Apostila de Exercícios Resolvidos - TEORIA DAS ESTRUTURAS I

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1 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 - TEORIA DAS ESTRUTURAS I – TURMA: A - DIURNO 
1º TRABALHO DE APLICAÇÃO – 1ª PARTE 
 
DADO O SISTEMA DE FORÇAS ABAIXO, PEDE-SE: 
1. Reduzi-lo ao Ponto “A”. 
2. Determinar Algebricamente a Resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Sen  = 3/5 = 0,6 sen 

 = 3/5 = 0,6 
Cos  = 4/5 = 0,8 cos 

 = 4/5 = 0,8 


Rx
 = 12 – 10 x 0,6 – 15 x 0,6 = - 3 KN 

Ry
 = 10 x 0,8 – 15 x 0,8 – 20 = - 24 KN 
 
R = 
22 )24()3( 
 = 24,19 KN 

AM
 =10 x 0,8 x 6 –10 x 0,6 x 1,5 +15 x 0,8 x 4 –15 x 0,6 x1,5 –10 = 63,50 KN x m 
 3 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 - TEORIA DAS ESTRUTURAS I – TURMA: J 
1º TRAB. DE APLICAÇÃO – 1ª PARTE – (VALOR: 10 PONTOS) 
 
 
DADO A ESTRUTURA ABAIXO, PEDE-SE: 
1. Reduzir o Sistema de Forças ao Ponto “A” 
2. Determinar a Resultante. 
 
 
 4 
cos  = 4/5 = 0,8 cos  = 4/5 = 0,8 
sen  = 3/5 = 0,6 sen  = 3/5 = 0,6 
 


Rx
 = - 4,8 – 3,6 – 10 = - 18,40 KN 
 

Ry
 = 15 + 4,8 – 6,4 = 13,40KN 
22 )4,13()4,18( R
 = 22,76 KN 
 

AM
 = 20 + 10 x 7,5 – 4,8 x 1,5 – 6,4 x 2 – 4,8 x 4 – 3,6 x 1,5 = 50,40 KNxm 
 
A MA = 50,40 KN x m 
Rx = 18,40 KN 
Ry = 13,40 KN 
R = 22,76 KN 
 5 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 - TEORIA DAS ESTRUTURAS I – TURMA: J - NOTURNO 
1º TRAB. DE APLICAÇÃO – PARTE “B” – VALOR: 15 PONTOS 
 
DADO O SISTEMA DE FORÇAS ABAIXO, PEDE-SE: 
a - Reduzi-lo ao Ponto “A”. 
b - Determinar Algebricamente a Resultante. 
c - Determinar o Eixo Central. d - Determinar o Valor de cos  x. 
55,0
21,7
4
cos 
 
83,0
21,7
6
sen 
 
 
 
 
 
 6 
KNRx 91,211491,35 

 
 
KNRy 95,4284,2879,2348 
 
 
 
22 )95,42()91,21( R
 = 48,22 KN 
 

AM
= 35,91 x 5 + 23,79 x 8 -326 + 48 x 3 + 28,84 x 2 - 14 x 11,33 = 86,93 KN x m 
 
m
R
MA
C 80,1
22,48
93,86

 
 
45,0
22,48
91,21
cos 

x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 - TEORIA DAS ESTRUTURAS I – TURMA: A - DIURNO 
1º TRAB. DE APLICAÇÃO – VALOR: 25 PONTOS 
 
DADO O SISTEMA DE FORÇAS ABAIXO, PEDE-SE: 
1. Reduzi-lo ao Ponto “A”. 
2. Determinar Algebricamente a sua Resultante. 
3. Determinar o seu Eixo Central. 
4. Calcular o cos  y . 
OBS.: Utilizar para os Cálculos Duas Casas Decimais. 
 
 
 
 8 
KNRx 82432 

 sen  = 0,8 cos  = 0,6 
 
KNRy 9181710 
 
22 )9(8 R
 = 12,04 KN 
 
mKN39,735,51852433,117167325,810MA 
 
 
m
R
MA
C 09,6
04,12
39,73

 
 
cos  y = 
75,0
04,12
9


 
 
 
 
 
 
 9 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 - TEORIA DAS ESTRUTURAS I – TURMA: A 
1º TRABALHO DE APLICAÇÃO 
 
 
DADO O SISTEMA DE FORÇAS ABAIXO, PEDE-SE: 
1. Calcular Rx e Ry. 
2. Determinar Algebricamente a Resultante do Sistema. Reduzir o Sistema no 
Ponto “A”. 
3. Calcular o cos  y. 
4. Determinar o Eixo Central. 
OBS.: a) Utilizar duas Casas Decimais. 
 b) Valor da Prova: 17 Pontos 
 
