Apostila de Projeção de Força

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1 
1 - FORÇAS 
 
 
1.1 - Projeção de uma Força 
 
 
 
 
 
F é a resultante das componentes F 1 e F2 segundo os eixos 0y e 
0x. Entretanto, F2 não representa a componente de F sobre o eixo 
0x, porque F1 também tem componente sobre o eixo 0x. 
 
 
 
 
Neste caso, a componente F1 não atua sobre e eixo 0x e nem a 
componente F2 atua sobre o eixo 0y. Logo, F1 e F2 são 
componentes de F sobre os eixos retangulares 0y e 0x, 
respectivamente. 
 
 
Exercício: Calcular as projeções das forças sobre os eixos 
horizontal e vert ical. 
 
 2 
 
 
 
1.2 - Binário 
 
 
Conjunto de duas forças paralelas de mesmo módulo e sentidos 
contrários. 
 
 
 
 O plano definido pelas duas forças, chama-se plano de ação do 
binário. 
 
 O binário produz rotação no corpo onde ele atua. 
 
Sentido do binário - convenção: horário posit ivo, anti-horário 
negativo 
 
Módulo do binário: F x d 
 
A determinação de um binário é feita através de: 
 
 plano de ação; 
 
 sentido; 
 
 módulo (F x d). 
 3 
 
 
 
As retas AA’ e BB’ pertencem ao plano de ação do binário. 
 
 
1.2.1 - Binários Equivalentes 
 
A hipotenusa de um triângulo é igual ao cateto sobre o seno do 
ângulo oposto. 
 
 
 
 
 
1
1
1 sen
d
sen
d
AB




 
 
Analogamente, 
 4 




sen
F
sen
F
R 1
 
 
Dividindo-se ambas as igualdades membro a membro, teremos: 
 
 
F
sen
x
sen
d
F
sen
x
sen
d
sen
F
sen
d
sen
F
sen
d
1
1
11
1
1
1
1 










 
 
A condição necessária e suficiente para que o binário das forças F 
seja equivalente ao binário das forças F 1 é que as forças R se 
anulem, isto é, que elas estejam na mesma linha de ação, ou seja, 
que  = 1 e  = 1. 
 
Logo: 
 
F
d
F
d 1
1

  F x d = F1 x d1 
 
 
Conclusão: Para que dois binários coplanares e de mesmo sentido sejam 
equivalentes é necessário e suficiente que sejam iguais os 
produtos F x d. 
 
 
 
 
 
A ação de vários binários num mesmo plano é equivalente a um 
binário único, cujo momento é a soma algébrica de todos os 
binários. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 5 
1.3 - Momento de uma Força 
 
 
O momento da força F em relação ao ponto A é o momento do 
binário que seria formado, se no ponto A aplicássemos uma força 
igual e oposta a F. 
 
 
 
 
Para cada ponto diferente de A  à reta que passa por A, paralelo 
à direção de F, teremos valores diferentes de momentos, o que nos 
leva a concluir que o momento depende da distância. 
 
Convenção: horário posit ivo, anti -horário negativo. 
 
 
Exercício: Dada a força F = 600 kgf, calcular os momentos por ela 
produzidos nos pontos A, B, C e D. 
 
 
 
 
Propor: 
 
 
 
 
 
 
 6 
1.4 - Transporte de uma Força Paralelamente a si Mesma. 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Transportar a força P = 1000 kgf para o ponto B. 
 
 
 
 
 
2) Transportar a força P = 3000 kgf para o ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
2 - SISTEMA DE FORÇAS 
 
 
 
 
 
M = M1 + M2 + M3 + M4 (soma algébrica dos momentos) 
 
R - resultante do sistema (polígono de forças). É a soma vetorial 
das forças do sistema. 
 
 No esquema 1 temos várias forças coplanares atuando em um 
corpo e o ponto A. 
 
 No esquema 2 temos o resultado do transporte de todas as 
forças para o ponto A, com seus respectivos momentos de 
transporte. 
 
 No esquema 3 temos a soma algébrica dos momentos no ponto 
A (M) e a resultante (R) do sistema de forças concorrentes no 
ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
Exercício: Reduzir o sistema de forças no ponto A. 
 
