UFTM A3 INT.ENG.TRANSPORTES ok

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INTRODUÇÃO A ENGENHARIA DE TRANSPORTES
Assunto 3 - Modelos de sistemas de transportes
Professora: Viviane Adriano Falcão, Dra. Eng.
Universidade Federal do Triângulo Mineiro
Técnicas de análise de regressão
Coleta de dados  relação entre variáveis
Variável dependente (Y) e variável independente (X)
Y = a + b*X
Método dos mínimos quadrados  determinar os coeficientes
Minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os estimados
Regressão Linear
Os valores de a e b são determinados de modo a minimizar a soma dos quadrados dos erros dos valores observados de Y e sua estimativa Ŷ. Isto é, minimizar S dado por:
O método acima é conhecido como o "método de mínimos quadrados." Os valores de a e b são determinados igualando a zero as derivadas parciais do S em relação a e b na equação acima. Isto irá conduzir ao seguinte:
Refazer em casa o exemplo 2.6 do livro texto
Regressão Linear
Coeficiente de determinação – R²
Soma dos Quadrados Explicada, indica-nos a diferença entre a média das observações e o valor estimado para cada observação, e soma os respectivos quadrados.
Soma dos Quadrados dos Resíduos, que calcula a parte que não é explicada pelo modelo.
Coeficiente de determinação – R²
Técnicas de análise de regressão
Exemplo 2.7 – Análise de regressão linear com duas ou mais variáveis independentes
A força e a durabilidade de um trecho de pavimento são expressas por um índice chamado Índice de Condição do Pavimento (PCI, em inglês), que varia de 0 a 100. O PCI está relacionado a diversas variáveis independentes:
X1=idade em anos do trecho de pavimento desde a construção ou recapeamento
X2=volume diário médio de tráfego (VDM)
X3=número estrutural (NE), uma medida de capacidade do pavimento para suportar as cargas decorrentes do tráfego.
Desenvolver um modelo matemático, a partir dos dados da Tabela 2.2.
Técnicas de análise de regressão
Exemplo 2.9-Utilizando a regressão linear para modelar a relação entre a velocidade e a densidade do tráfego.
Presume-se que a velocidade média de tráfego em uma via expressa em km/h(u) e a densidade de tráfego predominante em veículos/km(k) sejam descritas pela Equação abaixo:
Os dados mostrados na Tabela 2.3 foram coletados por meio da medição da velocidade média do tráfego em diferentes períodos do dia e do registro da densidade correspondente. Determine os valores dos parâmetros a e b da Equação acima.
 
Refazer em casa o exemplo 2.9 do livro texto
Técnicas de análise de regressão
Teoria das probabilidades
Ramo da matemática que trata das incertezas dos acontecimentos;
Jogar dados, cara ou coroa...
Eventos e suas probabilidades;
Medidas de resumo para variáveis aleatórias:
Média : μ = ∑Xi/n; 
Variância: var= ∑(Xi- μ)²/(n-1)
Desvio padrão: √var
Distribuição de probabilidades
Distribuição binomial
Sucesso ou fracasso
número de tentativas n , x é quantidade de sucessos e probabilidade de sucesso é p 
de sucesso para cada tentativa.
Distribuição Geométrica
Representa a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na x-ésima tentativa.
Exemplo 2.11
Cálculo da probabilidade de pousos de aeronaves 
Um aeroporto atende três tipos diferentes de aeronaves: pesadas, grandes e pequena. Durante uma hora típica, o número de cada tipo de aeronave que pousa é igual a 30 pesadas, 50 grandes e 120 pequenas.
Determine as probabilidades dos seguintes pousos ocorrerem:
A próxima aeronave é pesada.
Exatamente três de cada dez aeronaves são pesadas.
Pelo menos três de cada dez aeronaves são pesadas.
A primeira aeronave pesada será a terceira a pousar.