 
 
 
 
 10 
KNRx 1,2161,720 

 
KNRy 1,121,72015 
 
mKN31165,91,75,41,75,5205,1154206MA 
 
 
KN32,24)1,12()1,21(R 22 
 
 
m
R
MA
C 27,1
32,24
31

 
 
5,0
32,24
1,12
cos y
 
 
 
 
 
 
 
 11 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 – TEORIA DAS ESTRUTURAS I – TURMA: A 
1º TRABALHO DE APLICAÇÃO – VALOR: 22 PONTOS 
 
DADO O SISTEMA DE FORÇAS ABAIXO PEDE-SE: 
1. Reduzi-lo ao Ponto “A”; 2. Det. Algebricamente a Resultante; 3. Det. o 
Ângulo que a Resultante faz com o Eixo X; 4. Det. o Eixo Central. 
KNRx 96,2104,830 

 ; 
KNRy 15
 
KNR 59,26)15()96,21( 22 
 

AM
= -30 x 3 +4,02 x 3+4,02 x 6 + 4,02 x 6 – 4,02 x 7+15 x 6,67– 20 = 22,21KNxm 
m
R
MA
C 84,0
59,26
21,22

 
 
 
3KN/m 
 12 
 
RELAÇÃO DE EXERCÍCIOS SÔBRE ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO E OS ESFORÇOS SOLICITANTES N,Q 
e M . TRAÇAR OS DIAGRAMAS CORRESPONDENTES: 
 
 
 
 
 
 
 
KNHHH BB 5050 


KNVKNVVVVV BBABA 67,360420 

KN33,2VKN14V6014526V0M AAAB 

 
 
Seção S1 ( 0  x  1) 
NS1 = - 5 KN 
QS1 = VA = 2,33 KN ; 






mKN33,2M1x
0M0x
x33,2VAxM
1S
1S
1S
 
 
Seção S2 ( 1  x  5) 
NS2 = - 5 KN 
QS2 =VA – 2 = 0,33 KN ; 






mKNMx
mKNMx
xxxxVM
S
S
AS
67,35
33,21
)1(233,2)1(2
2
2
2
 
Seção S3 ( 0  x  1) 
 
NS3 = - HB = - 5 KN 
QS3 = - VB = - 3,67 KN 
MS3 = VB x = 3,67 KN x m 
 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
D I A G R A M A S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
 
 15 
 
 
 
 
 
KNHKNHHH ADA 69,2809,240 

 
KNVVVVV DADA 12,1009,24697,160 
 
0V18H12909,241509,246686397,160M DDA 
 
KNVH DD 25,4791812 
 
KN08,301V12H12)2(KN54,150V6H6
0V6H66309,24309,240M
DDDD
DD)DIR(C


 
 
KNV
KNV
KNVH
KNVH
D
DD
DD
69,29
17,1786
08,3011212
25,4791812




 
 
6HD – 6 (-29,69 KN) = 150,54 

6HD = - 27,6 KN 
 

 HD = -4,6KN 
 
VA + VD = -1,12 KN

VA = 28,57 KN 
 
 
VD=-29,69KN 
 16 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 - TEORIA DAS ESTRUTURAS I – TURMA “A” 
2º TRABALHO DE APLICAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
 
 
 
KNHHHHH DADA 02,10002,640 

 
 HD = 10,02 – 10,27

HD = - 0,25KN 
 
KNVVVVV DADA 02,24002,6990 
 
 VD = 24,02 – 11,92 

VD = 12,10 KN 
 
5,102,6597967,1412V1H0M AAD 
 
 -6,02 x 1,5 = 0

12 VA – HA = 132,74 KN 
 


033,14H4V30M AA)ESQ(B
 
 
 
KN92,11VKN28,536V45
KN32,5H4V3
KN96,530H4V48
)4(KN74,132HV12
KN32,5H4V3
AA
AA
AA
AA
AA





 
 
 
CÁLCULO DE HA : 
 
3 x 11,92 – 4 HA = - 5,32KN  - 4 HA = - 41,08 KN  HA = 10,27 KN 
 
VA = 11,92 KN 
 18 
 
1ª QUESTÃO: 
 
 
 
 
 
mKN111M97230M
05,16)72(8)14(6M0M
KN14V086V0V
KN6H06H0H
AA
AA
AAAA








 
 
 
 
 
 
