Aula sobre Análise Combinatória - Com resolução de exercícios

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Análise Combinatória
Professor: João C. Lemos
Matemática – Ensino Médio
Análise Combinatória
A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los.
Princípio Fundamental da Contagem
Análise Combinatória
Princípio Multiplicativo
Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas sucessivas, A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras e se, para cada uma, B pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é dado por:
m x n
Fatorial de um número natural
Análise Combinatória
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) ... 3 . 2 . 1 
Lembre-se das definições especiais: 
0! = 1
1! = 1
n ≥ 2
Permutações simples
Dado um conjunto de n elementos, chama-se de permutação simples dos n elementos qualquer sequência (agrupamento ordenado) desses n elementos. 
O número de permutações simples de n elementos é dado por:
Análise Combinatória
Pn = n! n! = n . (n-1) . (n-2) ... 3 . 2 1 
Indicado por Pn , onde lê-se “número de permutações simples de n elementos 
Exemplo de permutação simples 
Ex: Numa van com 9 assentos, viajarão 8 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 8 passageiros podem ocupar os assentos do veículo? 
Análise Combinatória
P8 = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320
Permutações com Repetições 
O número de permutações de n elementos, dos quais α é um tipo, β de um segundo tipo, ... Até o γ tipo, é dado por: 
Análise Combinatória
Onde:
n = tamanho do conjunto
α, β, γ... = repetições
Ex: Quantas sequencias diferentes podemos formar dispondo dos algarismos do conjunto 
A = {1,1,2,2,3,4,6}
Análise Combinatória
Exemplo de Permutação com Repetições 
Note que o algarismo “1” se repete duas vezes, assim com o algarismo “2” também! 
Logo, temos: 
Arranjos Simples
Dado um conjunto com n elementos, chama-se de arranjo simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer agrupamento ordenado de p elementos distintos, escolhidos entre os n possíveis. 
Análise Combinatória
Onde:
n = tamanho do conjunto
p = tamanho dos grupos
Indica-se An,p e lê-se: “arranjo simples de n elementos, tomados p a p” 
Exemplo de Arranjo Simples
Quantas sequencias distintas podemos formar com 4 letras, sabendo que dispomos de um conjunto de letras dado por {a,f,n,g,y,z} 
Análise Combinatória
Observe neste caso, a ordem dos elementos importa
BASTA FAZERMOS O ARRANJO DE 6 ELEMENTOS TOMADOS 4 A 4
Combinações Simples
Dado um conjunto de n elementos, chama-se combinação simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer agrupamento não ordenado de p elementos escolhidos entre os n possíveis.
Análise Combinatória
Onde:
n = tamanho do conjunto
p = tamanho dos grupos
Indica-se Cn,p e lê-se: “combinação de n elementos, tomados p a p” 
Exemplo de Combinação Simples
Quantos são os subconjuntos de {1, 2, 3, 4 e 5} que possuem apenas 3 elementos? 
Análise Combinatória
Observe neste caso, a ordem dos elementos NÃO importa
BASTA FAZERMOS A COMBINAÇÃO DE 5 ELEMENTOS TOMADOS 3 A 3
Esquema fundamental para identificar o tipo de problema: 
O número de objetos é igual ao número de posições?
SIM
NÃO
Permutação
Pn = n!
A ordem importa?
Arranjo
 
NÃO
SIM
Combinação
 
Análise Combinatória
Que tal resolvermos alguns exercícios? 
PRINCIPAIS OBJETIVOS: 
Reconhecer que tipo de problema se trata;
Encontrar a maneira mais fácil de resolver.
Vamos utilizar o esquema anterior! 
Análise Combinatória
Vamos lá!
Exercício (01) Uma menina quer sair com seu namorado. Ela quer saber o número de maneiras diferentes de se vestir. Analise as situações e responda:
a) De quantas maneiras diferentes ela pose se vestir sabendo que dispõe de 3 blusas e 2 calças?
b) De quantas maneiras ela pode se calçar, se dispõe de 3 sapatos e 5 sandálias?
Análise Combinatória
3 x 2 = 6 possibilidades
3 + 5 = 8 possibilidades
Análise Combinatória
Exercício (02) 	Quantos números de 5 algarismos podemos utilizar dispondo dos algarismos 5,3,4,2,1,0 e 7?
 
6 x 7 x 7 x 7 x 7 = 14406 números
Perceba que se usarmos o número zero no primeiro algarismo, teremos números de quatro algarismos, e não com cinco. 
Análise Combinatória
Exercício (03) De quantas maneiras diferentes podemos ir: 
A
C
B
a) De A até C 
b) De A até C e depois voltar para A 
3 x 4 = 12 caminhos
3 x 4 x 4 x 3 = 
154 maneiras 
Análise Combinatória
Exercício (04) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o vôo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. 
 
9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 181440 possibilidades
Logo, temos nove possibilidades de poltronas diferentes 
Análise Combinatória
Exercício (05) Quantos anagramas da palavra ELEGER começam por consoante? 
ELEGER
3 CONSOANTES
3 x 5!
 
