EXERCICIOS SOBRE MATRIZES

Prévia do material em texto

1 
 
 Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS 
1-) Escreva a matriz A=
 
3x2ij
a
, onde 
ija
=2i+3j 
 
2-) Escreva a matriz B=
 
3x3ij
b
, onde 
ijb
= 
j
i
. 
 
3-) Escreva a matriz C=
 
1x4ij
c
, onde 
jic 2ij 
. 
 
4-) Escreva a matriz D=
 
3x1ij
d
, onde 
ijd
= i – j. 
 
5-) Escreva a matriz A=
 
3x4ij
a
, onde 






jise,1
jise,2
a ij
 
 
6-) Escreva a matriz A=
 
3x3ij
a
, onde 






jise,0
jise,ji
a ij
 
 
7-) Determine a matriz A = (aij)2x2, em que os elementos de A são definidos por 
 
𝑎𝑖𝑗 = {
𝑠𝑒𝑛(𝑖 + 𝑗)𝜋 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑐𝑜𝑠(𝑗 − 𝑖)𝜋 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
 
8 - Seja a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥3 definida por: 
𝑎𝑖𝑗 = {
𝑖𝑗+1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
Calcule 𝐴𝑇 − 4𝐼2 
9 – Determine as matrizes A=(𝑎𝑖𝑗)2𝑥2 onde 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 − 3𝑗 𝑒 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)2𝑥2 
𝑏𝑖𝑗 = {
𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
 
2 
 
10 – Determine a matriz X: 
A=(
2 1
3 −1
) B=(
−1 2
1 0
) C=(
4 −1
2 1
) 
𝑋 − 𝐴
2
=
𝐵 + 𝑋
3
+ 𝐶 
11-) Seja A=
 
3x2ij
a
, onde 
ija
=i + j. Determine m, n e p em B=








5p2m1n
43nm
 a fim de que 
tenhamos A=B. 
12-) Determine a, b, x e y, tais que: 
.
11
23
yx2ba
yxba













 
13-) Determine x e y, tais que: 
a) 
.
64
5
3
x
y
xlog
2
2





















 b) 
.
y2x51
05
71
0y3x2












 
 
14) Sendo A=






3
2
1
0
4
1
 e B=






124
103
, calcule: 
a-) A + B b-) A – B c-) B – A 
15) Calcule x, y e z, tais que 


















 04
z23
17
71
1yx
zx2
. 
16) Sendo A=
 
2x3ij
a
, onde 
ija
=2i-j, e B=
 
2x3ij
b
, com 
ijb
= 
,ji2 
 calcule: 
a-) A – B b-) B – A c-) 
 tBA 
 
17) Sendo A= 






20
02
 e 







30
03
B
, determinar as matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 
2X – Y = A – B. 
18) Dadas as matrizes A=






10
32
, 







23
40
B
 e C=






180
1415
 calcule: 
a-) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A) 
3 
 
b-) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C 
c-) a matriz X, tal que 3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C) 
19) Sendo A=










0
3
2 e B=









 
2
0
1 , determine as matrizes X e Y, tais que 3X – Y = 2A – B e 
X + Y = A – B 
20) Sendo A= 





 
23
12
 e 









11
10
B
, calcule as matrizes X e Y no sistema 





AY2X3
BY3X2
. 
21) Sendo A= 










112
010
321 e B=-2A, determine a matriz X, tal que 
B
2
1
A3X2 
 
22) Dadas as matrizes A=



























531
531
531
B,
431
541
532
3x3
 e C=













321
431
422 . Calcule: 
a-) A.B b-) B.A c-) A.C d-) C.A 
23 - Seja a matriz A = (aij)3x3, definida por 𝑎𝑖𝑗 = {
(
2𝑖
𝑗
) 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑖 + 𝑗 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 . Determine que a soma dos 
elementos da 2ª coluna. 
24 - Efetue: 
a)(
5 −3
−1 4
) (
3
−2
) b)(
5 2
−1 4
) (
2 −1
0 3
) c) (
1 0 0
1 1 0
0 1 1
) (
2 2 1
1 2 2
2 1 2
) 
25 - Dadas as matrizes: 
𝐴 = [
3 1
5 2
] 𝐵 = [
2 −3
4 4
] 𝐶 = [
6 4
−2 −1
] 
 Verifique se 
a) (𝐴. 𝐵)−1 = 𝐵−1. 𝐴−1 b) (𝐴𝐵𝐶)−1 = 𝐶−1𝐵−1𝐴−1 
26 - Calcule a inversa pelo método da adjunta, se possível: 
4 
 