Refazer em casa o exemplo 2.11 do livro texto
Distribuição de Poisson
Estimar probabilidade de que o número x de eventos ocorra dentro de um intervalo de tempo, t.
Muito utilizada na análise de tráfego.
Padrão de chegadas.
p(x)= probabilidade de que x unidades chegarão no intervalo de tempo t;
λ=taxa média de chegada.
Distribuição de Poisson
Exemplo 2.13-Cálculo da capacidade de acúmulo de veículos em uma faixa exclusiva para conversão à esquerda.
Uma faixa exclusiva para conversão à esquerda na aproximação de uma interseção semaforizada pode acomodar no máximo cinco veículos. 
Distribuição de Poisson
O volume de tráfego é de 900 veículos/h, e 20% deles convertem à esquerda. O ciclo do semáforo é de 60s, e o tempo verde alocado para a conversão à esquerda permite, no máximo, cinco veículos.
Determine a probabilidade de que haverá um excedente de veículos esperando para converter à esquerda, bloqueando, assim, a faixa direita.
Refazer em casa o exemplo 2.13 do livro texto
Distribuição normal
Mais utilizada, descreve vários fenômenos.
Parâmetros: média (μ) e desvio padrão (σ).
Tem formato de sino valores mais próximos da média têm maior probabilidade de ocorrência.
A área sob a curva reflete a probabilidade.
Distribuição normal-PADRÃO
Distribuição normal
Exemplo 2.14-Utilizando a distribuição normal para garantir a disponibilidade de gasolina.
A demanda diária de um posto de gasolina possui distribuição normal com valor médio de 8.000 litros/dia, com desvio padrão igual a 1.600 litros/dia. O posto é abastecido diariamente com 10.000 litros.
Determine:
A probabilidade de que alguns clientes tenham de ir embora do posto em decorrência da falta de combustível;
O número de litro em estoque, de modo que a demanda média seja excedida somente em 1 a cada 20 dias.
Teoria de filas
Ramo da matemática que estuda as filas e suas propriedades;
Série de veículos ou pessoas ou elementos em espera;
Sistema de filas: 1) clientes e 2) servidores;
Exemplosaviões para decolar ou pousar; pessoas esperando para renovar a carteira de motorista; veículos esperando a sua vez no pedágio...
Ferramenta para calcular medidas de desempenho;
E por que as filas se formam?
Taxa de chegada > taxa de partida.
Teoria de filas
Taxa de chegada λ clientes/unidade de tempo.
Taxa de serviço μ clientes/unidade de tempo.
Razão entre taxa de chegada e a taxa de serviço é ρ.
 e denotam o número médio de clientes e o tempo médio de espera por cliente.
O tempo médio gasto no sistema de filas é igual ao tempo de espera na fila mais o tempo de serviço.
Teoria de filas
Tipos de filas, padrão de chegada:
Taxa uniforme Determinística (D);
Exponencialmente distribuídas (M)distribuição de Poisson;
Distribuição de probabilidade geral (G).
Modelos (x/y/z):
x= tempos entre chegadas (D,M ou G);
y= tempos do serviço (D,M ou G);
z= número de servidores ou canais de atendimento.
Fila M/D/1
Modelo mais frequentemente utilizado em transporte e tráfego;
Equações para calcular número médio de clientes aguardando ( ), tempo médio de espera por cliente ( )e tempo médio gasto na fila ( ).
Teoria de filas
Exemplo 2.15-Determinação das características de modelo de filas M/D/1.
Os passageiros chegam ao balcão de check-in de um aeroporto à uma taxa de 70 passageiros/h. O tempo médio do serviço é constante e igual a 45s. Pressupõe-se que os intervalos de tempo entre as chegadas sejam exponenciais.
Determine:
O número médio de clientes que esperam na fila.
O tempo médio de espera na fila.
O tempo médio gasto no sistema.
Refazer em casa o exemplo 2.15 do livro texto
Exemplo 2.15
Taxa de chegada λ clientes/unidade de tempo  70 clientes/ hora.