3!
Nº de consoantes da palavra
Permutação com repetição
RESPOSTA = 60 ANAGRAMAS
Análise Combinatória
Exercício (06) Em uma reunião de um condomínio residencial, com pauta para eleição dos membros de sua administração, 10 pessoas se habilitam para ocupar 3 cargos: síndico, tesoureiro e secretário:
a) De quantas maneiras essa escolha pode acontecer?
b) Se uma das 10 pessoas solicita não ser escolhida para síndico, quantas podem ser as escolhas possíveis? 
10 x 9 x 8 = 720 maneiras
9 x 9 x 8 = 648 maneiras
Análise Combinatória
Exercício (07) Cada time de futebol de salão é formado por 5 jogadores (4 na linha e 1 no gol). O Saci-Pererê Futebol Clube ainda conta com 5 jogadores na reserva. Em um determinado jogo todos os atletas do clube compareceram. Destes atletas, três serão selecionados para fazer o exame anti-doping. Existem várias possibilidades de formação deste grupo. Identifique quantas são e exponha como obteve o resultado:
Observe que serão selecionados apenas 3 atletas. A ordem importa?
Análise Combinatória
Exercício (08) Dentre todos os números de quatro algarismos distintos formados com algarismos pertencentes ao conjunto {3,4,5,6,7,8,9}, quantos são divisíveis por 2? 
1º Passo: O que é necessário para ser divisível por 2?
2º Passo: Quantos algarismos há no conjunto fornecido?
6
5
4
3
x
x
x
Perceba que há apenas 3 algarismos pares no conjunto
Logo, temos como resposta: 
360 NÚMEROS DISTINTOS
Análise Combinatória
ARRANJO OU COMBINAÇÃO?
A ORDEM IMPORTA?
Exercício (09) De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual é o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas?
Análise Combinatória
Exercício (10) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?
Basta usarmos o princípio fundamental da contagem
4 . 3 . 2 . 1 = 24 casos
Análise Combinatória
Exercício (11) Com três tipos de macarrão e dois tipos de molho, quantas opções de pratos diferentes de macarronada podem ser preparados? Use a árvore das possibilidades para mostrar os resultados e prove pelo PFC. 
Macarrão 1
Macarrão 2
Macarrão 3
MOLHO 1
MOLHO 2
MOLHO 1
MOLHO 2
MOLHO 1
MOLHO 2
6 OPÇÕES
Análise Combinatória
Exercício (12) Jeniffer precisa comprar uma saia, a loja em que está possui 3 modelos de saia diferentes nas cores: preto, rosa, azul e amarelo. Quantas opções de escolha Jeniffer possui? 
Mostre em seu caderno os possíveis resultados através da árvore das possibilidades e em seguida prove usando o PFC:
 
Análise Combinatória
Exercício (13) De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores
distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos? 
ARRANJO OU COMBINAÇÃO?
A ORDEM IMPORTA?
Análise Combinatória
Exercício (14) Em uma eleição para representante de sala de aula, 3 alunos candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. Quais são os possíveis resultados dessa eleição? 
ESSA É FÁCIL 
P3 = 3 . 2 . 1 = 6 resultados diferentes
Análise Combinatória
Exercício (15) Calcular de quantas maneiras 8 crianças podem sentar em um banco se a criança que tiver a menor idade deve necessariamente sentar ao lado esquerdo do banco: 
1
7
6
5
4
3
2
1
5040
Análise Combinatória
Exercício (16) Em uma classe de 30 alunos pretende-se formar uma comissão de três alunos para representação discente no colégio. Quantas comissões podem ser formadas? 
ARRANJO OU COMBINAÇÃO?
A ORDEM IMPORTA?
Análise Combinatória
Exercício (17) Sobre uma circunferência marcam-se dez pontos distintos. Quantos segmentos de reta podem ser construídos com vértices em dois desses pontos? 
DESAFIO:
A PARTIR DO MESMO EXERCÍCIO, QUANTOS QUADRILÁTEROS CONVEXOS PODEM SER FORMADOS?
Análise Combinatória
Exercício (18) Um casal tem três meninos e duas meninas. De quantos modos distintos poderia ter ocorrido a ordem do nascimento das crianças? 
 
Representando os meninos por M e as meninas por F, temos um conjunto formado por {M, M, M, F, F}
TEMOS UM CONJUNTO COM ELEMENTOS REPETIDOS, ISSO LEMBRA ALGUMA COISA?
Sim, é uma permutação com repetição!
Análise Combinatória
Exercício (19) Sejam os anagramas formados com as letras G,R,A,N,I,Z,O. Quantos destes começam e terminam com vogal? 
Observe que as letras da ponta devem ser uma VOGAL
3
4
1
2
3
2
5
Logo, temos: 3 . P5 . 2 = 720
Análise Combinatória
ÚLTIMO ESQUEMINHA PARA SABER RELACIONAR QUANDO PRECISAR USAR ARRANJO COM COMBINAÇÃO: 
Sempre se pergunte:
“A ordem importa?”
Possíveis respostas 
AHAM - ARRANJO
NÃO - COMBINAÇÃO
Observe que AHAM lembra “ARRANJO” e NÃO rima com “COMBINAÇÃO”