T5 Princípios de Comunicações AM

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Universidade Federal do Acre 
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Bacharelado em Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
Sander Bryan Felicio da Cruz Brito 
 
 
 
 
MODULADOR DE LEI QUADRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio Branco 
2016 
1 
 
Sander Bryan Felicio da Cruz Brito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODULADOR DE LEI QUADRÁTICA 
 
 
Relatório apresentado ao Prof. Dr. Roger F. L. Chávez 
Como requisito parcial para a obtenção da nota da 
Disciplina de Princípios de Comunicações. 
 
 
 
 
Rio Branco 
2016 
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SUMÁRIO 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 3 
2. OBJETIVOS ................................................................................................................................. 5 
3. MARCO TEÓRICO..................................................................................................................... 6 
4. MATERIAIS E MÉTODOS ........................................................................................................ 9 
4.1. CIRCUITO FÍSICO ............................................................................................................... 9 
4.2. SIMULAÇÃO ...................................................................................................................... 15 
5. APLICAÇÕES, EXEMPLOS E IMPLEMENTAÇÕES ......................................................... 18 
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................................... 20 
7. BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
Telecomunicações é um dos ramos abarcados pela Engenharia Elétrica. Nesse ramo, há 
muitos aspectos consideráveis, como os sistemas de comunicação, seus parâmetros e 
características. [2] Dentro desse estudo, o presente trabalho vem destacar um fator determinante 
na facilitação de transmissão de informação num dado sistema de comunicação: esse fator é a 
modulação. [1] 
A modulação pode ser “definida como o processo pelo qual alguma característica da 
onda portadora é variada de acordo com o sinal contendo a informação” [1]. Uma dessas 
características que podem ser alteradas é a amplitude da onda – do inglês, Modulação em 
Amplitude, AM [1]. 
Assim, variando a amplitude de uma onda a qual denominamos portadora, será possível 
transmitir de modo mais adequado uma determinada mensagem. Para que tal processo se 
concretize, são necessárias operações e implementações simples – o que talvez denote uma 
grande vantagem deste tipo de tecnologia. [1] 
Um exemplo de sinal modulado em amplitude pode ser observado na Figura 1.1. 
 
Figura 1.1 – Sinal Modulado em Amplitude 
Fonte: Haykin, 2008, p.118 
O primeiro sinal modulado em amplitude foi transmitido em 1901 por um engenheiro 
canadense chamado Reginald Fessenden. Ele tomou uma transmissão contínua de ignição e 
colocou um microfone de carbono numa antena. Assim, as ondas sonoras que têm impacto 
sobre o microfone fizeram variar a sua resistência e, por sua vez, esta variou a intensidade da 
transmissão. Embora muito bruto e com ruídos intensos, foram sinais audíveis ao longo de uma 
distância de algumas centenas de metros. [3] 
4 
 
Com a introdução de sinais de ondas senoidais contínuas, as transmissões melhoraram 
significativamente, e a modulação por amplitude logo se tornou o padrão para transmissões de 
voz. Hoje em dia, este tipo de modulação é usado para transmissão de áudio sobre as faixas de 
ondas curtas médio e longo, e para a comunicação de rádio bidirecional em VHF para as 
aeronaves. No entanto, como há agora mais eficiente e métodos convenientes de modular um 
sinal, a sua utilização está a diminuir, embora ainda será muito muitos anos antes que ele não é 
mais usado. [3] 
Ainda assim, muitas são as possibilidades de uso desta ferramenta. Tantas que uma 
análise completa seria algo extenso, enfadonho e cansativo. [1,2] Dadas as requisições deste 
trabalho, o escopo deter-se-á sobre aplicações em circuitos simples, que caracterizam processos 
de modulação extremamente elementares, mas de uma didática essencial no aprendizado 
discente. [2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. OBJETIVOS 
 
Este trabalho tem por finalidade apresentar uma solução ao Problema 3.4 do livro de 
Haykin (2008, p.125-126), bem como propor a implementação de um detector de envelope de 
modulação por amplitude. Essa solução envolve a confecção de um circuito físico para análise 
real, bem como uma discussão dos resultados e questões envolvidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. MARCO TEÓRICO 
 
