INTRODUÇÃO A GEOMETRIA EUCLIDIANA - PARTE I

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE, UNICENTRO
Campus Universitário de Irati
Setor de Ciências Agrárias e Ambientais - SEAA/I
Departamento de Matemática - DEMAT/I
Fundamentos da Geometria Euclidiana e Não Euclidiana
Licenciatura em Matemática – 2º Ano (2017)
Organização: JOÃO CARLOS LEMOS
MATERIAL PARA REVISÃO - Parte I 
(material baseado na apostila de Fund. da Geometria Euclidiana produzida pela Professora Karolina Barone)
Dúvidas poderão ser sanadas nos contatos: WhatsApp (42) 9 9804-3691 / E-mail: lemosjao@yahoo.com.br
Dicas para um melhor aproveitamento da disciplina (minha opinião como aluno)
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A disciplina possui conteúdo acumulativo, ou seja, muitos dos conteúdos posteriores dependem da compreensão de conteúdos anteriores, logo é essencial sempre que possível estar revisando os mesmos;
É fundamental resolver “todos” os exercícios propostos durante as aulas, para que assim seja possível mitigar as suas dúvidas, facilitando assim o seu desempenho durantes as avaliações;
Evite ao máximo o ato de “decorar” no estudo para avaliações, pois a geometria é rica em detalhes, uma vez que um detalhe seja expresso de forma errada, poderá alterar todo o sentido de uma definição por exemplo. Almeje sempre um amplo entendimento e compreensão dos temas; 
Busque organizar-se um bom período antes das avaliações, desfrutando dos meios que sejam mais produtivos de se estudar para você, como ler, confeccionar resumos e esquemas, etc. Para finalizar, anote suas principais dúvidas e NUNCA deixe de saná-las. 
É uma ciência muito antiga, acredita-se que a geometria surgiu a partir da necessidade dos egípcios medirem o solo após cada inundação no vale do Rio Nilo. Mas havia muitas divergências entre as ideias dos historiadores. 
Apesar da definição da palavra em si, não prendam-se na mesma, pois para nós não é esta a definição que almejamos:
GEOMETRIA
G E O M E T R I A
solo
medir
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Importantes nomes no desenvolvimento da Geometria: 
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Tales de Mileto
Pitágoras de Samos
René Descartes
Euclides de Alexandria
Eudoxo
Gauss
Obra: Os Elementos – 300 a.C.
(alguns esclarecimentos)
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 Desenvolvida por Euclides de Alexandria;
 Obra referência para Geometria, hoje “Geometria Euclidiana;
 Não trata apenas de Geometria, mas também de questões de álgebra e aritmética por exemplo;
 Possui 465 proposições, 9 axiomas e 5 postulados;
 Todas as proposições estão demonstradas;
Essas palavras serão esclarecidas adiante
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 Possivelmente foi fruto da colaboração de uma equipe de matemáticos coordenado por Euclides;
 Há grande diferença ao se comparar com a linguagem atual, pois usava-se somente a escrita, e não fórmulas e álgebra como usamos hoje;
 Tradução mais conhecida: (Irineu Bicudo – 2009);
 Impresso pela 1ª vez em Veneza (1482);
 Existem 1000 edições desta obra porém, não existem registros originais da mesma;
 Serve de alicerce para muitos estudos, além de ser modelo para outras ciências.
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Euclides de Alexandria
Conhecido como pai da Geometria, realizou seus estudos em Atenas, desenvolveu a obra “Os Elementos”, obra esta que já vimos e que serve de suporte para a geometria, hoje chamada de “Geometria Euclidiana.”
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GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Geometria Plana
Geometria Espacial
Geometria Analítica
Noções Básicas de Geometrias Não Euclidianas
Método Axiomático
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CONCEITO
DEFINIÇÃO
Significado que um objeto ou ideia tem para as pessoas, variando de acordo com sua experiência. 
Ex: Reta é um conjunto de pontos.
Carrega consigo rigor, são aceitas sempre como verdade.
 Ex: Retângulo é um quadrilátero convexo com quatro ângulos retos.
Modelo Axiomático
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Axiomas e postulados iniciais
Outros axiomas, postulados, primeiras definições e lemas, teoremas e corolários.
Mais axiomas, postulados, definições, lemas, teoremas, corolários.
Outros axiomas, postulados, definições, lemas, teoremas, corolários.
