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MAT1154 Prova 1 05/04/2010 1. [2 pt] Considere o problema de valor inicial (PVI):{ y′(t) = 2ty2 y(0) = a (a) Supondo a = 1, encontre a solução do PVI y = y(t) como função explícita de t. Diga também em qual intervalo a solução está definida. (b) Supondo a = 0, encontre a solução do PVI y = y(t) como função explícita de t. Diga também em qual intervalo a solução está definida. (c) Supondo a = −1, encontre a solução do PVI y = y(t) como função explícita de t. Diga também em qual intervalo a solução está definida. Resolução: Para não ter que refazer as contas nos três casos, é melhor encontrar a solução geral. Vemos que a equação é separável, e resolvemos: dy dt = 2ty2 dy y2 = 2t dt −1 y = t2 + C y = −1 C + t2 . Substituindo t = 0, temos a = y(0) = −1/C, logo C = −1/a. Portanto: (a) Se a = 1 então C = −1 e a solução é y(t) = 1 1− t2 . O denominador se anula quando t = ±1; e o intervalo onde a solução está definida deve conter t = 0; logo este intervalo é −1 < t < 1 , também escrito (−1, 1) . (c) Se a = −1 então C = 1 e a solução é y(t) = −1 1 + t2 . O denominador nunca se anula, logo o intervalo onde a solução está definida é a reta inteira, isto é, (−∞,+∞) ou R . (b) Se a = 0 então C = −1/0, opa! Aconteceu um problema aqui pois na resolução da equação separável mandamos y2 para o denominador, implicitamente proibindo y de ser zero. Então temos que proceder de outra forma para encontrar a solução correspondente ao valor inicial y(0) = 0. Notamos que o campo de linhas é hori- zontal no eixo horizontal (pois 2ty2 vale 0 quando y = 0). Logo a função constante y(t) = 0 é uma∗ solução do PVI com a = 0. Esta solução está definida em toda a reta (−∞,+∞) = R . Obs: Outra maneira (um pouco menos clara, mas aceitável) de chegar na solução y(t) = 0 é a seguinte: Se a→ 0 então C = −1/a→ ±∞ e y(t) = −1 C+t2 → 0. Obs: Aqui vai uma terceira resolução: A fórmula da solução geral y(t) = −1 C+t2 não é tão geral assim pois deixou uma solução de fora. Porém substituindo C = −1/a e simplificando temos y(t) = a 1−at2 . Esta fórmula dá a solução do PVI (como pode ser verificar fazendo a conta). A fórmula faz sentido mesmo para a = 0; portanto esta fórmula é a melhor expressão para a solução geral. MAT1154 Prova 1 Folha 2 de 5 2. [11/2 pt] Encontre o valor de b para o qual a equação abaixo é exata, e resolva a equação para este valor de b. (2x− 2y) + (bx + 2y)dy dx = 0. Desenhe os gráficos no plano cartesiano xy das soluções encontradas. Resolução: Para que uma equação da forma M +N dy dx = 0 seja exata, é necessário que ∂M ∂y = ∂N ∂x . Aplicando ao caso em questão, devemos ter b = −2 . Quando a equação é exata, suas soluções são da forma F (x, y) = c, onde ∂F ∂x = M e ∂F ∂y = N . Ou seja ∂F ∂x = 2x− 2y ∂F ∂y = −2x + 2y Integrando a primeira equação em relação a x, temos F (x, y) = x2 − 2xy + φ(y). Logo ∂F ∂y = −2x + φ′(y). Pela segunda equação acima, temos φ′(y) = 2y; logo φ(y) = y2 + const. Logo a solução geral da equação (em forma implícita) é x2 − 2xy + y2 = c . Lembrando o produto notável x2− 2xy+ y2 = (x− y)2, vemos que a solução geral pode ser expressa de maneira mais simples como x − y = ±√c ou ainda y = x+ k (k = outra constante). Portanto os gráficos das soluções são retas paralelas: Obs: Outra maneira de ter percebido que os gráficos das soluções eram retas é a seguinte: A equação é (2x− 2y) + (−2x + 2y)dy dx = 0. Dividindo por 2x− 2y fica 1− dy dx = 0 e aí está óbvio. Obs: Ainda outra maneira de chegar nas retas: Usamos Báscara para isolar y em função de x: y = 2x± √ (2x)2 − 4(x2 − c) 2 = 2x±√c 2 = x+ k. 3. Um tanque contém 50 litros de água, inicialmente (isto é, em t = 0) pura. Por uma mangueirinha entra continuamente no tanque, à taxa de 2 litros por hora, uma solução de água doce com concentração de 5e−0,14t gramas de açúcar por litro de solução (sendo t o tempo medido em horas). Por um buraco vaza solução à taxa de 2 litros por hora. Seja y(t) a quantidade de açúcar em gramas no tanque após t horas. MAT1154 Prova 1 Folha 3 de 5 (a) [1 pt] Mostre que a função y(t) satisfaz uma equação diferencial da forma dy dt = aebt + cy, e diga quanto valem a, b e c. (b) [2 pt] Resolva o PVI e encontre