Gabarito da Tarefa_2_administracao 1bi_2015_2.pdf

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
Ciências Econômicas 
Matemática para Administração 
 Prof. Rodrigo Orsini Braga 
 
 
 
Gabarito da Tarefa 2 – Módulo 2 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Sabendo que a função afim 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 passa pelos pontos A(1, 2) e B(-1, 4): 
a) Determine o valor de “𝑎” (coeficiente angular) e “𝑏” (coeficiente linear). 
 
Solução: Como (1, 2) é um ponto da reta, substituímos x por 1 e y por 2 na equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 2 = 𝑎(1) + 𝑏 → 𝑎 + 𝑏 = 2 
Como (-1, 4) é um ponto da reta, substituímos x por -1 e y por 4 na equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 4 = 𝑎(−1) + 𝑏 → − 𝑎 + 𝑏 = 4 
Assim, temos o seguinte sistema: 
 {
 𝑎 + 𝑏 = 2
− 𝑎 + 𝑏 = 4
 
Somando as duas equações, vamos ter: 
 0 + 2𝑏 = 6 → 𝑏 =
6
2
= 3. 
Substituindo 𝑏 = 3 em qualquer uma das duas equações, por exemplo, 𝑎 + 𝑏 = 2, vamos ter: 
 𝑎 + 3 = 2 → 𝑎 = 3 − 4 = −1 
Logo, 𝑎 = −1 e 𝑏 = 3, e a função é dada por: 𝑦 = −𝑥 + 3. 
 
(b) Faça o gráfico desta função (faça pelo menos no intervalo de x=-2 até x=2.) 
 
x Y=-x+3 
-2 5 
-1 4 
0 3 
1 2 
2 1 
3 0 
4 -1 
 
 
 
 
 
 
c) Explique se a função é crescente ou decrescente. 
A função é decrescente pois a= -1 < 0 (negativo). 
d) Determine o valor de y para x = - 7 
𝑦 = −(−7) + 3 = 7 + 3 = 10. 
e) Determine o valor de x para y = - 4 
−4 = −𝑥 + 3 → 𝑥 = 3 + 4 → 𝑥 = 7. 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
Para um fabricante que só produz certo tipo de peça, o custo total cresce linearmente com a 
quantidade x de peças produzidas. O custo fixo do fabricante é de 1250 reais, e o custo total para 
produzir 50 unidades do produto é de 5000 reais. 
(a) Estabeleça a lei que representa o custo total em função da quantidade x de peças produzidas. 
 
 
 
Sabemos que o custo total é da forma C(x)=ax+b, pois diz que o custo cresce linearmente, sendo 
b o custo fixo e a o valor do custo variável por peça. Assim, temos que b=1250 e como o custo 
total de 50 unidades é de 5000, temos que: 
5000 = 𝑎. (50) + 1250 → 50𝑎 = 5000 − 1250 → 50𝑎 = 3750 → 𝑎 =
3750
50
= 75, 
ou seja, o custo variável por peça é de 75 reais, e portanto, a função do custo total é dada por: 
𝐶(𝑥) = 75𝑥 + 1250; 
(b) Qual o significado de cada coeficiente da função do custo? Explique cada um deles. 
O “a” é o custo variável por peça, ou seja, cada peça custa 75 reais; e o “b” é o custo fixo, ou seja, 
além do custo variável por peças produzidas, ainda há um custo fixo de 1250 reais. 
 
