Lista03 numeros e funcoes

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 Números e Funções - Lista 3
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1. Exercícios 3.1 a 3.11 do livro de Números e Funções do PROFMAT (páginas 45 e
46)
2. Mostre que o número de elementos de um conjunto finito é o mesmo, seja qual for a
contagem que se adote. Isto significa que se f : Im → X e g : In → X são bijeções
então m = n.
3. Todo subconjunto Y de um conjunto finito X é finito e n(Y ) 6= n(X). Tem-se que
n(Y ) = n(X) somente quando Y = X.
4. Se X e Y são finitos, então X ∪ Y é finito e tem-se n(X ∪ Y ) = n(X) + n(Y ) =
n(X ∩ Y ).
5. Sejam X e Y conjuntos finitos. Se n(X) > n(Y ), nenhuma função f : X → Y é
injetiva e nenhuma função g : Y → X é sobrejetiva.
6. Seja f : A → B uma função. Prove que f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ), quaisquer que
sejam X, Y ⊂ A. Dê um exemplo em que f(X ∩ Y ) 6= f(X) ∩ f(Y ).
7. Seja f : A → B uma função injetiva, mostre que f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y ) para
quaisquer que sejam X, Y ⊂ A. Indique claramente em que ponto da demonstração
no item anterior você usou a hipótese de injetividade.
8. Seja f : [a, b] → [f(a), f(b)] uma função bijetiva, onde [a, b] e [f(a), f(b)] são
intervalos de números reais. Considere ainda que x1, x2 ∈ [a, b] e y1, y2 números
reais positivos. Mostre que existe um único c ∈ [a, b] tal que
f(x1)y1 + f(x2)y2 = f(c)(y1 + y2).
9. Sejam f : X → Y e g : Y → X duas funções. Defina as compostas f ◦ g e g ◦ f .
Prove que
(i) Se g ◦ f é injetiva, então f é injetiva.
(ii) Se f ◦ g é sobrejetiva, então f é sobrejetiva.
10. Seja f : R → R uma função real tal que f(x) > 0 para todo x ∈ R e suponha que
f satisfaz
f(x+ y) = f(x).f(y) ∀x, y ∈ R.
(i) Mostre que f(0) = 1 e f(−x) = 1
f(x)
, para todo x ∈ R.
(ii) Mostre que f(nx) = f(x)n para quaisquer n ∈ Z e x ∈ R.
(iii) Estendendo o que foi provado no item (ii), prove que, para todo =
p
q
∈ Q,
temos f(rx) = f(x)r, para todo x ∈ R.
11. Se I ⊂ R é um intervalo, então uma função contínua f : I → R é dita estritamente
convexa se, para quaisquer x, y ∈ I, com x 6= y, temos que f(x+ y
2
) <
f(x) + f(y)
2
.
Prove que f : (0, +∞)→ R, definida por f(x) = 1
x
é estritamente convexa.
ii