1) PROPOSIÇÃO: sentença declarativa verdadeira ou falsa, é verificada de forma escrita pela demonstração.
2) LEMA: é um “pré-teorema”, proposição com o intuito de ajudar a demonstrar um teorema.
3) TEOREMA: proposição aceita mediante demonstração.
4) COROLÁRIO: é um “pós-teorema”, consequência imediata de um teorema.
5) CONJECTURA: é uma proposição que não foi provada ou refutada, ainda não conhecemos uma demonstração sobre ela.
 
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HIPÓTESE
TESE
É o que é conhecido (ou dado)
É o que deve ser provado.
Exemplo, na afirmação:
“Se um triângulo é equilátero, então seus ângulos são congruentes.” 
Hipótese (o que se sabe): Se um triângulo é equilátero
Tese (o que se quer provar): seus ângulos são congruentes
OBS: As afirmações podem se apresentar na forma SE-ENTÃO ou, SUJEITO-PREDICADO, como veremos no próximo exemplo:
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Exemplo:
“Um triangulo equilátero é equiângulo”
(SUJEITO)=(HIPÓTESE): Um triângulo equilátero
(PREDICADO)=(TESE): É equiângulo
Assim, vale a regra: 
ESTRUTURA SE-ENTÃO
ESTRUTURA SUJEITO-PREDICADO
Se (hipótese), então (tese)
Se (hipótese), (tese)
(tese), se (hipótese)
Sujeito = Hipótese
Predicado = Tese 
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RECÍPOCRA DE UMA PROPOSIÇÃO
Se p, então q (p q), a proposição “se q, então p (q p), é chamada RECÍPOCRA da proposição inicial.
Relembrando LÓGICA
Importante: Uma proposição pode ser verdadeira sem que sua recípocra seja!
Exemplo
 Obtenha a hipótese e a tese da proposição a seguir. Depois escreva sua recípocra e compare a hipótese e a tese da nova proposição com as da proposição original:
“Se um número é múltiplo de 6, então é múltiplo de 3.”
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Hipótese: Se um número é múltiplo de 6
Tese: Então é múltiplo de 3 
“Se um número é múltiplo de 3, então é múltiplo de 6.”
RECÍPOCRA
Hipótese: Se um número é múltiplo de 3
Tese: Então é múltiplo de 6 
Proposição Original: Verdadeira
Recípocra da Proposição: Falsa
RESOLUÇÃO
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Relembrando LÓGICA
Se p, então q (p q), a proposição “Se não q, então não p (~q ~p) é chamada CONTRAPOSITIVA da proposição inicial.
CONTRAPOSITIVA DE UMA PROPOSIÇÃO
Importante: Uma proposição e sua contrapositiva são logicamente equivalentes
Exemplo
 Obtenha a hipótese e a tese da proposição a seguir. Depois escreva sua contrapositiva e compare a hipótese e a tese da nova proposição com as da proposição original:
“Todo triângulo equilátero é equiângulo.”
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RESOLUÇÃO
Hipótese: Todo triângulo equilátero
Tese: É equiângulo
“Se todo triângulo não é equiângulo, então não é equilátero.”
Hipótese: Se todo triângulo não é equiângulo
Tese: Então não é equilátero.
Proposição Original: Verdadeira
Recípocra da Proposição: Verdadeira
CONTRAPOSITIVA
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TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO
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CONTRA-EXEMPLO
É um exemplo que contradiz uma afirmação geral.
Veja:
Proposição 01. Todo triângulo retângulo é isósceles.
Falso, pois basta dar um contra-exemplo, o triângulo de lados 3,4 e 5 é retângulo porém, não é isósceles, mas sim escaleno. 
Técnicas para reescrever alguns números
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NÚMERO “PAR”
NÚMERO “ÍMPAR”
“MÚLTIPLO”
P = 2.K, K E Z 
a = K.a
I = 2.K + 1, K E Z 
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Exemplo: 
“Todo múltiplo de 4 é múltiplo de 2”
Hipótese: todo múltiplo de 4
Tese: é múltiplo de 2
DICA: Primeiramente para facilitar a resolução, comece separando o enunciado em “hipótese e tese”, logo depois, lembre-se que a hipótese é de onde você irá sair para chegar até na tese, que é o que deve ser provado, então lembre-se que não pode usar a tese inicialmente. 
