0, 33)2 + (0, 69)2 = 1, 51425 .
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 10
A letra E (de erro) e´ comumente utilizada para designar essa soma.
Observac¸a˜o: tambe´m poder´ıamos ter escolhido como fator de medida do erro a soma dos mo´dulos das diferenc¸as
entre a reta e os pontos. Isto determinaria um outro me´todo, que na˜o e´ ta˜o utilizado devido a dificuldades em
derivar a func¸a˜o mo´dulo.
O me´todo dos mı´nimos quadrados consiste em escolher a reta que minimiza a soma dos quadrados desses
erros. Para utiliza´-lo, vamos comec¸ar pela seguinte fo´rmula para o erro:
E =
n∑
i=1
[y(xi)− yi]2 ,
onde y(xi) e´ o valor teo´rico, dado pela reta calculada no ponto xi, e yi e´ o valor experimental. Como a equac¸a˜o
de uma reta e´ dada por y(xi) = axi + b, onde a e b sa˜o constantes, essa fo´rmula de erro fica
E =
n∑
i=1
(axi + b− yi)2 .
Para minimizarmos o erro, devemos escolher os valores de a e b que minimizam a func¸a˜o dada, mas isto
sera´ feito mais tarde neste curso, quando for aprendido o conceito de derivadas parciais.
O que e´ do nosso interesse no momento e´ que podemos escrever
E =
n∑
i=1
[y(xi)− yi]2 = 〈D,D〉 = ||D||2 ,
onde D e´ o vetor diferenc¸a dado por D = (y(x1)− y1, y(x2)− y2, · · · , y(xn)− yn)), o que mostra que a func¸a˜o
erro do me´todo dos mı´nimos quadrados pode ser expressa como o quadrado da norma de um vetor diferenc¸a.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 11
Leitura Complementar 1.3.3 - Produto vetorial
O produto vetorial e´ o segundo tipo de produto entre vetores e resulta em um outro vetor. Embora ele seja
de muita importaˆncia para a F´ısica e a Engenharia, pois ele ajuda na dinaˆmica de rotac¸o˜es, o produto vetorial
praticamente na˜o e´ utilizado nas a´reas de Economia e de Administrac¸a˜o. Por isso, ele esta´ sendo visto em uma
leitura complementar. No entanto, o produto vetorial pode ser utilizado na melhor compreensa˜o de aspectos
da Dinaˆmica Econoˆmica, que estuda a evoluc¸a˜o no tempo de sistemas econoˆmicos.
O produto vetorial e´ uma operac¸a˜o X × Y entre dois vetores
X e Y que resulta em um vetor. Esta operac¸a˜o e´ definida pela
seguinte fo´rmula:
X × Y = ||X|| ||Y || sen θ nˆ ,
onde θ e´ o aˆngulo entre os dois vetores e nˆ e´ um versor (um vetor
de norma 1) que e´ normal aos dois vetores X e Y e cujo sentido e´
dado pela regra explicada a seguir. X
Y
X × Y
·· θImaginemos um arco de circunfereˆncia orientado definido no
plano formado pelos dois vetores, X e Y , sendo que o sentido
desse arco vai de X ate´ Y . Se o sentido for anti-hora´rio, o versor
nˆ tera´ o sentido “para cima”, indicado na figura a lado. Se o
sentido for hora´rio, o sentido de nˆ sera´ “para baixo”. Esta regra
tambe´m e´ chamada regra da ma˜o direita, pois podemos imaginar
uma ma˜o direita posicionada de forma que os dedos se fechem de
modo a ir da posic¸a˜o do vetor X a` posic¸a˜o do vetor Y . O polegar
indica, enta˜o, o sentido do vetor X×Y . Esta regra e´ ilustrada nos
exemplos a seguir.
nˆ
~u
Y
nˆ
·· θ
Exemplo 1: calcule o produto vetorial X × Y entre os vetores dados abaixo (||X|| = 3 e ||Y || = 2).
X
Y
300
Soluc¸a˜o: X × Y = ||X || ||Y || sen θ nˆ = 3 · 2 · sen 30onˆ = 6 · 1
2
nˆ = 2nˆ .
O semi-arco que vai do vetor X para o vetor Y tem o sentido anti-hora´rio, o que indica que o versor normal
tem o sentido para cima. O vetor X × Y esta´ representado na figura abaixo.
nˆ
X
Y
X × Y
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 12
Exemplo 2: calcule o produto vetorial X × Y entre os vetores dados abaixo (||X|| = 3 e ||Y || = 2).
X
Y
300
Soluc¸a˜o: Y ×X = ||Y || ||X || sen θ nˆ = 2 · 3 · sen 30onˆ = 6 · 1
2
nˆ = 2nˆ .
O semi-arco que vai do vetor Y para o vetor X tem o sentido hora´rio, o que indica que o versor normal tem o
sentido para baixo. O vetor Y ×X esta´ representado na figura abaixo.nˆ
X
Y
X × Y
Observe que os dois produtos vetoriais calculados acima teˆm o mesmo mo´dulo e direc¸a˜o, mas sentidos
opostos. De um modo geral, temos X × Y = −Y ×X sempre.
Exemplo 3: calcule o produto vetorial X × Y entre os vetores dados abaixo (||X|| = 2 e ||Y || = 1).
X
Y
600
Soluc¸a˜o: X × Y = ||X || ||Y || sen θ nˆ = 2 · 1 · sen 60onˆ = 2 ·
√
3
2
nˆ =
√
3nˆ .
nˆ
X
Y
X × Y
Exemplo 4: calcule o produto vetorial X × Y entre os vetores dados abaixo (||X|| = 2 e ||Y || = 2).
X
Y
450
Soluc¸a˜o: X × Y = ||X || ||Y || sen θ nˆ = 2 · 2 · sen 45onˆ = 4 · 1√
2
nˆ = 4
√
2
2
nˆ = 2
√
2nˆ .
nˆ
X
Y
X × Y
Nos exemplos dados ate´ agora, estamos trabalhando com projec¸o˜es de figuras no espac¸o e os vetores re-
sultantes dos produtos vetoriais devem ser vistos como perpendiculares aos pares de vetores que os formam.
Algumas vezes, temos que representar vetores entrando ou saindo do plano. Para isto, podemos usar a seguinte
notac¸a˜o: usamos o s´ımbolo
⊙
para representar um vetor saindo do plano e
⊗
para representar um vetor
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 13
entrando no plano. A notac¸a˜o lembra a ponta de uma flecha saindo do plano ou a parte de tra´s de uma flecha
entrando no plano. A seguir, mostramos exemplos utilizando esta notac¸a˜o.
Exemplo 5: calcule o produto vetorial X × Y entre os vetores dados abaixo (||X|| = 3 e ||Y || = 2).
X
Y
·
900
Soluc¸a˜o: X × Y = ||X || ||Y || sen θ nˆ = 3 · 2 · sen 90onˆ = 6 · 1nˆ = 6nˆ .
⊙
nˆ X
Y
⊙X × Y
Exemplo 6: calcule o produto vetorial X × Y entre os vetores dados abaixo (||X|| = 3 e ||Y || = 1).
X
Y
600
Soluc¸a˜o: X × Y = ||X || ||Y || sen θ nˆ = 3 · 1 · sen 60onˆ = 3 ·
√
3
2
nˆ =
3
√
3
2
nˆ .
⊗
nˆ
X
Y
⊗X × Y
Exemplo 7: calcule o produto vetorial X × Y entre os vetores dados abaixo (||X|| = 4 e ||Y || = 3).
bX Y
1800
Soluc¸a˜o: X × Y = ||X || ||Y || sen θ nˆ = 4 · 3 · sen 180onˆ = 12 · 0nˆ = ~0.
bX Y
X × Y = ~0
O fato do produto vetorial entre dois vetores que formam um aˆngulo de 90o entre si ser o vetor nulo resolve
o aparente paradoxo resultante do uso da regra aprendida para definir o sentido do vetor normal nˆ. Utilizando
a regra aprendida, ter´ıamos um vetor que poderia estar entrando no plano ou saindo dele. No entanto, como
o vetor nulo na˜o tem direc¸a˜o nem sentido, na˜o ha´ contradic¸a˜o no uso da regra.
O produto vetorial entre dois vetores X e Y tem as seguintes propriedades.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 14
Propriedade 1: X × Y = −Y ×X (anticomutativa).
Propriedade 2: X × (Y + Z) = X × Y +X × Z (distributiva com relac¸a˜o a` adic¸a˜o).
Propriedade 3: (αX) × Y = α(X × Y ), α ∈ R (fatorac¸a˜o dos escalares).
Observac¸a˜o: o produto vetorial na˜o tem a propriedade associativa, isto e´, em geral, X×(Y ×Z) 6= (X×Y )×Z.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 15
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 1.3
Nı´vel 1
Produto interno
Exemplo 1: calcule o produto interno entre os elementos X = (−4, 5, 1) e Y = (−1, 2,−4).
Soluc¸a˜o: 〈X,Y 〉 = 〈(−4, 5, 1), (−1, 2,−4)〉 = −4 · (−1) + 5 · 2 + 1 · (−4) = 4 + 10− 4 = 10 .
E1) Calcule os produtos internos entre os seguintes elementos:
a) X = (3,−1) e Y = (2, 3). b) A = (2,−1, 3) e B = (4, 1,−2).
c) X = (−1, 3,−4, 1) e Y = (1, 2,−1,−3).
Norma
Exemplo 2: calcule a norma de X = (3,−2, 4).
Soluc¸a˜o: ||X || =√32 + (−2)2 + 42 = √9 + 4 + 16 = √29.
E2) Calcule as normas dos seguintes elementos:
a) A = (2, 3, 1). b) B = (3,−4). c) C = (−2, 0, 3).
Nı´vel 2
E1) Determine α de modo que o vetor X = (2, 1, 2) seja normalizado, isto e´, de modo que ele tenha norma
igual a 1.
E2) Calcule ||||A−B||C||, onde A = (2,−1, 5), B = (1, 1,−3) e C = (−2, 1,−2).
E3) Prove a identidade polar 〈X,Y 〉 = 1
4
(||X + Y ||2 − ||X − Y ||2).
E4) Prove a lei do paralelogramo, ||X + Y ||2 + ||X − Y ||2 = 2 (||X||2 + ||Y ||2).
E5) (Leitura Complementar 2.3.3) Calcule os produtos vetoriais entre os vetores abaixo (dados: ||A|| = 2,
||B|| = 1, ||C|| = 2, ||D|| = 2, ||E|| = 2, ||F || = 1, ||G|| = 2, ||H|| = 2):
a) A
B
· 90o . b) D
C
60o . c) b EF
180o
. d) G
H
135o .
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno - versa˜o 02/2009 16
Nı´vel 3
E1) Qual e´ a superf´ıcie associada a`s soluc¸o˜es da equac¸a˜o ||(1, 1, 1)||2 = 3?
E2) Escreva um vetor Y que seja paralelo ao vetor X = (3,−4), com o mesmo sentido de X e que tenha norma
igual a 1.
E3) (Leitura Complementar 1.3.3) Mostre que ||U × V || ≤ ||U || ||V ||.
E4) Prove o teorema de Pita´goras, formulado da seguinte forma: ||X + Y ||2 = ||X||2 + ||Y ||2 quando X e Y
sa˜o ortogonais.
E5) (Leitura Complementar 1.3.1) Utilize a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar que a me´dia
geome´trica entre duas medidas na˜o nulas e´ sempre menor ou igual a` sua me´dia geome´trica, isto e´, que√
a, b ≤ a+ b
2
, a, b ≥ 0.
Respostas
Nı´vel 1
E1) a) 3. b) 1. c) 6.
E2) a)
√
14. b) 5. c)
√
13.
Nı´vel 2
E1) α = ±1/3. E2) 9√23.
E3) ||X + Y ||2 − ||X − Y ||2 = (||X ||2 + 2 〈X,Y 〉+ ||Y ||2)− (||X ||2 − 2 〈X,Y 〉+ ||Y ||2) =
= ||X ||2+2 〈X,Y 〉+ ||Y ||2−||X ||2+2 〈X,Y 〉− ||Y ||2 = 4 〈X,Y 〉, de modo que 〈X,Y 〉 = 1
4
(||X + Y ||2 − ||X − Y ||2).
E4) ||X + Y ||2 + ||X − Y ||2 == ||X ||2 + 2 〈X,Y 〉 + ||Y ||2 + ||X ||2 − 2 〈X,Y 〉 + ||Y ||2 = 2||X ||2 + ||Y ||2, de modo que
||X + Y ||2 + ||X − Y ||2 = 2 (||X ||2 + ||Y ||2).
E5) a) 2nˆ
⊙
. b) 2
√
3nˆ
⊗
. c) ~0 . d) 2
√
2nˆ
⊙
.
Nı´vel 3
E1) E´ uma esfera de raio 3 centrada em (0, 0, 0).
E2) Y =
(
3
5
,−4
5
)
ou Y =
(
3
25
+
8
75
√
54,− 4
25
+
2
25
√
54
)
.
E3) ||U × V || = |||U || ||V || | sen θnˆ| = ||U || ||V || | sen θ| ||nˆ|| = ||U || ||V || | sen θ| ≤ ||U || ||V ||, pois | sen θ| < 1, sempre.
E4) Da propriedade N5 da norma, ||X + Y ||2 = ||X ||2 + 〈X,Y 〉 + ||Y ||2. Se X e Y sa˜o ortogonais, enta˜o 〈X,Y 〉 = 0 e
||X + Y ||2 = ||X ||2 + ||Y ||2.
E5) Escolhendo X =
(√
a,
√
b
)
e Y =
(√
b,
√
a
)
na desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos
|〈X,Y 〉| ≤ ||X || ||Y || ⇔
∣∣∣√a√b+√b√a∣∣∣ ≤ √a+ b√a+ b⇔ 2√a√b ≤ (√a+ b)2 ⇔ √ab = a+ b
2
.