 
 
 
 
Propor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
2.1 - Variação do Momento de um Sistema com o centro de 
Redução 
 
 
 
 
 
R e MB são esforços resultantes da redução de um sistema de 
forças coplanares no ponto B. Pede-se reduzi- lo ao ponto A. É 
como se pegássemos os exercícios anteriores onde calculamos a 
resultante e a soma algébrica dos momentos e os 
transportássemos novamente em relação a qualquer ponto. 
 
Exercício: Reduzir os sistemas no ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 10 
2.2 - Determinação algébrica da resultante 
 
 
 
 
 
Rx = F1x + F2x + F3x  Rx =  Fx 
  
2
y
2
x RRR 
 
Ry = F1y + F2y + F3y  Ry =  Fy 
 
A projeção da resultante sobre um eixo qualquer é igual à soma 
algébrica das projeções da todas as forças do si stema sobre esse 
eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
 
Aplicação: Reduzir o sistema de forças no ponto A e determinar 
graf icamente a resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
 
 
Exercício: Reduzir o sistema no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
3- EIXO CENTRAL 
 
 
 
 
 
MA e R são esforços resultantes da redução de um sistema de 
forças coplanares no ponto A. 
 
MS varia l inearmente com x. Quando x = c (reta S coincide com C - 
eixo central)  MS = 0 
 
Logo: 
 
0 = MA – R x  
R
M
x A
 
 
Mas, se x = c  
R
M
c
A

 
 
c - distância da resultante R ao eixo central. 
 
Portanto, o eixo central do sistema é a reta paralela à resultante e 
que em relação a ela é nulo o momento do sistema. 
 
 14 
Logo, concluindo, o eixo central de um sistema de forças 
coplanares é o lugar geométrico dos pontos em relação aos quais 
o sistema se reduz só à sua resultante. 
 
Aplicação: Determinar o eixo central. 
 
 
 
 
 
Comentário: Supondo a resultante aplicada nos dois eixos 
paralelos a ela própria, será o eixo central aquele 
que produzir um momento de mesmo sentido ao 
aplicado no ponto. 
 
Aplicação: Determinar o eixo central. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
Observações: 
 
1) Se R = 0 não se define o eixo central  
R
M
c
A

  
0
M
c
A

(indeterminação) 
 
2) Quando um sistema tem eixo de simetria, ele coincide com o 
eixo central. 
 
3) 
R
M
c
A

 MA = R x c (Teorema de Varignon) 
“O momento de um sistema de forças coplanares em relação a 
um ponto qualquer, é igual ao momento da resultante, suposta 
sobre o eixo central, em relação ao mesmo ponto.” 
 
 
 
4) Se R = 0 e M = 0, o sistema está equilibrado. 
 
5) Se R = 0 e M  0, o sistema equivalente a um binário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
4 - CARGAS DISTRIBUÍDAS 
 
 
4.1 - Resultantes 
 
 
Em todos os casos previstos (carga uniformemente distribuída, 
carga tr iangular e carga trapezoidal, a resultante é obtida através 
da área das f iguras. 
 
 
 
 
 
4.2 - Momentos 
 
 
4.2.1 - Carga Uniformemente Distr ibuída 
 
 
O eixo central é o próprio eixo de simetria ( item 2 das observações 
no capítulo anterior). 
 
 17 
4.2.2 - Carga Triangular 
 
O eixo central passa a 
3
1
 da base do triângulo e, 
consequentemente a 
3
2
 do vértice do tr iângulo. Com efeito, o eixo 
central está mais próximo da base do triângulo exatamente por 
causa de sua maior massa. 
 
Demonstração: 
 
Vamos considerar o elemento inf initesimal dx, de ordenada p. 
 
 
 
 
 
A resultante relat iva ao elemento inf initesimal será dada através 
de: 
 

L
0
dxpR
 
 
Logo o momento (F x d) em relação ao ponto B deverá ser: 
 
 
L
0
dxpxM
 
 
Por semelhança de triângulos, temos: 
L
xp
p
L
x
p
p 1
1

 
 
Substituindo,temos: 
 
  
L
0
3
1
3
1
L
0
211
B
L3
xp
3
x
L
p
dxx
L
p
dx
L
xp
xM
 
 
Fazendo x = L  
L3
Lp 31
 
 
A posição do eixo central em relação ao ponto B será: 
 