M = 4.K, K E Z (apenas usando a técnica para reescrever um múltiplo)
(reescrevendo 4.K), teremos: 2.(2K), 2K E Z, então M também é múltiplo de 2 (pois conseguimos reescrever 4.K como sendo múltiplo de 2 também), sendo assim, a demonstração foi concluída.
Demonstração Direta: 
Técnica da Condicional
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Basta considerar as proposições da forma “Se p, então q”. 
Comece a demonstração assumindo que “p” é verdadeiro (como fizemos no exemplo anterior (slide 21)), e mostre em seguida
que isso faz com que “q” seja verdadeiro.
Para finalizar nossa demonstração, podemos colocar no final “p q”, o que é muito comum nesse tipo de demonstração, pois assumimos a hipótese como sendo “p” e a tese como “q”. 
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Técnica da Bicondicional
p q
p q
q p
Nesta técnica devemos provar a IDA e a VOLTA
Demonstração Indireta
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Técnica da contradição ou Redução ao Absurdo, podendo ser usada para demonstrar QUALQUER tipo de proposição.
É uma técnica muito antiga. Foi usada também na obra “Os Elementos” de Euclides (Proposição 6 – Livro I). Remontada pelo menos a época de Pitágoras. 
Como utilizar a técnica de redução ao absurdo?
Suponha uma proposição (p q);
Reescreva esta proposição, de forma que se negue a tese alterando assim o conectivo “se, então” para “e”, ou seja, teremos agora que provar [p^(~q)]. Ao tentarmos provar isso, encontraremos uma CONTRADIÇÃO, um ABSURDO, sendo assim concluímos que (p q) é verdade. Deve-se iniciar a demonstração sempre pelo final da proposição reescrita.
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Exemplo de resolução: 
“Prove que se a é um número inteiro par e a² é par, então a é par.”
Hipótese: a é um número inteiro par e a² é par (p)
Tese: a é par (q)
Demonstração:
Negando a tese, teremos: [p^(~q)], que reescrevendo ficamos com: 
“Suponha que a é um inteiro par e a² é par, e a é impar”
Mudando o conectivo
Negando a tese
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Como a é ímpar, então a = 2K + 1, K E Z.
 
Assim a² = (2K + 1)² = 4K² + 4K + 1 = 2(2K² + 2K) + 1
E Z
Mas isso é um absurdo (concluirmos que a² é ímpar), pois pela hipótese que devemos aceitar como verdade, já temos que a² é par. Portando: 
p q
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NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS
Você acha que seria possível “definir” ponto, reta e plano?
Só tome cuidado para não confundir com as representações geométricas!
ESCLARECENDO...
	Adotamos como noções primitivas o ponto, a reta e o plano, os mesmos são denominados assim por não assumirem definição, mas sim apenas conceito. Devemos tomar muito cuidado para não confundir um ente geométrico com sua representação gráfica.
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Postulados Iniciais
Postulado da Existência (Reta)
Postulado da Existência (Plano)
“em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos”
“em um plano há infinitos pontos”
Posições (Pontos)
Dados dois pontos A e B quaisquer, temos duas possibilidades:
A e B (coincidentes) 
 A igual B
A e B (distintos)
 A diferente de B
.
. .
Posições (Ponto e Reta)
Dado um ponto P e uma reta r, temos duas possibilidades:
P pertence a reta r
P não pertence a reta r
A B
 A B
Definições Importantes
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Def. (01) Pontos colineares, são pontos que pertencem a uma mesma reta.
Def.(02) Pontos coplanares, são pontos que pertencem a um mesmo plano.
Def. (03) Duas retas são paralelas se, e somente se, são coincidentes e são coplanares sem ponto comum.
OBS: A interseção de duas retas paralelas sem pontos em comum será sempre vazia. Existem autores como SMOLE e DINIZ (2010), que consideram as retas coincidentes como paralelas.
Def. (04) Figura é qualquer conjunto não vazio de pontos.
Def. (05) Figura plana é uma figura formada de pontos coplanares. Por exemplo: o cubo não é uma figura plana, um triângulo é uma figura plana.
Def. (06) Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas tem um único ponto em comum.
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Postulado da Determinação da “Reta”
Postulado da Determinação do “Plano”
Postulado da Inclusão
Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles (exemplo: o tripé).
Se uma reta tem dois pontos distintos em um plano, então a reta está contida nessa plano.