a) 𝐴 = [
0 1 2
2 4 1
1 2 0
] b) 𝐵 = [
1 1 0
2 0 1
1 2 2
] c) 𝐶 = [
1 0 0
1 3 0
1 1 1
] d) 𝐷 = [
2 1
1 2
] 
e) 𝐸 = [
1 0 0
1 1 0
1 1 1
] f) 𝐹 = [
1 0 1
1 1 0
−3 −4 1
] g) 𝐺 = [
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 0
−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 0
0 0 1
] 
27 – Calcule as alíneas a), b), c) e e) pela definição 
28 - Verifique se 𝐴𝑇 = 𝐴−1 
𝐴 = [
√2
2
√2
2
−
√2
2
√2
2
] 𝐵 = [
𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
] 
29 - Considere a matriz 
𝐴 = [
1 1 1
1 2 3
−1 −2 𝑘
] 𝐵 = [
1 0 −𝑘
−1 3 1
0 2𝑘 −4
], k_ real 
a) Determine os valores de k para os quais a matriz A e B seja invertível 
b) Determine a inversa de A para k=0 
30 - Considere a matriz 
𝐴 = [
2 1 3
0 1 4
1 1 1
] 
Calcule a |𝐴−1| sem calcular 𝐴−1. 
31 - Considere as matrizes: 
𝐴 = [
1 0 1
0 1 5
3 0 1
] 𝐵 = [
2 2 2
0 2 2
1 1 2
] 
Calcule: 
a) det(3A) b) det(𝐴−1𝐵𝑇) 
32 - Calcule o determinante da matriz quadrada A de ordem n= 3 com elementos 
𝑎𝑖𝑗 = {
cos(𝑖 + 𝑗) 𝜋, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑠𝑒𝑛𝜋, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
 
5 
 
33 - Considere a matriz 
𝐴 = [
𝑎 0 0
0 𝑏 0
0 0 𝑐
] com a,b e c escalares não nulos 
Calcule 
a) |𝐴| b) |𝐴−1| c) |𝐴𝑇| 
34 - Dadas as matrizes 
𝐴 = [
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑑 𝑒
0 0 𝑓
] e 𝐵 = [
𝑝 0 0
𝑞 𝑟 0
𝑠 𝑡 𝑢
] 
Calcule det(A.B) 
35 - Calcule 
a) |
𝑎 𝑏 𝑎 + 𝑏
𝑐 𝑑 𝑐 + 𝑑
𝑚 𝑛 𝑚 + 𝑛
| 
36 - Seja a matriz 
A=[
𝑎 𝑏 𝑐
𝑚 𝑛 𝑝
𝑧 𝑦 𝑧
] e det(A)=8, calcule 
a) det(2A) b) det(-3A) 
 
37 - Resolva a equação |
3 1
𝑥 − 1 −1
|= 3. 
 
38 - Se A =(
2 −1
4 5
), calcule o valor do determinante de (
𝐴2
7
− 2𝐴) 
 
. 
39 - Resolva as equações: 
 
a) |
𝑥 𝑥 + 2
5 7
|= 0 b) |
𝑥 𝑥
5 𝑥
|= 0 c) |
𝑥 + 3 5
1 𝑥 − 1
|= 0 
40 - Determine em IR a solução da equação: |
2 𝑥 𝑥
−1 −2 −1
3 1 2
|= 8 – log84. 
 