uma fórmula para y(t). Resolução: A primeira coisa a ser notada é que a quantidade de líquido no tanque é constante: 50 litros. Depois, taxa de variação dy dt = taxa de entrada − taxa de saída A taxa de entrada de açúcar é 5e−0,14t gramas litro · 2 litros hora = 10e−0,14t litros hora A taxa de saída de açúcar é y(t) gramas 50 litros · 2 litros hora = 0,04y(t). Portanto a equação diferencial para o problema é dy dt = 10e−0,14t − 0,04y Isto resolve o primeiro item, mostrando que a = 10 , b = −0,14 e c = −0,04 . Para resolver a equação, a reescrevemos como dy dt + 0,04y = 10e−0,14t, que reconhecemos como uma EDO linear. Há várias maneiras de resolver a equação; façamos pelo método do fator integrante (FI). O FI é e R 0,04 dt = e0,04t. Multiplicando a equação pelo FI dos dois lados temos e0,04t dy dt + 0,04e0,04ty︸ ︷︷ ︸ d dt (e0,04ty) = e0,04t · 10e−0,14t︸ ︷︷ ︸ 10e−0,1t e0,04ty = ∫ 10e−0,1t dt = −100e−0,1t +K y = −100e−0,14t +Ke−0,04t Substituindo a condição inicial y(0) = 0, encontramos 0 = −100+K. Logo a resposta é y(t) = 100 ( e−0,04t − e−0,14t) . Apenas para ilustração, aqui vai o gráfico: MAT1154 Prova 1 Folha 4 de 5 Obs: Em geral a solução do PVI y′ = aebt + cy, y(0) = 0 (com b 6= c) é y(t) = a c− b ( ect − ebt ) . 4. [2 pt] Considere uma espécie cuja população y(t) no instante t satisfaz a equação diferencial seguinte: dy dt = −18y + 9y2 − y3 Responda: (a) Se a população inicial é y(0) = 2, a população tenderá a longo prazo a um valor de equilíbrio? Em caso positivo, qual? (b) Se a população inicial é y(0) = 4, a população tenderá a longo prazo a um valor de equilíbrio? Em caso positivo, qual? (c) Se a população inicial é y(0) = 8, a população tenderá a longo prazo a um valor de equilíbrio? Em caso positivo, qual? Resolução: Esta é uma EDO autônoma. Para responder às perguntas não é necessário resolver a equação; basta uma análise qualitativa. Começamos encontrando os pontos de equilíbrio, isto é, as raízes de f(y) = −18y + 9y2 − y3 = 0. Podemos fatorar −18y + 9y2 − y3 = y(18 + 9y − y2). Assim um ponto de equilíbrio é y = 0, e os outros dois são encontrados usando Báscara: y = 3 e y = 6. Percebemos (testando alguns valores, por exemplo) que: (a) f(y) é negativa para 0 < y < 3 – logo estes pontos se movem para a esquerda, isto é, para o 0; (b) f(y) é positiva para 3 < y < 6 – logo estes pontos se movem para a direita, isto é, para o 6; (c) f(y) é positiva para y > 6 – logo estes pontos se movem para a esquerda, isto é, para o 6; Logo as respostas são: (a) Se y(0) = 2 então a longo prazo a população (diminuirá e) tenderá ao valor de equilíbrio 0, isto é, se extinguirá. MAT1154 Prova 1 Folha 5 de 5 (b) Se y(0) = 4 então a longo prazo a população (crescerá e) tenderá ao valor de equilíbrio 6. (b) Se y(0) = 8 então a longo prazo a população (diminuirá e) tenderá ao valor de equilíbrio 6. Apenas para ilustração, aqui vai o gráfico de z = f(y): Os valores y = 0 e y = 6 são equilíbrios estáveis (atratores), e o valor y = 3 é um equilíbrio intável (repulsor). 5. [11/2 pt] A fim de comprar um apartamento, o Sr. Urbano contraiu hoje uma dívida de R$ 100 000 com o Banco Sharks. Ao final de cada mês, o Banco Sharks cobrará 2% de juros sobre a dívida, e o Sr. Urbano realizará um pagamento de a reais. (Por exemplo, se o Sr. Urbano decidir pagar apenas a = 500 reais por mês, então após 1 mês a sua dívida será de R$ 101 500, após 2 meses a dívida será de R$103 030, etc. (Neste caso, a dívida não será quitada nunca, e de fato o Banco Sharks tomará o apartamento do Sr. Urbano.)) O Sr. Urbano quer quitar a dívida em 120 meses. Qual deve ser o valor a do pagamento mensal? Resolução: Seja yn a dívida no mês n. A sequência destes valores satisfaz a equação de diferenças yn+1 = ρyn − a, onde ρ = 1,02. A solução (conforme visto em aula) é yn = ρ ny0 − ρ n − 1 ρ− 1 · a. A condição inicial é y0 = 100000. Queremos ter y120 = 0. Substituindo na fórmula, temos 0 = 1,02120 × 100 000 − 1,02 120 − 1 1,02 − 1 × a. De onde isolamos o valor procurado: a = 1,02120 1,02120 − 1 × 0,02× 100 000 = 2204,81 reais. Obs: Usando a aproximação 1,02120 ≃ 11 (dada na sala), encontramos a resposta apro- ximada a ≃ 2 200 reais .
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