(c) Qual o custo total de 150 peças? 
Para x=150, temos 𝐶(150) = 75. (150) + 1250 = 11250 + 1250 = 12500 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
 
(d) Se o custo total foi de 20000 reais, quantas peças foram produzidas? 
20000 = 75𝑥 + 1250 → 75𝑥 = 20000 − 1250 → 75𝑥 = 18750 → 𝑥 =
18750
75
= 250 𝑝𝑒ç𝑎𝑠. 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
De acordo com fontes industriais, o faturamento de vendas por telefone de uma certa empresa ao 
longo dos anos desde a sua criação pode ser aproximado pela função: 
𝑦 = −𝑥2 + 18𝑥 + 49 
onde 𝑦 representa o faturamento em bilhões de dólares e 𝑥 é medido em anos, com 𝑥 = 0 
correspondendo ao início de 1990, x=1 correspondendo ao início de 1991, e assim por diante. 
(a) Qual foi o faturamento no início do ano 1993? 
Se 1990 corresponde a 𝑥 = 0, temos que 1993 corresponde a 𝑥 = 3, logo 
 𝑦 = −(3)2 + 18(3) + 49 = −9 + 54 + 49 = 94 bilhões de dólares. 
(b) No período entre 1990 e 2010, em que ano o faturamento foi de 30 bilhões de dólares? 
Temos que achar o valor de x para o qual y=30, e assim, tem que resolver a equação do 2º grau: 
30 = −𝑥2 + 18𝑥 + 49 → 𝑥2 − 18𝑥 − 19 = 0 → 𝑥 =
−(−18) ± √182 − 4. (1). (−19)
2. (1)
 
𝑥 =
18 ± √324 + 76
2
=
18 ± 20
2
→ 𝑥′ =
38
2
= 19, 𝑥′′ = −
2
2
= −1. 
Como x é o tempo contado positivo a partir de x=0, quando era o ano de 1990, então a resposta é 
x=19, e portanto, no ano 1990+19 = 2009. 
(c) No período entre 1990 e 2010, em que ano o faturamento foi máximo? E qual foi este faturamento 
máximo em bilhões de dólares? 
O máximo ocorre no ponto em que a parábola para de crescer e começa a decrescer que é no 
vértice. Logo, 
𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎
=
−18
2(−1)
=
18
2
= 9. 
 
Ou seja, após 9 anos a contar de 1990, ou seja, no ano de 1999. O faturamento máximo foi de: 
𝑦 = −(9)2 + 18(9) + 49 = −81 + 162 + 49 = 130 bilhões de dólares. 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Para uma pequena empresa de fabricação têxtil, o preço de uma camisa varia de acordo com a 
função p = -2x + 108, onde x é o número de camisas e p é o preço (em reais) de cada camisa 
vendida. Sabendo que o custo para a produção e comercialização de x camisas é dado por 
C(x) = 12x + 270, determine: 
 
(a) A função receita. 
A função receita é dada por R(x) = p.x, logo, 𝑅(𝑥) = (−2𝑥 + 108). 𝑥 = −2𝑥2 + 108𝑥 
(b) A função lucro. 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = −2𝑥2 + 108𝑥 − (12𝑥 + 270) = −2𝑥2 + 108𝑥 − 12𝑥 − 270 
= −2𝑥2 + 96𝑥 − 270. 
(c) A quantidade de camisas vendidas para que o lucro seja máximo. 
O máximo ocorre no ponto em que a parábola para de crescer e começa a decrescer que é no 
vértice. Logo, 
𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎
=
−96
2(−2)
=
96
4
= 24. 
Ou seja, a quantidade de camisas para que o lucro seja máximo é de 24 camisas. 
(d) Indique o vértice da parábola, e as raízes onde o gráfico intercepta o eixo x e mostre um 
esboço de como fica o gráfico da função lucro. 
Para o vértice, temos que x=24 camisas, e 𝐿 = −2(24)2 + 96. (24) − 270 = 882 reais. 
As raízes são os valores de x para os quais a função é igual a zero. Assim temos que: 
−2𝑥2 + 96𝑥 − 270 = 0 → → 𝑥 =
−(96) ± √962 − 4. (−2). (−270)
2. (−2)
 
𝑥 =
−96 ± √7056
−4
=
−96 ± 84
−4
→ 𝑥′ =
−180
−4
= 45, 𝑥′′ =
−12
−4
= 3 
As raízes são 3 e 45. 
 
Esboço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(e) O intervalo em que o lucro cresce. 
 
O lucro é crescente no intervalo [0, 24].