 18 
L
3
2
Lp
2
x
3
Lp
2
Lp
L3
Lp
R
M
1
2
1
1
3
1
B  
 
 
4.2.3 - Carga Trapezoidal 
 
 
Consideraremos como duas cargas superpostas; a uniformemente 
distribuída e a triangular. Desta forma, caímos nos dois casos 
anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
5 - EQUILÍBRIO DOS SISTEMAS DE FORÇAS 
 
 
5.1 - Condições Gerais de Equilíbrio 
 
 
Para que um sistema de forças seja equil ibrado, é necessário e 
suficiente que sejam satisfeitas as seguintes condições: 
 
1) A soma das projeções de todas as forças coplanares do 
sistema, sobre dois eixos quaisquer 0x e 0y deve ser nula. 
 












0F
0F
y
x
 
 
2) A soma dos momentos de todas as forças do sistema em 
relação a um ponto arbitrário A, do seu plano, deve ser nula. 
 
Isto é: 


















0M
0F
0F
A
y
x
 
 
As duas primeiras condições são necessárias para que a resultante 
do sistema se anule. A terceira é necessária para que o sistema 
não se reduza a um binário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
6 – ESTRUTURAS DE ALMA CHEIA 
 
 
As estruturas de alma cheia estão sujeitas à f lexão e as trel iças 
(ret iculadas) à tração ou compressão. 
 
Estruturas l ineares planas - sua seção transversal reduz-se ao seu 
próprio eixo (centro de gravidade) onde iremos supor aplicadas as 
cargas. 
 
 
6.1 - Conceitos Básicos 
 
 
 Articulação ou rótula: é todo o sistema que realiza a ligação de 
uma barra permit indo, sem esforços, o deslocamento angular 
relat ivo dos elementos que ela separa. 
 
 Articulação perfeita: é quando existe ausência completa de 
esforços opondo-se aos deslocamentos angulares. 
 
 Articulação simples: é a articulação de f lexão que só permite o 
deslocamento angular em torno de um eixo, no mesmo plano. 
 
 Vínculo ou l iberdade: ao eliminarmos um vínculo (interno ou 
externo) em um conjunto de barras, dizemos que foi dada uma 
liberdade (interna ou externa) a esse conjunto. Da mesma 
forma, ao eliminarmos uma articulação (interna ou externa) em 
um conjunto de barras, dizemos que foi criado um vínculo 
(interno ou externo) nesse conjunto. 
 
 
 
 
 
 Deslocamentos geométricos: um conjunto de barras será 
geometricamente indeslocável quando nenhum de seus pontos 
puder sofrer deslocamentos geométricos em relação ao meio 
exterior. 
 
 Sujeições: nas estruturas l ineares planas teremos sujeição 
completa quando não houver nenhum deslocamento no plano da 
estrutura, a não ser que uma ou mais barras se deformem. 
 21 
 
 
 
 Corpo l ivre: não possui qualquer l igação com o meio e xterior, 
isto é, não possui apoios. 
 
 
 
 Malha: conjunto fechado de barras. 
 
A malha é um corpo livre (não existe l igação com o meio exterior – 
apoios). 
 
 
 
A malha é geometricamente 
indeslocável. Seus pontos estão 
impedidos de sofrer deslocamentos 
geométricos uns em relação aos 
outros, logo a sujeição é completa. 
 
 
 
 
 
A malha deformou-se. Houve 
deslocamento geométrico dos pontos, 
logo a sujeição é parcial . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
Malha indeformável - conjunto 
indeslocável, logo a sujeição é 
completa. Não há deslocamento 
geométrico dos pontos que compõem 
o conjunto. A malha está l igada a 
uma barra AE, que possui l igação 
com o meio exterior, através do apoio 
em A. 
 
 
 
 
 
Malha indeformável - conjunto 
deslocável, por causa da articulação 
em A. Logo a sujeição é parcial . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha deformável - conjunto 
deslocável, logo a sujeição é parcial . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha indeformável por causa do 
vículo externo (barra AB), que impede 
o deslocamento dos pontos que 
compõem o conjunto. Logo o conjunto 
é indeslocável e a sujeição é 
completa. 
 