Taxa de serviço μ clientes/unidade de tempo 1 cliente/45 s = 80 clientes/hora.
Razão entre taxa de chegada e a taxa de serviço é ρ  0,875
O número médio de clientes que esperam na fila3 clientes
O tempo médio de espera na fila2,625 min/cliente
O tempo médio gasto no sistema3,375 min/cliente
Fila M/M/1
Mais realista pois o tempo de serviço também é considerado uma distribuição exponencial.
Equações para calcular número médio de clientes aguardando ( ), tempo médio de espera por cliente ( )e
tempo médio gasto na fila ( ).
Refazer em casa o exemplo 2.16 do livro texto
Pesquisa Operacional
“Pesquisa Operacional é o uso do método científico com o objetivo de prover departamentos executivos de elementos quantitativos para a tomada de decisões” Kittel (1947)
“A Pesquisa Operacional é a aplicação do método científico, por equipes multidisciplinares, a problemas envolvendo o controle de sistemas organizados de forma a fornecer soluções que melhor interessam a determinada organização” Ackoff (1968)
Conceitos-chave: 
a) uso ou aplicação para resolver problemas reais
b) apoio a tomada de decisões
c) multidisciplinariedade
Pesquisa Operacional
Durante a Segunda Guerra Mundial, os líderes militares solicitaram que cientistas estudassem problemas como posicionamento de radares, armazenamento de munições e transporte de tropa, etc...
A aplicação do método científico e de ferramentas matemáticas em operações militares passou a ser chamado de Pesquisa Operacional.
Hoje em dia, Pesquisa Operacional é enfoque científico para Problemas de Decisão.
Técnicas de otimização e tomada de decisão
Otimizar: determinar a “melhor” solução;
Análise objetiva e sistêmica das decisões em um problema real;
Onipresentes na Engenharia de Transportes;
Modelo matemático adequado para o problema solução ótima;
Programação Matemática
Um problema de programação matemática tem por objetivo encontrar os valores para as variáveis de decisão que otimizam (maximizam ou minimizam) uma função objetivo respeitando um conjunto de restrições.Tipos de modelos de programação matemática:
-Programação linear
-Programação inteira
-Programação não-linear
-Programação dinâmica 
-Outros
Fases de um estudo com Programação Matemática
Etapas na Formulação de um Modelo Matemático
Identificar as variáveis de decisão do problema
Construir sua função objetivo
Definir suas restrições
Construção do Modelo
PROBLEMAS CLÁSSICOS
Problema da mistura
PROBLEMAS CLÁSSICOS
Problemas de planejamento
PROBLEMAS CLÁSSICOS
Problemas de alocação de recursos
PROBLEMAS CLÁSSICOS
Problemas de localização e cobertura
Problema de transporte
Ocorre quando há mais de um fornecedor, planta ou armazém para servir a mais de um cliente para o mesmo produto;
São acrescentadas restrições de demanda dos clientes e restrições de capacidade de produção dos fornecedores;
Problema de transporte (Exemplo)
Fábrica 1
Necessidades = 600
Fábrica 2
Necessidades = 500
Fábrica 3
Necessidades = 300
Fornecedor A
Abastecimento  400
Fornecedor C
Abastecimento  500
Fornecedor B
Abastecimento  700
4
a
7
6
5
5
5
9
5
8
a
Tarifa de transporte em U$ por ton para um roteiro ótimo entre o fornecedor A e a fábrica 1
.
Problema do Caixeiro Viajante
Ocorre geralmente quando os veículos de transporte são próprios;
Extensão do problema com ponto de origem e destino diferentes, mas com a restrição adicional de necessidade de retorno.
Problema do Caixeiro Viajante
(Exemplo)
Técnicas de otimização e tomada de decisão
Exemplo 2.17-Utilizando programação linear para maximizar as estratégias de produção.
