P3.2010.1

Prévia do material em texto

MAT1154 Prova 3 09/06/2010
Nome:
Matrícula: Turma: 33
Cabeçalho mal-preenchido implica perda de meio ponto! Consulta, calculadora e celular são
proibidos. Justifique as questões de forma clara. Escreva a resolução de cada questão na folha
correspondente; você pode usar o verso. Proibido destacar as folhas da prova.�� ��Escreva as respostas finais a caneta.
Questão 1 2 3 4 5 Total
Valor: 21/2 21/2 11/2 2 11/2 10
Nota:
1. [21/2 pt] Resolva o problema de valor inicial{
x′ = −x− y
y′ = 9x− y
{
x(0) = 1
y(0) = 0
MAT1154 Prova 3 Folha 2 de 5
2. [21/2 pt] Seja X(t) =
(
x(t)
y(t)
)
. Considere as matrizes seguintes:
A =
(
1 2
0 −2
)
E =
(
1 3
−2 −1
)
B =
(
3 0
0 3
)
F =
(
1 1
2 2
)
C =
(−2 2
−2 −1
)
G =
(
2 3
1 5
)
D =
(−2 2
−2 −7
)
H =
(
1 −2
2 1
)
Abaixo estão os retratos de fase dos sistemas X ′ = A ·X, . . . , X ′ = H ·X (em outra ordem).
Ao lado de cada desenho, escreva A CANETA qual é a (letra da) matriz correspondente
(A ou B ou . . . ou H). Esta questão não precisa ser justificada.
MAT1154 Prova 3 Folha 3 de 5
3. [11/2 pt] Sabe-se que o sistema de EDO’s{
x′ = ax+ by
y′ = cx+ dy
tem uma solução particular (x(t), y(t)) = (f(t), g(t)), e uma outra (x(t), y(t)) = (h(t),−h(t)),
onde as funções f(t), g(t), h(t), −h(t) têm os seguintes gráficos:
Desenhe o retrato de fase do sistema de EDO’s, da melhor maneira possível. (O seu desenho
deve incluir diversas trajetórias com flechinhas, como nas figuras da Questão 2.) Indique no
seu desenho quais são as duas soluções particulares apresentadas acima.
MAT1154 Prova 3 Folha 4 de 5
4. [2 pt] Encontre todos os pontos de equilíbrio do sistema de EDO’s abaixo, e classifique cada
um desses pontos como atrator, ou repulsor, ou sela, se possível.{
x′ = x2 − 3 cos y
y′ = yex
MAT1154 Prova 3 Folha 5 de 5
5. [11/2 pt] Considere o sistema {
x′ = ey − e−y
y′ = −x3
cujo retrato de fase é mostrado abaixo:
Encontre uma função F (x, y) cujas curvas de nível sejam exatamente as curvas fechadas que
aparecem na figura.