Dentro do estudo das modulações em amplitude, há alguns parâmetros matemáticos que 
devem ser padronizados e levados em consideração no nosso estudo. Primeiro, a definição da 
onda portadora senoidal, que é dada por 
𝑐(𝑡) = 𝐴𝑐 cos(2𝜋𝑓𝑐𝑡) 
onde “𝐴𝑐 é a amplitude da portadora e 𝑓𝑐 é a frequência da portadora” [1]. 
Já o sinal modulado em amplitude pode ser descrito como: 
𝑠(𝑡) = 𝐴𝑐[1 + 𝑘𝑎𝑚(𝑡)] cos(2𝜋𝑓𝑐𝑡) 
na qual 𝑚(𝑡) é o “sinal de mensagem” “que contém a informação” e “𝑘𝑎 é a constante de 
sensibilidade de amplitude do modulador responsável pela geração do sinal modulado” [1]. 
Vale ressaltar que essa descrição dá-se no domínio do tempo, que, no entanto, não é o 
único onde a análise pode ser feita. Outro domínio cuja análise é bastante proveitosa á no 
domínio da frequência da Modulação em Amplitude. Essa análise pode ser feita através da 
conversão teórica simples da Transformada de Fourier (e implementada no uso prático de 
diversos modos). [1] 
O espectro de frequência do sinal modulado é dado por: 
𝑆(𝑓) =
𝐴𝑐
2
[𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐)] +
𝑘𝑎𝐴𝑐
2
[𝑀(𝑓 − 𝑓𝑐) + 𝑀(𝑓 + 𝑓𝑐)] 
onde 𝑀(𝑓) é a transformada de Fourier do sinal de mensagem 𝑚(𝑡). [1] Esse sinal pode ser 
visto na Figura 3.1. 
 
Figura 3.1 – Sinal genérico modulado em amplitude no domínio da frequência 
Fonte: Haykin, 2008, p.119 
Dadas estas considerações básicas, é possível partir para uma análise teórica mais 
específica sobre o foco desse trabalho. 
“Um modulador de lei quadrática para a geração de uma onda AM é baseado na 
utilização de um dispositivo não linear (por exemplo, um diodo).” A Figura 3.2 a seguir 
apresenta um circuito básico de confecção deste modulador. “Ignorando os termos de alta 
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ordem, a característica de entrada-saída da combinação diodo-carga desta figura é representada 
pela lei quadrática: 
𝑣2(𝑡) = 𝑎1𝑣1(𝑡) + 𝑎2𝑣1
2(𝑡) 
na qual 
𝑣1(𝑡) = 𝐴𝑐 cos(2𝜋𝑓𝑐𝑡) + 𝑚(𝑡) 
é o sinal de entrada, 𝑣2(𝑡) é o sinal de saída desenvolvido na carga resistiva, e 𝑎1 e 𝑎2 são 
constantes.” [1] 
 
Figura 3.2 – Modulador de Lei Quadrática 
Fonte: Haykin, 2008, p.126 
Com este processo, ter-se-ia a onda modulada. 
Porém, se o usuário desejasse obter de volta o sinal original seria necessário um outro 
tratamento, denominado de demodulação. Tão simples de ser implementado quanto o 
modulador, o circuito demodulador (conhecido como detector de envelope) deve obedecer 
alguns critérios básicos. Primeiro, a frequência da portadora deve ser grande se comparada com 
a largura de faixada mensagem. Segundo, o “percentual de modulação da onda AM é menor 
do que 100%”. [1] 
A Figura 3.3 a seguir apresenta um simples circuito detector de envelope, “constituído 
por um diodo e um filtro resistor-capacitor (RC)” [1]. O modo de funcionamento do detector é 
bem simples. “No semi-ciclo positivo do sinal de entrada, o diodo estará diretamente polarizado 
e o capacitor C se carregará rapidamente até atingir o valor de pico do sinal de entrada. Quando 
o sinal de entrada diminui abaixo deste valor, o diodo ficará reversamente polarizado e o 
capacitor C começará a descarregar lentamente através do resistor de carga 𝑅𝑙. O processo de 
descarga continuará até o próximo semi-ciclo positivo. Quando o sinal de entrada se tornar 
maior que a tensão no capacitor, o diodo conduzirá novamente e o processo se repetirá.” [1] 
8 
 
 
Figura 3.3 – Circuito Detector de Envelope 
Fonte: Haykin, 2008, p.127 
Nessa análise há algumas características importantes a serem consideradas. Primeiro, 
“que o diodo é ideal, apresentando uma resistência 𝑟𝑓 ao fluxo de corrente na região e 
polarização direta e resistência infinita na região de polarização reversa. Assumimos, ainda, 
que a onda AM aplicada ao detector de envelope é fornecida por uma fonte de tensão com 
resistência interna 𝑅𝑠. A constante de tempo de carregamento (𝑟𝑓 + 𝑅𝑠)𝐶 deve ser pequena se 
comparada com o período da portadora 1/𝑓𝑐, ou seja, 
(𝑟𝑓 + 𝑅𝑠)𝐶 ≪
1
𝑓𝑐
 
de tal forma que o capacitor C se carrega rapidamente e, portanto, segue a tensão aplicada até 
o pico positivo quando o diodo estiver conduzindo. Por outro lado, a constante de tempo de 
descarga 𝑅𝑙𝐶 deve ser grande o suficiente para garantir que o capacitor se descarregue 
lentamente através do resistor de carga 𝑅𝑙 entre os picos positivos da onda portadora, mas não 
tão grande a ponto da tensão do capacitor não diminuir à máxima taxa de variação da onda 
modulante, ou seja, 
1
𝑓𝑐
≪ 𝑅𝑙𝐶 ≪
1
𝑊
 
na qual W é a largura de faixa da mensagem. O resultado é que a tensão do capacitor, ou a saída 
do detector, é aproximadamente a mesma do envelope da onda AM” [1]. 
Todo esse trabalho teórico foi desenvolvido fisicamente na forma dos circuitos simples 
descritos. 
 
 
 
9 
 
4. MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Para desenvolver esta modulação foram utilizados dois recursos distintos: a simulação 
através do software Proteus, pela plataforma ISIS; e a confecção física do circuito. Ambos os 
desenvolvimentos serão apresentados nesta seção, e devidamente explanados e comentados. 
4.1.CIRCUITO FÍSICO 
O primeiro passo foi montar os circuitos envolvidos no processo. São três circuitos 
básicos: o modulador apresentado na Figura 3.2; o detector de envelope da figura 3.3; e um 
filtro passa faixa apropriado. O filtro escolhido foi um simples filtro RLC, conforme á 
apresentado na Figura 4.1 a seguir. 
 
Figura 4.1 – Filtro RLC em paralelo 
Fonte: Disponível em <http://cursos.tecmilenio.edu.mx/cursos/at8q3ozr5p/prof/ey/ey09001/ 
anexos/explica19.htm>. Acessado em 13 Ago. 2016. Editado 
Quanto aos materiais escolhidos, tinha-se: 
(a) Para o Modulador: 𝑅 = 10𝑘Ω 𝑒 𝐷𝑖𝑜𝑑𝑜 𝐼𝑁4007 
(b) Para o Filtro: 𝐿 = 1.565𝑚𝐻; 𝐶 = 2𝑛𝐹; 𝑅 = 10𝑘Ω 
(c) Para o Demodulador: 𝑅 = 21𝑘Ω 𝑒 𝐶 = 29,5𝑛𝐹 
Também foram utilizados um osciloscópio para medição e dois geradores de sinais, e 
outros componentes elementares, como jumpers e protoboard. 
Logo num primeiro momento, assim que os circuitos foram montados, foi percebida 
uma limitação: dependendo da frequência utilizada, se fosse muito alta, o diodo não iria 
reconhecer os picos e seria incapaz de efetuar os cortes quando estivesse reversamente 
polarizado. Portanto, o primeiro ponto foi escolher uma frequência baixa para a portadora, e 
mais baixo ainda para o sinal de mensagem. 
10 
 
Outra limitação era o fato de que, tendo frequência baixa, a modulação resultou numa 
amplitude mais baixa ainda – baixa o suficiente para não conseguir polarizar diretamente o 
diodo da saída. Desse modo, era preciso amplificar o sinal sem no entanto mudar a forma de 
onda. 
A solução encontrada foi usar um amplificador operacional LM741 em configuração 
inversora, conforme mostra a Figura 4.2. Nela, foram escolhidos os seguintes valores para as 
resistências: 𝑅1 = 1𝑘Ω 𝑒 𝑅2 = 30𝑘Ω. 
 
Figura 4.2 – Amplificador Operacional genérico em configuração inversora 
Fonte: Jaeger (2011, p.553) 
Discriminados os materiais e corrigidos os erros, foram montados os quatro circuitos, 
sendo que a saída do modulador era a entrada do filtro, e a saída deste era a entrada do 
amplificador, e a saída este a entrada do demodulador. O resultado desta “construção” pode ser 
visto na fotografia apresentada na Figura 4.3. 
Com tudo operando em ordem, foi escolhida a portadora senoidal apresentada na Figura 
4.4, com amplitude de aproximadamente 10 Volts e frequência de 8,56 KHz. As mensagem 
escolhidas foram a onda senoidal da Figura 4.5, a triangular da Figura 4.6 e a quadrada da 
Figura 4.7. Todas as mensagens estão com amplitude na faixa dos 4 Volts e a frequência por 
volta de 85 Hz. 
Os sinais modulados vem em seguida, nas Figuras 4.8, 4.9 e 4.10, para as ondas senoidal, 
triangular e quadrada, respectivamente. 
 