 
 
 
 
 23 
 Vínculos superabundantes: uma estrutura que possui sujeição 
completa, terá vínculos superabundantes se t iver acrescido um 
ou mais vínculos (internos ou externos) ou el iminada uma ou 
mais art iculações (internas ou externas). 
 
 
 
 
 
 
6.2 - Classificação das Estruturas quanto ao Grau de Sujeição 
 
 
 Isostáticas: têm sujeição completa e não possui vínculos 
superabundantes (internos ou externos). 
 
 
 
 
 
 Hiperestát icas: têm sujeição completa e possuem um ou mais 
vínculos superabundantes (internos ou externos). O grau de 
 24 
hiperestaticidade será dado pelo número de vínculos 
superabundantes. 
 
 
 
 
 
 Hipostáticas: Possuem sujeição parcial. O equil íbrio deste tipo 
de estrutura é instável. 
 
 
 
 
 
6.3 - Tipos de Apoio - Parâmetros a Determinar 
 
 Apoio art iculado móvel: é constituído por uma art iculação 
perfeita e permite, sem esforços, o deslocamento linear numa 
determinada direção. A reação que ele aplica, passa pelo centro 
de gravidade da articulação e é perpendicular ao deslocamento 
que ele permite. 
 
Representação: 
 
 
 
 
Neste caso, temos somente um parâmetro (vínculo) a determinar. 
 
 25 
 
 
 
 Apoio art iculado f ixo: é constituído por uma articulação perfeita 
e não permite deslocamentos lineares . 
 
Representação: 
 
 
 
 
Neste caso, são dois parâmetros (vínculos) a determinar . 
 
 
 
 
 
 Engastamento ou apoio engastado: é aquele sobre o qual não 
há deslocamentos angulares nem lineares as estrutura. 
 
Representação: 
 
 
 
 
Neste caso, são três os parâmetros (vínculos) a determinar. 
 
 
 
 
 26 
7 - FORMAÇÃO DA VIGA SOBRE DOIS APOIOS 
 
 
 Ponto geometricamente f ixo: para que um ponto seja 
geometricamente f ixo, é necessário e suficiente que ele seja 
impedido de se deslocar segundo duas direções quaisquer, o 
que se consegue com dois vínculos (apoio art iculado f ixo). 
 
 
 
 
 
Neste caso, o ponto A é geometricamente f ixo, pois está impedido 
de se deslocar segundo duas direções H e V. Entretanto, a barra 
AB sofre deslocamento angular, por causa da art iculação. Logo, a 
sujeição é parcial. Para obtermos a sujeição completa e, 
consequentemente, formarmos a viga isostát ica sobre dois apoios 
é necessário, que impeçamos o deslocamento angular, o que 
conseguimos com mais um vínculo (apoio articulado móvel em B). 
Desta maneira, a estrutura passa a ter sujeição completa, e é 
isostát ica porque não possui nenhum vínculo superabundante. 
 
 
 
 
 
Quanto à forma do seu eixo as vigas isostáticas podem ser: 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
7.1 - Cálculo das Reações de Apoio de uma Estrutura Isostática 
 
 
O cálculo é feito por intermédio de um sistema de equações 
algébricas, que estabelecem as condições gerais de equil íbrio, 
supondo-se rígidas todas as barras. São chamadas de reações de 
equil íbrio ou da estática. 
 
Cada vínculo imposto à estrutura acarreta uma nova incógnita no 
problema. Esse vínculo se traduz pelo esforço necessário para que 
o deslocamento que ele impede, não se realize. 
 
No caso das estruturas isostáticas, os vínculos existentes são 
apenas os necessários para que não ocorram deslocamentos 
geométricos. 
 
 
7.2 - Classificação das Estruturas 
 
 
 Isostáticas: o número de equações é igual ao número de 
incógnitas (vínculos) 
 
 Hiperestáticas: o número de equações é menor que o número de 
incógnitas (vínculos). 
 
 Hipostáticas: o número de equações é maior que o número de 
incógnitas (vínculos). 
 
 
7.3 - Cálculo das Reações de Apoio - Marcha de Cálculo 
 
 
Para determinarmos as reações de apoio de uma estrutura, 
procedemos da seguinte maneira: transformamos a estrutura em 
um corpo livre, substituindo-se todas as ligações externas (apoios) 
pelas reações correspondentes (reações de apoio / vínculos). 
Nestas condições a estrutura denomina-se diagrama de corpo l ivre. 
A partir daí, estabelecemos por meio das equações algébricas, 
todas as condições para que o corpo l ivre esteja em equilíbrio. 
 