 
 19 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 – TEORIA DAS ESTRUTURAS I – TURMA J 
2º TRABALHO DE APLICAÇÃO 
 
 
DADA A ESTRUTURA ABAIXO, PEDE-SE CALCULAR AS REAÇÕES DE 
APOIO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: UTILIZAR DUAS CASAS DECIMAIS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
 
 
 
 
 
 
 
KNHKNHHHHH AEAEA 75,0120120 

 
 
KNVVVVV EAEA 84,46084,283690 
 
 
KNVKNV AA 79,1484,4605,32 
 
 
KN22,455H2V15
0H2V151384,286873665,192120M
EE
EEA


 
 


0V4H6284,2860M EE)DIR(D
 
 



)3(KN22,455H2V15
KN68,51H6V4
EE
EE
KNV
KNV
KNHV
KNHV
E
E
EE
EE
05,32
98,131341
66,1365645
68,5164




 
CÁLCULO DE HE : 
 
4 x 32,05 + 6 HE = 51,68 KN 

6 HE = - 76,52 KN 

HE = - 12,75KN 
 
 
 
 
 VA = - 14,79 KN 
 4 KN/m 
 21 
 
 
 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 – TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
TURMA: J – EXAME ESPECIAL 
1ª QUESTÃO: VALOR: 22 PONTOS 
 
DADA A ESTRUTURA ABAIXO, PEDE-SE CALCULAR: 
 
a - Reações de Apoio. 
b - Os Esforços Solicitantes N, Q e M. 
c - Traçar os Diagramas Correspondentes. 
 
OBS.: “UTILIZAR DUAS CASAS DECIMAIS”. 
 
mKN148M0220336M0M AAA 
 
 
 cos  = 0,8 
 sen  = 0,6 
 22 
 
SEÇÃO S1 ( 0  y  6 ) 
NS1 = - VA = - 20 KN 
S1 = - HA + 6y 

 -36 + 6 y 





06
360
1
1
S
S
y
KNy

 
MS1 = - MA – 6 y x y / 2 + HAy 

 - 148 – 3y2 + 36y 
 
- 148 – 3y2 + 36y 









mxKN40M6y
mKN67M3y
mKN148M0y
)MÁX(
1S
1S
1S
 
SEÇÃO S2 ( 0  Z  5 ) 
NS2 = - 4 sen  z = - 2,4z 
KNNz
Nz
S
S
125
00
1
1

 
 
 S2 = 
KN
z
2,3cos4
2,3


 





KNz
z
S
S
165
00
2
2

 
 
MS2 = - 
2,3
 z x z/2 









mKN40M5z
mKN10M5,2z
0M0z
z6,1
2S
2S
2S
2 
 
 23 
 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA DA FUMEC 
DES010 – TEORIA DAS ESTRUTURAS I - TURMA: A 
EXAME ESPECIAL 
 
1ª QUESTÃO: VALOR: 22 PONTOS 
 
DADA A ESTRUTURA ABAIXO, PEDE-SE: 
 
01 – Calcular as Reações de Apoio; 
02 – Calcular os Esforços N , Q e M; 
03 – Traçar os Diagramas Correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
 
 
 
 
KNHKNHHH ABA 25,180 

 
KNVKNVVV ABA 10120 
 


05,162856V9H40M BBA
 
 
KN25,9HKN55H429KN55H4V9 BBBB 
 
 
KN2V0V6260M BB)DIR(D 
 
 
SEÇÃO S1 ( 0  x  6 ) 
 
NS1 = - HB = - 9,25 KN 
 
43,3
17,0
2x02x17,0
2
x33,0
2
2
p
V
2
2
B1S












KNx
x
KNx
S
S
S
94,36
043,3
20
1
1
1



 
 
2 KN/m 
x
x
p
xp
33,0
6
262

 
 
 25 
MS1 = VB x - 













0M6x
mxKN44,4M43,3x
mKN52,3M2x
0M0x
x06,0x2x33,0
2
p
1S
)MÁX(
1S
1S
1S
3
 
SEÇÃO S2 ( 0  z  2,5) 
 
NS2 = - VA sen  + HA cos  = - 8,75 KN 
S2 = VA cos  + HA sem  = 5 KN 
MS2 = (VA cos  + HA sen ) z = 5 z 





mKN50,12M5,2z
0M0z
2S
2S
 
 
SEÇÃO S3 ( 2,5  z  5 ) 
 
NS3 = NS2 = - 8,75 KN 
S3 = VA cos  + HA sen  - 10 = - 5 KN 
MS3 = 5z - 10 ( z – 2,5) 





0M5z
mKN5,12M5,2z
2S
3S
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26