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Figura 4.3 – Fotografia dos circuitos utilizados no experimento 
Fonte: Acervo particular 
 
Figura 4.4 – Onda portadora vista no osciloscópio 
Fonte: Acervo Particular 
12 
 
 
Figura 4.5 – Onda de mensagem senoidal 
Fonte: Acervo Particular 
 
Figura 4.6 – Onda de mensagem triangular 
Fonte: Acervo Particular 
13 
 
 
Figura 4.7 – Onda de mensagem quadrada 
Fonte: Acervo Particular 
 
Figura 4.8 – Onda senoidal modulada 
Fonte: Acervo Particular 
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Figura 4.9 – Onda triangular modulada 
Fonte: Acervo Particular 
 
Figura 4.10 – Onda quadrada modulada 
Fonte: Acervo Particular 
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Para completar a análise, os sinais foram demodulados. Por problemas técnicos, não 
foi possível apresentar as fotos da demodulação dos sinais triangular e quadrado. Mas segue, 
na Figura 4.11, o sinal quadrado demodulado. 
 
Figura 4.11 – Onda quadrada demodulada 
Fonte: Acervo Particular 
4.2.SIMULAÇÃO 
Para aferir o desenvolvimento físico foi realizada uma simulação no software Proteus, 
através da Plataforma ISIS. Na simulação foram consideradas as mesmas questões anteriores, 
porém de modo mais simples, para evitar redundâncias em algo que deve ser por natureza mais 
elementar. 
O equivalente circuito simulado pode ser visto na Figura 4.12. Para não repetir todas as 
figuras mostradas anteriormente, seguem apenas as três ondas moduladas: a senoidal na Figura 
4.13, a triangular na Figura 4.14 e a quadrada na Figura 4.15. 
 
 
16 
 
 
 
Figura 4.12 – Circuito Equivalente em Simulação 
Fonte: Acervo Particular 
 
Figura 4.13 – Onda senoidal modulada 
Fonte: Acervo Particular 
 
17 
 
 
Figura 4.14 – Onda triangular modulada 
Fonte: Acervo Particular 
 
Figura 4.10 – Onda quadrada modulada 
Fonte: Acervo Particular 
 
 
 
 
 
 
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5. APLICAÇÕES, EXEMPLOS E IMPLEMENTAÇÕES 
 
A Modulação em Amplitude é frequentemente denominada como uma forma de 
modulação usada para transmissões de rádio em aplicações de radiocomunicações 
bidirecionais. Apesar de ser uma das primeiras formas de modulação utilizadas na história, 
ainda continua sendo utilizada hoje, principalmente para transmissões de ondas longas, médias 
e curtas e algumas comunicações ponto a ponto na aeronáutica. E existem muitas combinações 
possíveis para alcançar os efeitosdesejados nesse tipo de modulação. [3] 
Dentre todos, este trabalho deteve-se sobre o modulador de lei quadrática. Este, por sua 
vez, consiste em algumas características básicas: é composto por um dispositivo não linear, um 
filtro passa faixa, uma fonte de onda portadora e outra do sinal modulante (mensagem). [5] 
No entanto, não há uma única maneira de se confeccionar este tipo de aplicação. Podem 
ser destacadas três formas básicas de implementação. Primeiro, é o modulador a diodo, a qual 
esse trabalho se refere [1], e que pôde ser visto na Figura 3.2 na seção de Marco Teórico. 
Também tem-se o modulador quadrático a FET, que igualmente executa o produto entre 
os sinais de entrada, tendo “um filtro passa-faixa na saída sintonizado na frequência de 
portadora” [6]. Seus esquemático pode ser visto na Figura 5.1. 
 