Exemplo: Seja a viga sobre dois apoios (3 vínculos) 
 
 
 
 28 
Condições de equi l íbrio 
 
 
São condições necessárias para que a 
resultante do sistema seja nula. 
 
 
 
É condição necessária para que o 
sistema não se reduza a um binário. 
 
 
 
 Estruturas tr i -articuladas: possuem três art iculações 
 
Seja o conjunto de barras AB e AC, articulado em A. Neste caso, 
vai haver o deslocamento geométrico das duas barras AB e AC, 
por causa da art iculação  Sujeição parcial. 
 
 
 
 
 
Vamos criar no conjunto de barras os três vínculos da isostát ica. 
Nestas condições, podemos observar que o ponto C não é 
geometricamente f ixo, pois o apoio em C, articulado móvel, permite 
o deslocamento linear na direção indicada. Temos então um só 
vínculo perpendicular ao sentido do deslocamento l inear. Logo, a 
sujeição é parcial - estrutura hipostática. 
 
 
 










 
 
0V0F
0H0F
y
x
   0M
 29 
Para que não ocorram deslocamentos lineares, o ponto C tem que 
ser geometricamente f ixo, o que acontecerá se acrescentarmos 
mais um vínculo. Nestas condições, o apoio passa a ser articulado 
f ixo. Desta maneira, a estrutura tem sujeição completa - estrutura 
isostát ica. 
 
 
 
 
Entretanto, vimos que “cada vínculo imposto à estrutura, acarreta 
uma nova incógnita no problema”. Logo, além das três condições 
de equil íbrio, precisamos de mais uma para resolver o problema. 
 
Ocorre que, para haver equil íbrio neste t ipo de estrutura é 
necessário que a somatória dos momentos em relação à 
articulação interna seja nula de um lado ou de outro dessa 
articulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
8 - ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
Consideremos na estrutura abaixo uma de suas seções 
transversais, SS’, por exemplo. 
 
 
 
 
 
Vamos supor que os sistema de forças da estrutura acima esteja 
equil ibrado. Logo, as forças que atuam no trecho AS (H A, VA, P e 
P2) e as que atuam no trecho BS (VB, P3, P4 e P5) são iguais e 
contrárias. Elas constituem dois sistemas de forças iguais e 
opostos, que tendem a provocar em AS e BS movimentos 
contrários. 
 
Esses sistemas se reduzem na seção SS’ a esforços iguais e 
contrários. Os movimentos que mencionamos acima, provocam 
tensões de tração ou compressão na seção considerada. Eles são 
responsáveis pela ligação das duas partes da estrutura. Eles 
determinam o equil íbrio do conjunto. 
 
Representação do que acontece na seção considerada. 
 
 
 31 
 
 
 
Exercício: Dada a estrutura abaixo, pede-se: 
 
a) Determinar os esforços solicitantes em S, considerando -se o 
sistema atuante em AS. 
 
 
 
 
 
1) Componente da resultante normal à seção (N) 
 
NS ( A S ) = 2 + 4 = 6 t 
 
2) Componente da resultante paralela à seção (Q) 
 
QS ( A S ) = VA - 3 = 1,25 t 
 
3) Componente da resultante do momento (M) 
 
MS ( A S ) = VA x 3 – HA x 6 – 4 x 3 – 3 x 1 = -14,25 t x m (sent. anti- 
 horário) 
 
 
 32 
b) Determinar os esforços solicitantes em S, considerando -se o 
sistema atuante em BS. 
 
1) Componente da resultante normal à seção (N) 
 
NS ( B S ) = - 6 t 
 
2) Componente da resultante paralela à seção (Q) 
 
QS ( B S ) = VB - 5 = 3,75 – 5 = -1,25 t 
 
3) Componente da resultante do momento (M) 
 
MS ( B S ) = - VB x 5 + 6 x 3 + 5 x 3 = 14,25 t x m (sent. horário) 
 
 
Representação: 
 
Seja a seção S da estrutura. 
 
 
 
 
 
Verif icações: 
 
1) As forças que atuam no trecho AS e as que atuam no trecho BS 
são iguais e contrárias. 
 
