PLANOS - RESUMO

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João Carlos Lemos Júnior 
Monitoria de Geometria Analítica –Resumo (Planos) 
 Matemática - Licenciatura 
 
1. PLANOS 
1.1 Equação geral do plano: 
 
 
Tendo em vista que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao determinarmos um plano, devemos lembrar que existem seis(6) possíveis casos: 
DETERMINAÇÃO DE UM PLANO 
 
1º caso: passa por um ponto A e é paralelo a dois 
vetores v1 e v2 não colineares. Neste caso: 
 
 
 
 
2º caso: Passa por dois pontos A e B e é paralelo 
a um vetor v não colinear a AB. Neste caso: 
 
 
 
 
 
 
 
“Esta é a equação geral do plano.” 
 
 
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3º caso: passa por três pontos A, B e C não em 
linha reta. Neste caso: 
 
 
 
 
4º caso: contém duas retas r1 e r2 concorrentes. 
Neste caso: , sendo v1 e v2 vetores 
diretores das retas r1 e r2. 
 
 
 
 
5º caso: contém duas retas r1 e r2 paralelas. Neste 
caso: , sendo v1 um vetor diretor 
de r1(ou r2) e A1E r1 e A2E r2. 
 
Importante: na presença de duas retas, observar 
se os vetores diretores não possuem a mesma 
razão. 
6º caso: contem uma reta r e um ponto B r. 
Neste caso: , sendo v um vetor diretor 
de r e A E r. 
 
 
 
 
 
Obs.: Nos seis casos apresentados, um vetor normal SEMPRE será determinado pelo 
produto vetorial de dois vetores representados no plano. Chamados “vetores base”. 
 
 
1.2 Planos paralelos aos eixos coordenados: 
 
 
 
a) Planos paralelos ao eixo Ox: 
 
 
b) Planos paralelos ao eixo Oy: 
 
 
c) Planos paralelos ao eixo Oz: 
 
 
 
 
 
Tem equações de forma: 
yb + cz + d = 0 
ax + cz + d = 0 
ax + by + d = 0 
 
 
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1.3 Planos paralelos aos planos coordenados: 
π // xOy cz + d = 0 n = (0,0,c) 
π // yOz ax + d = 0 n = (a,0,0) 
π // xOz by + d = 0 n = (0,y,0) 
 
1.4 Planos mediador: como obter? 
Exemplo: Equação geral do plano mediador do segmento de extremos A(1,-2,6) e B(3,0,0). 
1º) Obter o vetor AB; 
2º) Obter um ponto, de modo que este seja o ponto médio, sendo [(A+B)/2], ou seja, [(1+3)/2], [(-2+0)/2] 
e [(6+0)/2], logo teremos: (2,-1,3). 
3º) Basta construir a equação geral do plano com o vetor AB e o ponto médio de [(A+B)/2]. 
 
1.5 Equação paramétrica do plano: 
 
 
 
 
 
1.6 Ângulo entre dois planos: 
Tendo dois planos π1 e π2, basta retirar o vetor normal de cada um dos planos e substituir na 
seguinte fórmula: 
 
Obs.: Os planos devem ser concorrentes, pois se forem paralelos, não há ângulo entre os mesmos. 
Para averiguar se isto acontece, basta ver a razão entre os vetores normais dos planos, se estes 
possuírem razões iguais, logo são paralelos, caso contrário, estes planos são concorrentes. 
 
 
 
 
 
 
 
Estas são asequações paramétricas do plano. 
Quandoh e t, denominados parâmetros, variam 
de -∞ a +∞, o ponto P percorre o plano π. 
 
 
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1.7 Condição de paralelismo e perpendicularismo de dois planos: 
 
Obs.: Se além disso, as razões também possuírem a mesma razão, logo os planos são coincidentes. 
 
 
Ou seja, estes planos possuem vetores ortogonais entre si, assim como, os planos também serão 
ortogonais. 
 
1.8 Ângulo entre reta e plano 
 É necessário o vetor diretor da reta, denominamos (v), como também é necessário o vetor 
normal que será retirado do plano. Então, basta aplicar os valores na seguinte fórmula: 
 
Lembrando: A diferença entre o cálculo de ângulos entre planos e de ângulos entre plano e reta, é de 
que no ângulo entre planos usamos COSSENO, já no ângulo entre plano e reta usamos SENO. 
 
1.9 Condições de paralelismo e perpendicularismo entre reta e plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condição para serem 
paralelos 
Condição para serem 
perpendiculares 
 
 
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1.10 Condições para que uma reta esteja contida num plano 
 
a) O vetor v de r é ortogonal ao vetor normal do plano π. 
b) Um ponto A pertencente a r, pertence também ao plano. 
 
Obs.: Uma reta r está também contida num plano π se dois pontos A e B pertencentes a r pertencem ao plano. 
 
 
 
 
 
 
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Referência:STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica: Cônicas. São Paulo: Makron Books 
Editora Ltda.