P2.2010.1

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MAT1154 Prova 2 10/05/2010
Nome:
Matrícula: Turma: 33
Cabeçalho mal-preenchido implica perda de meio ponto! Consulta, calculadora e celular são
proibidos. Justifique as questões de forma clara. Escreva a resolução de cada questão na folha
correspondente; você pode usar o verso. Proibido destacar as folhas da prova.�� ��Escreva as respostas finais a caneta.
Questão 1 2 3 4 Total
Valor: 21/2 4 2 11/2 10
Nota:
1. (a) [1 pt] Encontre a solução geral da EDO y′′(t) + 2y′(t) + 2y(t) = 0.
(b) [1 pt] Resolva o PVI 

y′′(t) + 2y′(t) + 2y(t) = 0
y(0) = 1
y′(0) = 0
(c) [1/2 pt] Se possível, escreva a função y(t) encontrada no item (b) em uma forma “com-
pacta”, usando apenas uma função seno ou apenas uma função cosseno.
MAT1154 Prova 2 Folha 2 de 5
2. (a) [1 pt] Encontre a solução geral da EDO y′′(t) + y′(t)− 6y(t) = 0.
(b) [1 pt] Determine para qual (quais) valor(es) de a a solução do PVI abaixo converge
para 0 quando t→ +∞.


y′′(t) + y′(t)− 6y(t) = 0
y(0) = a
y′(0) = 1
MAT1154 Prova 2 Folha 3 de 5
(Continuação da Questão 2)
(c) [2 pt] Encontre a solução geral da EDO y′′(t) + y′(t)− 6y(t) = t + e−4t.
MAT1154 Prova 2 Folha 4 de 5
3. [2 pt] Encontre a solução geral da EDO de 3a ordem y′′′ + 8y = 0.
MAT1154 Prova 2 Folha 5 de 5
4. [11/2 pt] Diga se cada uma das afirmações abaixo é Verdadeira ou Falsa.#
"
 
!
Esta questão não precisa ser justificada.
Preencha as respostas em cada lacuna A CANETA.
Cada resposta correta conta +0,25pt.; cada resposta errada conta −0,25pt.;
cada item em branco conta 0.
Cuidado! Esta questão pode receber nota negativa!
(a) Se y = y1(t) e y = y2(t) são soluções da EDO y
′′+t3y′+
√
ty = 0 então necessariamente
y = y1(t) + y2(t) é também solução.
(a)
(b) Se y = y1(t) e y = y2(t) são soluções particulares de uma equação diferencial linear
homogênea de 2a ordem e o respectivo Wronskiano vale identicamente 0 então não
existe solução geral para esta EDO.
(b)
(c) Um sistema massa–mola é regido pela EDOmy′′+γy′+ky = 0, comm, γ e k constantes
positivas. Se γ2 − 4mk < 0 então existe uma solução y = y(t) com o gráfico abaixo:
(c)
(d) Sejam a, b, c constantes reais. Se y = y1(t) é uma solução da EDO ay
′′ + by′ + cy = t2
e y = y2(t) é uma solução da EDO ay
′′ + by′ + cy = cos t então y = y1(t)y2(t) é
necessariamente uma solução da EDO ay′′ + by′ + cy = t2 cos t.
(d)
(e) y = et − 1
2
cos t é uma solução particular da EDO y′′ − y = cos t.
(e)
(f) Sabendo que o gráfico de P (r) = 6r3 + 16r2 + 10r + 1 é como abaixo:
podemos concluir que qualquer solução y = y(t) da EDO 6y′′′ + 16y′′ + 10y′ + y = 0
converge a zero quando t→ +∞.
(f)