Uma pequena fábrica produz dois interruptores, A e B. O lucro por unidade do interruptor A é de 20 dólares, enquanto o do interruptor B é de 30 dólares. Em decorrência de obrigações contratatuais, a empresa fabrica pelo menos 25 unidades do interruptor A por semana. Considerando a dimensão da força de trabalho na fábrica, apenas 250 horas de tempo de montagem estão disponíveis por semana. O interruptor A exige 4 horas de montagem, enquanto o B, 3. Formule uma estratégia de produção que maximizará o lucro da empresa.
Exemplo 2.17
Formulação matemática
Variáveis de decisão:
Xa= quantidade de interruptores A produzidos por semana
Xb=quantidade de interruptores B produzidos por semana
Função objetivo: maximizar o lucro.
Maximizar z = 20Xa + 30Xb
Restrições:
Número mínimo de interruptores A por semana;
Xa≥25
Horas disponíveis de montagem;
4Xa + 3Xb≤250
Variáveis positivas.
Xa,Xb≥0
Solução com o LINGO ou LINDO
Entrada de dados
Inserir as expressões lineares
Solução com o LINGO ou LINDO
Resolução
Instalar Solver no EXCEL
Instalar Solver no EXCEL
Instalar Solver no EXCEL
Solução com o EXCEL
Entrada de dados
Inserir as expressões lineares
Solução com o EXCEL
Função somaproduto
Solução com o EXCEL
Formulação Programação Linear
Solução com o EXCEL
Resolução PL
Técnicas de otimização e tomada de decisão
Exemplo 2.18-Otimização dos estoques de materiais de construção.
Um fornecedor oferece pedra britada para vários locais de construção de infraestrutura de transportes. Ele compra o material de três fontes diferentes (A,B e C) por 140 dólares/t, 180 dólares/t e 170 dólares/t, respectivamente, e tem um contrato para atender à demanda de pedra britada semanalmente em quatro locais diferentes de construção. O custo do transportes do material para cada local, a disponibilidade do material e a demanda semanal são apresentados na Tabela 2.5
Determine uma política ótima que atenderia às necessidades nos quatro locais, mas um custo mínimo de transporte para o fornecedor.
Refazer em casa o exemplo 2.18 do livro texto
Exemplo 2.18
Exemplo 2.18
Formulação matemática
Ci,j=custo unitário de transporte de uma tonelada de pedra britada do fornecedor i para o local j;
Si=quantidade disponível no fornecedor i;
Dj=demanda necessária do local j;
Pi=preço de compra de uma tonelada do fornecedor i ;
Variáveis de decisão
Xi,j= toneladas métricas de pedra britada por semana a serem transportadas do fornecedor i para o local j (i=1,...3 e j= 1,...4)
i*j=3*4=12 variáveis de decisão
Função objetivo
Exemplo 2.18
Restrições
Capacidade de oferta
Demanda
Não negatividade
para i = 1, 2 e 3
para j = 1, 2, 3 e 4
para i = 1, 2 e j = 1, 2, 3 e 4
Exemplo 2.18
Exemplo 2.18
Programação Linear aplicada a terraplanagem
Como resolver? Sugestões de formulação?
Seção
Corte
Aterro
1
20
2
40
3
30
4
35
5
45
Zona de Empréstimo
ilimitado
Quantidades estimadas (mil m3)
Custo (corteaterro)
4
5
s (bota-fora)
1
1500
1750
500
2
1000
1250
800
3
500
800
1000
n (empréstimo)
2500
2050
0
Engenharia de Transportes
57
Para casa
Leitura capítulo 2 – Engenharia de Infraestrutura de Transportes.
Exercícios do capítulo 2 livro Engenharia de Infraestrutura de Transportes para entregar dia 29/05/2017- Em trio.
Questões : 10, 11, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 28, 29, 30, 31, 35 e 36.
LINGO/LINDO: http://www.lindo.com/