Figura 5.1 – Modulador Quadrático a FET 
Fonte: Barcelos (Sem data, p.19) 
Por fim, tem-se o modulador a TBJ, cujo “princípio de funcionamento baseia-se no 
aproveitamento da região quadrática contida na curva característica de entrada de um transistor 
em emissor comum, que é exponencial” [6]. A Figura 5.2 apresenta um esquemático simples 
desse tipo de circuito. 
19 
 
 
Figura 5.2 – Modulador Quadrático a TBJ 
Fonte: Barcelos (Sem data, p.23) 
É importante ressaltar que o estudo destes dois últimos moduladores a transistor não foi 
aprofundado, tendo em vista a especificidade da requisição, baseado no exemplo do livro de 
Haykin, conforme já esclarecido anteriormente. De todo modo, é válido que se comente acerca 
de mais meios de realizar tais processos, tendo em vista a extensão considerável deste conteúdo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Pelo que se pôde notar dos sinais, a confecção física, apesar da simplicidade, foi 
extremamente satisfatória, e também coerente com o resultado da simulação. E, sobretudo, 
coerente com a teoria estudada. Há, porém, algumas considerações importantes a ser feitas. 
De acordo com o que foi estudado, o sinal modulado é dado pela seguinte equação 
𝑆(𝑓) =
𝐴𝑐
2
[𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐)] +
𝑘𝑎𝐴𝑐
2
[𝑀(𝑓 − 𝑓𝑐) + 𝑀(𝑓 + 𝑓𝑐)] 
 Se substituirmos os valores de acordo com o que tem-se nas figuras tiradas das coletas 
dos osciloscópios, tem-se: 
𝑆(𝑓) =
1
2
[𝛿(𝑓 − 85000) + 𝛿(𝑓 + 85000)] +
𝑘𝑎
2
[𝑀(𝑓 − 85000) + 𝑀(𝑓 + 85000)] 
 O fator 𝑘𝑎 pode ser determinado da seguinte relação 
𝜇 = 𝑘𝑎𝐴𝑚 
onde 
𝜇 =
𝐴𝑚á𝑥 − 𝐴𝑚í𝑛
𝐴𝑚á𝑥 + 𝐴𝑚í𝑛
 
Tomando como referência a onda quadrada (cujos valores são mais fáceis de 
determinar), tem-se que: 
𝜇 =
100𝑚𝑉 − (−90𝑚𝑉)
100𝑚𝑉 + (−90𝑚𝑉)
= 19 
Ainda da primeira equação, vale que, através das identidades trigonométricas 
𝑆(𝑓) =
1
2
𝐴𝑐[𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐)] +
1
4
𝜇𝐴𝑐[𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚)]
+
1
4
𝜇𝐴𝑐[𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚)] 
Sendo 𝑓𝑐 = 85𝑘𝐻𝑧 e 𝑓𝑚 = 85𝐻𝑧, o conteúdo espectral do sinal modulado estará 
presente em nas seguintes frequências: ±85𝑘𝐻𝑧, ±85.085𝐻𝑧 𝑒 ± 84.915 𝐻𝑧. 
 
21 
 
7. BIBLIOGRAFIA 
 
[1] HAYKIN & MOHER. Introdução aos sistemas de comunicação [recurso eletrônico]. 
Tradução: Gustavo Guimarães Parma. 2.ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. p.116-128. 
[2] LATHI, B. P. Modern digital and analog communication systems [recurso eletrônico]. 
3.ed. New York: Oxford University Press, 1998. p.1-3. 
[3] Amplitude Modulation. Disponível em < http://www.electronics-radio.com/articles/radio/ 
modulation/amplitude-modulation-am.php> Acessado em 11 Ago. 2016. 
[4] JAEGER, Richard C. e BLALOCK, Travis N. Microeletronic circuit design. 4.ed. New 
York: McGraw-Hill, 2011. p.553. 
[5] Explain the Generation of AM Waves using Square Law Modulator and Switching 
Modulator. 28 Nov. 2015. Sítio Electronics Posts. Disponível em <http://electronicspost.com/ 
explain-the-generation-of-am-waves-using-square-law-modulator-and-switching-modulator/> 
Acessado em 12 Ago. 2016. 
[6] BARCELOS, Arlei Fonseca. Aula de Modulação AM [recurso digital]. Associação 
Educacional Dom Bosco – Engenharia Eletrônica. Disponível em <http://www.ebah.com.br/ 
content/ABAAAfccsAG/modulacao-am?part=2#>. Acessado em 12 Ago. 2016. p.19-24. 
[7] Análisis de circuitos eléctricos – Tema 19: Respuesta a la frecuencia. Disponível em 
<http://cursos.tecmilenio.edu.mx/cursos/at8q3ozr5p/prof/ey/ey09001/ anexos/explica19.htm>. 
Acessado em 13 Ago. 2016.