6 
 
41 - Sabendo que a = |
1 3
2 2
| e b =|
1 3 1
2 2 1
1 1 3
|, efetue a2 – 2b. 
42 - Resolver a equação|
𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 4
𝑥 4 4
|= 0 
 
 
43 - Resolva as equações: 
 
a) |
2 4 1
2 4 𝑥
3 1 2
|= 0 b) |
2 3 −2
0 1 𝑥
2 𝑥 −3
|= 2 c) |
𝑥 + 1 3 𝑥
3 𝑥 1
𝑥 2 𝑥 − 1
| = 0 
44 – Encontre o determinante de cada matriz. 
a) 
0140
3121
5340
2132


 b) 
1402
1643
4121
3000


 c) 
1000
1000
4120
3198

 
45 - Sabendo que 1470
4327
8552
2167
11432




, calcule os determinantes das seguintes matrizes. 
a) 
11432
8552
2167
4327



 b) 
41427
8452
21467
11432



 c) 
4627
81052
2267
11832



 
 
46 – Resolva e classifique os sistemas de equações lineares pelo método de Gauss-Jordan, pela 
inversa excepto nas alíneas g i e j: 
a) {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13
 b) {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 16
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 15
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 c) {
𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 2
3𝑥 − 𝑧 = −9
3𝑦 + 2𝑧 = −9
 
d){
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 0
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 5
−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −2
 e) {
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 9
3𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 3
 f) {
2𝑥1 + 3𝑥2 − 10 = 0
𝑥1 − 𝑥3 − 5 = 0
𝑥2 − 𝑥3 − 3 = 0
 
7 
 
g) {
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 4
2𝑥1 + 3𝑥2 − 5𝑥3 = −11
3𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 7
 h) [
1 4 7
2 3 6
3 1 −1
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
2
2
8
] i) {
𝑥 + 𝑦 + −𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 5 
j) {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
 k) {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = −5
−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = −2
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 2
−3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = −6
 
 
47 - Resolva os seguintes sistemas de equações lineares pelo método de Cramer: 
a) {
4𝑦 + 3𝑧 = 2
𝑥 − 𝑧 = 0
2𝑥 − 8𝑦 − 4𝑧 = 4
 b) {
−2𝑏 + 3𝑐 = 1
3𝑎 + 6𝑏 − 3𝑐 = −2
6𝑎 + 6𝑏 + 3𝑐 = 5
 c) {
𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 8
−𝑎 − 2𝑏 + 3𝑐 = 1
3𝑎 − 7𝑏 + 4𝑐 = 10
 
d) {
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = −1
2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 − 2𝑤 = −2
−𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + 𝑤 = 1
3𝑥 − 3𝑤 = −3
 
 
48 – Determine o valor de 
𝑥+𝑦
2
 no sistema 
{
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 8
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 7
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 11
 
 
49 – Qual é o valor de 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 no sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 5
𝑥 − 𝑧 = 6
 
50 – Sendo 𝑎 ≠ 1, qual o valor de y-x no sistema 
{
𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑎2
𝑥 + 𝑦 = 2𝑎 − 1
 
51 – Resolvendo o sistema abaixo, vemos que x+2y+5z vale: 
{
𝑥 = 2𝑦
2𝑦 = 3𝑧
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
 
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6 
8 
 
52 - Discuta os sistemas abaixo em função do parâmetro k. 
 
a) {
𝑘𝑥 + 2𝑦 = 3
4𝑥 + 6𝑦 = 9
 b) {
3𝑥 + 4𝑦 = 8
6𝑥 + 𝑘𝑦 = 7
 
53 - Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x, y e z. Calcule o valor de a para 
que o sistema 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 1
−2𝑦 + 𝑧 = 𝑎
 
admita infinitas soluções. 
54 - O valor de m para que o sistema seja possível e determinado é: 
{
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 6
𝑚𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 9
 
55 - Seja o sistema: {
3𝑥 + 𝑦 = 𝑘2 − 9
𝑥 − 2𝑦 = 𝑘 + 3
. Calcule k para que o sistema seja homogêneo. 
56 - Discuta os sistemas: 
a) {
𝑚𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 𝑚
 b) {
𝑘𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 2
 c) {
7𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 10
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
4𝑥 + 𝑦 + 𝑝𝑧 = 𝑞
 
57 - Resolva, por escalonamento, os sistemas lineares homogêneos abaixo: 
 
a) {
3𝑥 + 2𝑦 − 12𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = 0
 b) {
4𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = 0
 c) {
𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 0
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
9