Exercícios Logarítmo e Exponencial

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Lista 8 de Aritme´tica e A´lgebra Elementares
(Func¸a˜o logar´ıtmica, equac¸o˜es e inequac¸o˜es)
13 de junho de 2012
1. Simplifique:
a) 32+log2 3 b) 42 log4 5 c) 5− log5 3 d) 22−log2 3
2. A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, e´ um nu´mero que
varia de I = 0 ate´ I = 8, 9 (para o maior terremoto conhecido). I e´ dado pela
fo´rmula:
I =
2
3
log10
E
E0
sendo E a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7×10−3KWh.
a) Qual e´ a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto na escala Richter,
por quanto fica multiplicada a energia liberada?
3. Os bio´logos dizem que ha´ uma alometria entre duas varia´veis x e y quando
e´ poss´ıvel determinar duas constantes, c e k, de maneira que y = cxk. Nos
casos de alometria, pode ser conveniente determinar c e k por meio de dados
experimentais. Consideremos uma experieˆncia hipote´tica na qual se obtiveram
dos dados da tabela:
x y
2 16
20 40
Supondo que haja uma relac¸a˜o de alometria entre x e y e considerando
log10 2 = 0, 301, calcule o valor de k.
4. Resolva:
a) log2(3x+ 1) = 4
b) log3(x
2 + 3x− 1) = 2
c) log2[1 + log3(1− 2x)] = 2
5. Resolva as seguintes equac¸o˜es logar´ıtmicas.
a) log(x+ 2) + log(3− x) = log(5x+ 1) g) log2(log3 x) = 2
b) log x− log(x− 1) = log 2 h) (log x)2 − 3 log x+ 2 = 0
c) log(x2 − 1) + log 3 = log(2x2 + 5x− 9) i) log2 x+ logx 2 = 2
d) log3(x+ 2)− log3(x− 2) = 1 j) x3 = 100xlog x
e) log(x− 1) = log(2x+ 3) k) 2log2 x2 − 4log4 5x = 0
f) logx−1 4 = 2 l) 3
log9(x−3)+log3 4) = 20
6. Resolva os sistemas de equac¸o˜es a seguir.
a)

log x− log y = log 3
x+ 2y = 15
b)

log x− log y = 1
x+ y2 = 24
7. Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es:
a) f(x) = log
√
1− log 2x
b) f(x) =
√
log2(log2(log2 x))
8. Esboc¸ar os gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
a) y = log2(
x
2
) b) y = log2(x+ 2) + 2
9. Resolva as seguintes inequac¸o˜es logar´ıtmicas:
a) log0,3(x
2 − 1) < log0,3 8 g) log5(x2 − x) > log0,2 16
b) log(x2 − 2x+ 1 < 2 h) | log3(x− 3)| ≥ 2
c) log1/3(log x) > 0 i) log
4 x− 5 log2 x+ 4 < 0
d) log2(x− 5) + log2(x− 4) < 1 j) x2−log22 x−log2 x2 >
1
x
e) log1/2(x− 1)− log1/2(x+ 1) < log1/2(x− 2) + 1 k) logx
4x+ 5
6− 5x < −1
f) log1/3(x
2 − 2x) ≥ −1
Algumas respostas:
4. (a) S={5} (b) S = {-5, 2} (c) S={-13}
5.(a) S={1} (b) S = {2} (c) S={2, 3} (d) S={4} (e) S = { } (f) S={3} (g) S =
{81} (h) S={10, 100} (i) S = {2} (j) S={10, 100}
6. (a) S={(9,3)} (b) S = {(20, 2)} 7. (a) S=(0,5] (b) S = [4, +∞)