2) Constituem dois conjuntos de forças iguais e opostos, que 
provocam em AS e BS movimentos contrários. 
 
3) Os sistemas se reduzem na seção S a esforços iguais e 
contrários. 
 
4) Os movimentos contrários provocam tensões de tração ou 
compressão na seção considerada. 
 
N - força normal à seção considerada 
 
NS ( A S ) - soma algébrica das forças normais à seção S no trecho 
AS. 
 
 33 
Q - força paralela à seção considerada. Tende a cortar a estrutura 
na seção considerada. 
 
QS ( A S ) - soma algébrica das forças paralelas à seção S no 
trecho AS. 
 
MS ( A S ) - soma algébrica dos momentos relativos ao trecho AS. 
 
 
8.1 - Esforços Solicitantes - Efeito dos Esforços Externos 
 
 
Os valores de N, Q e M, dependem da seção considerada. 
 
(N) - esforço normal a seção S. Pode ser de tração ou compressão. 
Soma algébricas das projeções. 
 
(Q) - esforço paralelo à seção S. Tende a deslocar a seção, cortar 
a seção. Soma algébricas das projeções. 
 
(M) - momento f letor - soma algébrica dos momentos produzidos 
pelas forças que atuam de um lado ou de outro da seção 
considerada. 
 
Convenção de sinais: 
 
 
 
(N) 
 
 
 
 
 
(Q) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(M) 
 
 
 
 
 34 
8.2 - Diagrama de Esforços Solicitantes 
 
 
Ao traçarmos os diagramas de M, N e Q, obtemos: 
 
1) Conjunto de valores de cada esforço solicitante, nas diversas 
seções consideradas da estrutura. 
 
2) Visão geral de como está sendo solicitada a estrutura. 
 
 
8.3 - Relações Diferenciais 
 
 
Vamos supor uma barra reta qualquer. 
 
 
 
 
 
Consideremos o elemento inf initesimal da barra, compreendido 
entre as seções transversais CC e C’C’, de abscissas x e (x + dx), 
contadas de uma origem qualquer 0. 
 
Atuando sobre esse elemento encontram-se além da carga 
distribuída p = f (x) - constante no trecho dx, os esforços N,Q e M 
correspondentes à ação da parte retirada à esquerda do elemento 
e os esforços (N + dN), (Q + dQ) e (M + dM) correspondentes à 
ação da parte retirada à direita do elemento. 
 
Vamos aplicar as equações de equil íbrio: 
 
 
 H = 0  
0dN0NdNN 
 
 
 V = 0  
p
dx
dQ
dxpdQ0dxpdQQQ 
 
 
 MG’ = 0  
0dM
2
dx
pdxQ0dMM
2
dx
dxpMdxQ
2

 
 35 
Desprezando-se o elemento inf initesimal de 2 a ordem, temos: 
 
p
dx
dQ
dx
Md
Q
dx
dM
dMdxQ
2
2

 
 
Observações: 
 
1) dN = 0  N é constante, a carga é perpendicular ao eixo da 
barra ou é nula. 
 
 
 
 
2) Se p = 0 (carga concentrada)  Q é constante e o momento 
f letor varia l inearmente, segundo uma reta do t ipo ax + b. 
 
3) Se p = constante (carga uniformemente distribuída)  o 
diagrama de Q é linear  
tetancons
dx
dQ

 e o diagrama de M é 
uma parábola do 2o grau ax2 + bx + c. 
 
4) Se p = f (x) (carga triangular ou trapezoidal)  o diagrama de Q 
é uma parábola do 2o grau e o diagrama de M é uma curva do 3 o 
grau. 
 
5) Se Q = 0  Momento f letor é máximo ou mínimo onde a força 
cortante se anulou. 
 
6) Se o diagrama de Q sofre descontinuidade (passa de positivo 
para negativo ou vice-versa)  o diagrama de M apresenta um 
ponto anguloso. Neste caso, o momento f letor M passa de 
crescente a decrescente ou vice -versa. Nestaseção, o momento 
atinge a um máximo ou mínimo. 
 
7) No traçado do diagrama de M, a concavidade da curva é sempre 
voltada para a carga. 
 
 
 
 
 36 
8) No caso do diagrama de Q, vai depender do carregamento.