Avaliações Aulas 6-10-Calculo Numerico - Av2 - 2015

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Avaliações – AV2 – Calculo Numerico - 2015
	Exercício: CCE0117_EX_A6_201x0xxx7x 
	Matrícula: 201403x0x1
	Aluno(a): xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
	Data: 29/05/2015 18:04:38 (Finalizada)
	
	 1a Questão (Ref.: 201403641868)
	
	
	Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
		
	
	y=2x+1
	
	y=2x
	
	y=x3+1 
	
	y=2x-1
	
	y=x2+x+1 
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201403631997)
	
	
	A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
		
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	Um polinômio do terceiro grau
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201403631989)
	
	
	Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que:
		
	
	Nunca poderá ser do primeiro grau
	
	Pode ter grau máximo 10
	
	Poderá ser do grau 15
	
	Será de grau 9, no máximo
	
	Sempre será do grau 9
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201403631987)
	
	
	Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio?
		
	
	X19 + 5X + 9 
	
	X20 + 7X - 9 
	
	X20 + 2X + 9 
	
	X21 + 3X + 4 
	
	X30 + 8X + 9 
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201403631994)
	
	
	Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
		
	
	2
	
	1
	
	4
	
	3
	
	5
	
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201403641861)
	
	
	Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar: 
		
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
	
		O cálculo de área sob curvas mereceu especial atenção nos métodos criados em Cálculo Numérico, originando dentre outros a Regra de Simpson, que, se considerada a função f(x) e a área sob a curva no intervalo [a,b], tem-se que esta última é dada por h/3 [f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes. Considerando o exposto, obtenha a integral da função f(x)=3x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a opção CORRETA. 
	
	
	
	
	
	73,3
	
	
	293,2
	
	
	146,6
	
	
	220
	
	
	20,0
	
	
	
		2.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor? 
	
	
	
	
	
	0,3
	
	
	3
	
	
	30
	
	
	0,5
	
	
	Indefinido
	
	
	
		3.
		A literatura especializada oferece diversos métodos para cálculo de área sob a curva, sendo a Regra dos Trapézios de fácil execução, fornecendo bons resultados quanto a precisão. Considerando que a integral definida de uma função f(x) no intervalo [a,b] neste método é dada por h/2 [f(x1)+ 2.f(x2)+ 2.f(x3)+.... f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes, obtenha a integral da função f(x)=2x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a opção CORRETA. 
	
	
	
	
	
	45,0
	
	
	22,5
	
	
	20,0
	
	
	10,0
	
	
	12,3
	
	
	
		4.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida: 
	
	
	
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	Nunca se altera
	
	
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	
		5.
		Em diversas situações associadas a manipulação de funções matemáticas, não conseguimos ou não é prática a obtenção de soluções analíticas de integrais definidas, o que nos conduz a métodos numéricos. Com base na Regra do Retângulo e considerando a função f(x)=x2, obtenha a sua integração no intervalo [0, 1], considerando-o dividido em 2 partes. Expresse o resultado com uma casa decimal e escolha opção CORRETA. 
	
	
	
	
	
	Integral = 0,63
	
	
	Integral = 1,50
	
	
	Integral = 0,31
	
	
	Integral = 0,15
	
	
	Integral = 1,00
	
	
	
		6.
		Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da integral de f(x) = x3, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos.
	
	
	
	
	
	0,237
	
	
	0,250
	
	
	0,245
	
	
	0,242
	
	
	0,247
	
		1.
		No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h. 
	
	
	
	
	
	1/2
	
	
	1/3
	
	
	0
	
	
	1/4
	
	
	1/5
	
	
	
		2.
		Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da Física e podem ser obtidas através da Regra do Retângulo,da Regra do Trapézio, da Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último utiliza as expressões R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras aproximações, considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x3, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
	
	
	
	
	
	0,939
	
	
	1,230
	
	
	1,313
	
	
	0,313
	
	
	0,625
	
	
	
		3.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	
		4.
		O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
	
	
	
	
	
	1,567
	
	
	0,382
	
	
	1,053
	
	
	0,351
	
	
	0,725
	
	
	
		5.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de: 
	
	
	
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	
	
	
		6.
		Métodos numéricos para a resolução de problemas que envolvam integrais definidas nos fornecem boas aproximações, especialmente se for utilizado o Método de Romberg. Entre as opções oferecidas a seguir, determine aquela que apresenta expressão relacionada a este método. 
	
	
	
	
	
	R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] 
	
	
	xk=Cx(k-1)+G 
	
	
	xn+1=xn- f(x) / f'(x) 
	
	
	Ax=B, com A, x e B representando matrizes
	
	
	[f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)] 
		1.
		Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada.
	
	
	
	
	
	6
	
	
	5
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	
		2.
		Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y + 2 com a condição de valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y (4) para a equação dada.
	
	
	
	
	
	22
	
	
	25
	
	
	24
	
	
	23
	
	
	21
	
	
	
		3.
		Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. 
	
	
	
	
	
	n
	
	
	menor ou igual a n - 1
	
	
	menor ou igual a n + 1
	
	
	n + 1
	
	
	menor ou igual a n
	
	
	
		4.
		Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida  com a n = 10, cada base h terá que valor?
 
	
	
	
	
	
	0,1
	
	
	1
	
	
	0,2 
	
	
	2 
	
	
	indefinido
	
	
	
		5.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
	
	
	
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Newton Raphson 
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Bisseção 
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	
		6.
		Os métodos de integração numérica em regra não são exatos. Suponhamos o método de Simpson (trapézios) em sua apresentação mais simples mostrado na figura a seguir.
  
                                                          
 Se considerarmos a integral definida  , o valor encontrado para F(x) utilizando a regra de Simpson será equivalente a:
 
	
	
	
	
	
	Diferença entre a área do trapézio e a área sob a curva
	
	
	Área sob a curva
	
	
	Área do trapézio
	
	
	Média aritmética entre as áreas sob a curva e a do trapézio
	
	
	Soma entre a área do trapézio e a área sob a curva
		1.
		Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada.
	
	
	
	
	
	2
	
	
	7
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	
		2.
		 
O valor de aproximado da integral definida   utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 
	
	
	
	
	
	20,099 
	
	
	30,299 
	
	
	15,807 
	
	
	24,199 
	
	
	11,672 
	
	
	
		3.
		Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
	
	
	
	
	
	[3/2,3]
	
	
	[0,3/2]
	
	
	[0,3]
	
	
	[1,2]
	
	
	[1,3]
	
	
	
		4.
		De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1
	
	
	
	
	
	4 e 5
	
	
	5 e 6
	
	
	3 e 4
	
	
	1 e 2
	
	
	2 e 3
	
	
	
		5.
		Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição.
	
	
	
	
	
	0,5
	
	
	2
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	0,25
	
	
	
		6.
		Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Dentre estes podemos citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. Analise as afirmativas abaixo a respeito do método de Romberg:
 
I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios
II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos trapézios
III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter aproximações preliminares
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas.
	
	
	 Apenas II e III são verdadeiras.
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras