Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
2 oficina Leitura Fundamental Oficina Matemática Financeira 3 oficina Aula 1 – Noções de Juros e de Porcentagem Leitura Obrigatória (Porcentagem – Taxa de juros – operação sobre mercadoria) • PORCENTAGEM: As porcentagens correspondem a frações com denominadores 100. A idéia de porcentagem é a de representar partes de um total de 100 partes. Daí a leitura do símbolo % ser “por cento”. Assim pode-se dizer, por exemplo, que: 75 partes de 100 partes da superfície da Terra são cobertas por água. (75% da Terra está coberta por água). Ex1.: 32% Ex.2: 5% Ex.3: 144% Definição: Porcentagem é a razão entre duas grandezas e 100 elementos do universo dessa grandeza. Portanto, dizer que o aumento do combustível será de 8%, significa que, a cada R$ 100,00 gastos em combustível haverá um aumento de R$ 8,00. Ex.4: Uma geladeira custa, à vista, R$ 680,00. Se a prazo, tem acréscimo de 5% em seu preço. Se essa geladeira for vendida em 3 prestações, qual o valor de cada prestação? Resolução: 5% de R$ 680,00 O acréscimo será de R$ 34,00. Então R$ 680,00 + R$ 34,00 = R$ 714,00. Como será dividido em 3 prestações: R$ 714,00÷3 = R$ 238,00. O valor de cada prestação será de R$ 238,00. ASSISTA A VIDEOAULA 1 = 32100 = 0,32 = 5100 = 0,05 4 oficina ou ( ) Ex.5: Suponha que o salário de uma secretária é R$ 840,00 e passou para R$ 966,00. Qual foi o percentual de aumento? Resolução: ⇒=− 126840966 R$ 126,00 foi o aumento salarial. % ou aumento de 15% Ex.6: Se um determinado produto custa R$ 600,00, e quer-se um aumento de 120%, qual o novo preço desse produto? Resolução: 120% de R$ 600,00 O aumento será de R$ 720,00. Então R$ 600,00 + R$ 720,00 = R$ 1320,00. O valor do produto passará a ser de R$ 1320,00. ou ( 7206002,2 =⋅ ) Atividades 01. Uma cidade interiorana, no ano de 2000, tinha uma população de 1.500 milhões de habitantes. Essa mesma cidade, no ano 2010, apresentou uma população de 6.000 milhões. A taxa de crescimento dessa população, no período de 1990 a 2000, em termos percentuais, foi: a) 400% b) 300% c) 200% d) 25% = 144100 = 1,44 1,05 ⋅680 = 714⇒ 714 ÷ 3= 238 126 840 = 0,15 = 15 100 = 15 966 840 = 1,15→ 1,2 ⋅600 = 720 5 oficina 02. Uma bicicleta custa R$ 450,00 para pagamento a prazo. Se o pagamento for à vista, terá um desconto de 8%. Qual é o valor da bicicleta à vista? a) R$ 442,00 b) R$ 414,00 c) R$ 400,00 d) R$ 486,00 Respostas das Atividades 01) d 02) c 03) a Aula 2 – Noções de Juros Simples Leitura Obrigatória • JUROS SIMPLES: Quando o valor a ser pago por um empréstimo é calculado apenas sobre o capital inicial, que se mantém constante durante todo o período da transação, trabalha-se com juros simples. Chama-se de juros simples (j) a remuneração de um capital (C), aplicado a uma taxa (i), por um período de tempo (t). Pode-se daqui retirar as seguintes fórmulas: tiCj ⋅⋅= , e )1( tiCM ⋅+⋅= , onde montante (M) é a soma dos juros mais o capital inicial. ASSISTA A VIDEOAULA 2 6 oficina A taxa de juros é uma taxa percentual que representa o valor dos juros a ser pago ao final de um período de tempo. Ex.1: Um investidor aplicou R$1.000,00 no Banco ABC, pelo prazo de 4 anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano (a.a.), no regime de juros simples. Calcule o valor do saldo credor desse investidor no final de cada um dos quatro anos da operação. Resolução: Ano Saldo no início do ano Juros do ano Saldo no final do ano antes do pagamento Pagamento do ano Saldo no final do ano após o pagamento 1 1.000,00 8% x 1.000 = 80 1.080,00 0,00 1.080,00 2 1.080,00 8% x 1.000 = 80 1.160,00 0,00 1.160,00 3 1.160,00 8% x 1.000 = 80 1.240,00 0,00 1.240,00 4 1.240,00 8% x 1.000 = 80 1.320,00 1.320,00 0,00 8% de R$ 1000,00 = R$ 80,00 ( ) de juros ao ano, como são 4 anos ( ), tem-se R$ 320,00 de juros em 4 anos. Saldo no final de 4 anos: R$ 1.320,00. Ou Logo: R$ 1.000,00 + R$ 320,00 = R$ 1320,00 Ou Saldo no final de 4 anos: R$ 1.320,00. EX.2: Um capital de R$ 400,00 foi aplicado à taxa de 5% ao mês no sistema de juros simples. Qual será o saldo no final de 3 meses de aplicação? 0,08 ⋅1.000 = 80 80 ⋅4 = 320 j = C ⋅ i ⋅ t j = 1.000 ⋅0,08 ⋅4 j = 320 M = C ⋅(1+ i ⋅ t) M = 1.000 ⋅(1+ 0,08 ⋅4) M = 1.000 ⋅(1+ 0,32) M = 1.000 ⋅1,32 M = 1.320 7 oficina Resolução: 5% de 400,00 = 20,00 Juros de R$ 20,00 ao mês, em 3 meses: ( ) R$ 60,00 Saldo no final dos 3 meses: 400 + 60 = R$ 460,00 Ou Saldo no final dos 3 meses: 400 + 60 = R$ 460,00 Ou Calcule o montante de um capital de R$ 4.000,00 empregado durante dois anos e 6 meses, à taxa de 1,5% ao mês (a.m.): Resolução: 1,5% de 4.000,00 = 60,00 ( ) de juros ao mês, como são 30 meses ( ), temos R$ 1800,00 de juros em 2 anos e 6 meses (ou 30 meses), portanto o saldo no final deste período é de R$ 5800,00. Portanto o saldo no final deste período é de R$ 5800,00. Atividades 01. Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado por 4 meses a uma taxa de 4% ao mês no sistema de juros simples. Usando essa informação, complete a tabela e responda quanto terá no final da aplicação. 60203 =⋅ j = C ⋅ i ⋅ t j = 400 ⋅0,05 ⋅3 j = 60 M = C ⋅(1+ i ⋅ t) M = 400 ⋅(1+ 0,05 ⋅3) M = 400 ⋅(1+ 0,15) M = 400 ⋅1,15 M = 460 M = C ⋅(1+ i ⋅ t) M = 4000 ⋅(1+ 0,015 ⋅30) M = 4000 ⋅(1+ 0,45) M = 4000 ⋅1,45 M = 5800 0,015 ⋅4000 = 60 60 ⋅30 = 1800 8 oficina Mês Juros do mês 1 2 3 4 a) O investidor terá R$ 1.740,00 e a tabela ficará assim: mês Juros do mês 1 60,00 2 60,00 3 60,00 4 60,00 b) O investidor terá R$ 1.567,49 e a tabela ficará assim: mês Juros do mês 1 60,00 2 62,40 3 64,90 4 67,49 c) O investidor terá R$ 2.100,00 e a tabela ficará assim: mês Juros do mês 1 60,00 2 120,00 3 180,00 4 240,00 d) nenhuma das alternativas corretas. 02. Um capital de R$ 150,00, aplicado no sistema de juros simples, produziu um montante de R$ 162,00 após 4 meses de aplicação. Qual foi a taxa de juros? 9 oficina a) 4% ao mês b) 2% ao mês c) 6% ao mês d) 8% ao mês Respostas das Atividades 01) a 02) b Aula 3 – Noções de Juros Compostos Leitura Obrigatória • JUROS COMPOSTOS: Juros compostos são aqueles pagos sobre juros já vencidos. Os juros compostos (jc) são calculados sobre um montante (M) cada vez maior. Isso ocorre porque eles incidem sobre um capital (C) que já incorporou outros juros. Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros. Por esse motivo, seu resultado será sempre maior que o dos juros simples. Essa modalidade é a mais usada para juros. A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa etc. Raramente encontra-se uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Pode-se utilizar a fórmula para juros compostos, com a taxa de juros fixa: ASSISTA A VIDEOAULA 3 10 oficina tiCM )1( +⋅= , onde: M = montante C = capital inicial i = taxa de juros t = tempo Ex.1:(volta-se ao ex.1 do juros simples da aula anterior) Um investidor aplicou R$1.000,00 no Banco ABC, pelo prazo de 4 anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano (a.a.), no regime de juros compostos. Calcule o valor do saldo credor desse investidor no final de cada um dos quatro anos da operação. Resolução: Ano Saldo no início do ano Juros do ano Saldo no final do ano antes do pagamento Pagamento do ano Saldo no final do ano após o pagamento 1 1.000,00 8% x 1.000 = 80 1.080,00 0,00 1.080,00 2 1.080,00 8% x 1.080 = 86,40 1.166,40 0,00 1.166,40 3 1.166,40 8% x 1.166,40 =93,31 1.259,71 0,00 1.259,71 4 1.259,71 8% x 1.259,71 = 100,78 1.360,49 1.360,49 0,00 Utilizando a formula, tem-se o montante final após os 4 anos de investimento: Logo, no final dos 4 anos, o investidor terá R$ 1.360,49 OBSERVAÇÃO: Como calcular o montante para um tempo muito grande? Por exemplo: pode ser encontrado facilmente por meio de uma tabela financeira, no final de qualquer livro de matemática financeira ou, mais facilmente ainda, com auxilio de uma calculadora que tenha exponencial nY . _____________________________________________________________________ M = C ⋅(1+ i)t M = 1000 ⋅(1+ 0,08)4 M = 1000 ⋅(1,08)4 M = 1000 ⋅1,36049 M = 1360,49 t = 500 i = 2% M = C ⋅(1+ 0,02)500 M = C ⋅(1,02)500 1,02( )500 11 oficina Ex.2: Um poupador depositou R$ 30.000,00 na poupança. Com juros de 0,6% ao mês, qual será seu saldo ao final de 3 meses? Resolução: 1º mês: 0,6% de 30.000 = R$ 1800,00 (juros) + R$ 30.000,00 (saldo inicial) = R$ 30.180,00 2º mês: 0,6% de 30.180 = R$ 181,08 (juros) + R$ 30.180,00 (saldo no inicio do mês) = R$ 30.361,08 3º mês: 0,6% de 30.361,08 = R$ 182,17 (juros) + R$ 30.361,08 (saldo no inicio do mês) = R$ 30.543,25 Logo, ao final do 3º mês o poupador terá R$ 30.543,25. Ou Ex.3: Determine o valor, após 3 meses, de uma aplicação na poupança de R$ 10.000,00, submetida aos seguintes índices: Mês Janeiro Fevereiro Março Poupança (%) 0,99 0,91 0,88 Resolução: 1º mês: 0,99% de 10.000 0,99 100 = 0,0099 2º mês: 0,91% de R$ 10.099,00 0,91 100 = 0,0091 0,0091⋅10.099 = 91,90⇒10.099 + 91,90 = R$10.190,90 3º mês: 0,88% de R$ 10.190,90 0,88 100 = 0,0088 0,0088 ⋅10.190,90 = 89,68⇒10.190,90 + 89,68 = R$10.280,58 Logo, o valor a ser resgatado após 3 meses será de R$ 10.280,58. M = C ⋅(1+ i)t M = 30.000 ⋅(1+ 0,006)3 M = 30.000 ⋅(1,006)3 M = 30.000 ⋅1,0181082 M = 30.543,25 0,0099 ⋅10.000 = 99,00⇒10.000 + 99,00 = R$10.099,00 12 oficina Atividades 01. Um investidor fez um depósito inicial de R$ 80.000,00, com juros compostos, a uma taxa de 20% ao ano. Qual foi o montante disponível ao término de quatro anos? E qual foi o total dos juros da aplicação? a) montante = R$ 96.000,00; juros = R$ 16.000,00 b) montante = R$ 144.000,00; juros = R$ 64.000,00 c) montante = R$ 165.888,00; juros = R$ 85.888,00 d) montante = R$ 80.020,00; juros = R$ 20,00 02. Um agente financeiro emprestou R$ 25.000,00 a serem pagos após quatro meses à taxa de juros 3,5% ao mês. Qual é o juro recebido nessa operação. Considerando o regime de capitalização composto? a) R$ 3.500,00 b) R$ 3.688,07 c) R$ 8.750,00 d) R$ 875,00 Respostas das Atividades 01) c 02) b 13 oficina Aula 4 – Taxas Equivalentes Leitura Obrigatória (Taxas equivalentes – taxas efetivas – taxas nominais – taxa real) • TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital (PV) durante o mesmo período de tempo, por meio de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final. Chama-se de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao capital. Veja: Seja o capital (PV) aplicado por um ano a uma taxa anual ia. O montante FV ao final do período de 1 ano será igual a FV = PV x (1 + ia) 1, ou seja, FV = PV x (1 + ia). Considere agora o mesmo capital (PV) aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im . O montante FV’, ao final do período de 12 meses, será igual a FV’ = PV x (1 + im) 12. Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deve-se ter FV = FV’. Portanto, PV x (1 + ia) = PV x (1 + im) 12 Daí, conclui-se que 12)1(1 ma ii +=+ Com esta fórmula, pode-se calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida. ASSISTA A VIDEOAULA 4 14 oficina Ex.1: Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? Resolução: Um ano = dois semestres, então se tem: 1 + ia = (1 + is) 2 Logo, a taxa anual é de 16,64% (16,64% a.a.). Para concluir: uma taxa semestral de 8% equivale a uma taxa anual de 16,64%. Ex.2: Qual é a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? Resolução: Portanto, a taxa anual é de 6,17% (6,17% a.a.). Ex.3: Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia. Resolução: Portanto, a taxa mensal é de 6,18% ao mês. 1+ ia = (1+ is )2 1+ ia = (1+ 0,08)2 1+ ia = (1,08)2 ia = 1,1664 −1 ia = 0,1664 ia = 16,64% 1+ ia = (1+ im )12 1+ ia = (1+ 0,005)12 1+ ia = (1,005)12 ia = 1,06167 −1 ia = 0,06167 ia = 6,17% 1+ im = (1+ id )30 1+ im = (1+ 0,002)30 1+ im = (1,002)30 im = 1,0618 −1 im = 0,0618 im = 6,18% 15 oficina • TAXAS NOMINAIS: A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. A taxa nominal é sempre referenciada ao ano, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. Alguns exemplos: a) 12% ao ano com capitalização diária. b) 150% ao ano com capitalização mensal. c) 30% ao ano com capitalização trimestral. A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos. Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples. Dos exemplos anteriores: a) 12% ao ano com capitalização diária. b) 150% ao ano com capitalização mensal. c) 30% ao ano com capitalização trimestral. Deve-se, então, abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cálculos financeiros, no regime de juros compostos, com os valores das taxas efetivas correspondentes, ou seja, dos exemplos, 0,033% ao dia, 12,5% ao mês e 7,5% ao trimestre. 12%.a.a. 365dias = 0,033%.a.d. 150%.a.a. 12meses = 12,5%.a.m. 30%.a.a. 4trimestres = 7,5%.a.t. 16 oficina Ex.1: Uma taxa de 15% a.a., com capitalização mensal, terá 16.08% a.a. como taxa efetiva. Resolução: Ex.2: Calcule a taxa efetiva anual que é equivalente a uma taxa nominal de 9% ao ano, com capitalização trimestral: Resolução: Logo, se tem 9,31% de taxa efetiva anual. • TAXAS EFETIVAS: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: a) 140% ao mês com capitalização mensal. b) 250% ao semestre com capitalização semestral. c) 1250% ao ano com capitalização anual. 15%.a.a. 12meses = 1,25%.a.m. 1+ ia = (1+ im )12 1+ ia = (1+ 0,0125)12 1+ ia = (1,0125)12 ia = 1,1608 −1 ia = 0,1608 ia = 16,08% 9%.a.a. 4.trimestres = 2,25%a.t. 17 oficina • TAXA REAL: Taxa real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. Existe uma relação entre a taxa efetiva, a taxa real e o índice de inflação no período. Veja: )1()1(1 infiii trtf +⋅+=+ Onde, Ex.: Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo de 6% a.a.. Sabendo quea taxa de inflação no período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa aplicação. Resolução: Logo, o ganho real dessa aplicação é de 1% ao ano. Atividades 01. Qual a taxa mensal de juros referentes a uma taxa anual de 144%? a) 7,68% ao mês. b) 6,68% ao mês. itf → taxa_ efetiva itr→ taxa_ real iinf→ taxa_ inf lação_ período iif = 6% = 0,06 itr = 4,9% = 0,049 iinf = ? 1+ itf = (1+ itr ) ⋅(1+ iinf ) 1+ 0,06 = (1+ 0,049) ⋅(1+ iinf ) 1,06 = (1,049) ⋅(1+ iinf ) (1+ iinf ) = 1,06 1,049 (1+ iinf ) = 1,01 iinf = 1,01−1 iinf = 0,01= 1%.a.a. 18 oficina c) 1,44% ao mês. d) 7,08% ao mês. 02. Certa categoria profissional obteve reajuste salarial de 7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de 10%, determine o valor do reajuste real. a) 2,8% ao ano. b) 10% ao ano. c) - 2,8% ao ano. d) - 7% ao ano. Respostas das Atividades 01) a 02) c Aula 5 – Fluxo de Caixa e Amortização Leitura Obrigatória • FLUXO DE CAIXA: DEFINIÇÃO: é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Serve para demonstrar graficamente as transações financeiras. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidade e custos de operações financeiras, e no estudo da viabilidade econômica de projetos e investimentos. A representação do fluxo de caixa pode ser feita por meio de tabelas e quadros, ou esquematicamente, como mostrado abaixo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As ASSISTA A VIDEOAULA 5 19 oficina entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico: 150 450 VF = 100 VP = 100 0 1 2 3 4 5 250 350 Onde: VP é o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. • VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO (movimentação financeira): Na fórmula tiCM )1( +⋅= , o capital inicial ou principal C é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value). Então essa fórmula pode ser escrita como: Isolando PV na fórmula tem-se: Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV. Com esta mesma fórmula, pode-se (+$) (+$) (+$) (-$) (-$) FV = PV ⋅(1+ i)t PV = FV(1+ i)t 20 oficina calcular o valor futuro a partir do valor presente. Ex.: Ao se aplicar R$1.500,00 a 2% ao mês ,quanto se terá daqui a 12 meses? Resolução: Logo, se terá R$ 1.902,36 após 12 meses de aplicação. • SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO: A indisponibilidade de recursos para fazer um investimento leva o indivíduo a contrair um empréstimo. E, para sanar este compromisso, pode-se recorrer a diversas formas de pagamento, que recebem o nome de Sistema de Amortização. Amortização é um processo financeiro pelo qual uma obrigação (ou o principal) é sanada progressivamente por meio de pagamentos periódicos, de tal forma que, ao término do prazo estipulado, o débito seja liquidado. Amortização também pode ser entendida como um processo de extinção de uma dívida por meio de pagamentos periódicos que são realizados em função de um planejamento. Deste modo, cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor. Ou seja, em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor. Existem vários sistemas de amortização. A seguir, serão apresentados dois dos mais difundidos sistemas de amortizações no mercado e no sistema bancário: Sistema de Amortização Constante (SAC) e Sistema de Amortização Progressivo (SAP, PRICE, ou Sistema Francês). 1- SAC (Sistema de Amortização Constante) Pode ser definido como um sistema de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressões aritméticas, em que o valor da prestação é composto de uma parcela de juros uniformemente decrescente, além de uma parcela de amortização que FV = PV ⋅(1+ i)t FV = 1500 ⋅(1+ 0,02)12 FV = 1500 ⋅(1,02)12 FV = 1500 ⋅1,26824 FV = 1902,36 21 oficina permanece constante. O sistema bancário utiliza esse sistema, geralmente, para empréstimos de longo prazo. 2- SAP (Sistema de Amortização Progressivo) ou Sistema Price ou Sistema Francês de Amortização Também conhecido como “Sistema de Prestações Constantes” ou “Tabela Price“, recebeu esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a teoria de juro composto às amortizações de empréstimo. O nome de Sistema de Amortização Francês dá-se pelo fato de que foi utilizado pela primeira vez na França, no século XIX. Esse sistema caracteriza-se pelo pagamento do empréstimo com prestações iguais, periódicas e sucessivas. É utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. As prestações pagas são compostas por uma parcela de juros e outra de amortização. Como as prestações são constantes à medida que a dívida diminui, os juros também diminuem e, conseqüentemente, as quotas de amortização aumentam. Utiliza-se a seguinte fórmula matemática para o cálculo do valor fixo da prestação: onde: P = prestação; PV = valor presente; n = número de prestações; i = taxa de juros. EX.: Considere um determinado financiamento de R$ 10.000,00, em 5 prestações mensais, com juros compostos e efetivos de 2% ao mês nos dois sistemas mencionados: Resolução: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 10.000,00 1 2200,00 200,00 2000,00 8000,00 2 2160,00 160,00 2000,00 6000,00 3 2120,00 120,00 2000,00 4000,00 4 2080,00 80,00 2000,00 2000,00 5 2040,00 40,00 2000,00 0,00 Total 10.600,00 600,00 10.000,00 1) Cálculo da amortização = divisão entre o valor presente e o número de prestações 2000 5 10000 ==oAmortizaçã 2) Prestação = soma da amortização com os juros do mês atual. 1º mês: 22002002000 =+ 2º mês: E assim por diante ... P = PV ⋅ (1+ i) n ⋅ i (1+ i)n −1 2000 +160 = 2160 22 oficina 3) Cálculo dos juros = saldo devedor do mês anterior multiplicado por 2%. 1º mês: 2º mês: E assim por diante ... 4) Cálculo do saldo devedor = subtração entre o valor presente e a amortização. 1º mês: 2º mês: E assim por diante... E assim é possível montar a tabela acima. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA (SAP) Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 10.000,00 1 2121,58 200,00 1921,58 8078,42 2 2121,58 161,57 1960,01 6118,41 3 2121,58 122,37 1999,21 4119,20 4 2121,58 82,38 2039,20 2080,00 5 2121,58 41,60 2079,98 0,00 Total 10.607,90 607,92 10.000,00 1) Cálculo dos juros = saldo devedor do mês anterior multiplicado por 2%. 1º mês: 2º mês: E assim por diante ... 2) Cálculo da amortização = subtração entre o valor da prestação e os juros. 1º mês: 2º mês: E assim por diante ... 3) Cálculo do saldo devedor = subtração entre o saldo devedor do mês anterior e a amortização do período em questão. 10000 ⋅0,02 = 200,00 8000 ⋅0,02 = 160 P = PV ⋅ (1+ i) n ⋅ i (1+ i)n −1 P = 10000 ⋅ (1+ 0,02) 5 ⋅0,02 (1+ 0,02)5 −1 P = 10000 ⋅1,1040808 ⋅0,021,1040808 −1 P = 10000 ⋅ 0,02208160,1040808 P = 10000 ⋅0,212158 P = 2121,58 10000 ⋅0,02 = 200,00 8078,42 ⋅0,02 = 161,57 2121,58 − 200 = 1921,58 2121,58 −161,57 = 1960,01 23 oficina 1º mês: 2º mês: E assim por diante... Assim é possível montar a tabela acima. OBSERVAÇÃO: Note que, no sistema PRICE as prestações são constantes,e calculadas segundo uma série uniforme de pagamentos: todas cinco no mesmo valor. O valor amortizado é crescente ao longo do tempo, ao contrário dos juros, que decrescem proporcionalmente ao saldo devedor. Normalmente, este sistema é utilizado para financiamentos de carros, eletrodomésticos, empréstimos bancários de curto prazo, etc... Por sua vez, no SAC, verifica-se um comportamento constante no valor das amortizações, e decrescente no valor das prestações, assim como nos juros. O sistema SAC é relativamente prático, e não necessita do uso de calculadoras financeiras para sua implementação: basta dividir o saldo devedor inicial pelo número de prestações para, a partir daí, montar a planilha. O SAC é amplamente utilizado para financiamentos bancários de longo prazo de imóveis, especialmente os da Caixa Federal. Para concluir, há alguma vantagem em utilizar um sistema em detrimento do outro? Na verdade, não. Se, por um lado, no SAC inicia-se pagando prestações maiores que as do Price, por outro, elas diminuem com o tempo. O total de juros pagos, apesar de, no exemplo dado, ser maior no Price, é praticamente o mesmo que no SAC. Depende, portanto, tão somente do planejamento financeiro de quem paga e, naturalmente, da conivência de quem empresta. E da combinação entre as duas partes... Atividades 01. Elabore uma tabela de pagamento, com base no S.A.C (Sistema de amortização constante), para pagar um empréstimo de R$1.500,00 à taxa de 10% a.m, em 5 pagamentos. 02. Construa a tabela PRICE de financiamentos de um parcelamento envolvendo a quantia de R$ 30.000,00, divididos em 12 parcelas a juros mensais de 1,5%. Respostas das Atividades 01. Mês Prestação Juros Amortização Saldo devedor 1.500,00 1 450,00 150,00 300,00 1.200,00 2 420,00 120,00 300,00 900,00 10000 −1921,58 = 8078,42 8078,42 −1960,01= 6118,41 24 oficina 3 390,00 90,00 300,00 600,00 4 360,00 60,00 300,00 300,00 5 330,00 30,00 300,00 0,00 Total 1.950,00 450,00 1.500,00 - 2. Mês Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 30.000,00 1 2.750,40 450,00 2.300,40 27.699,60 2 2.750,40 415,49 2.334,91 25.364,69 3 2.750,40 380,47 2.369,93 22.994,76 4 2.750,40 344,92 2.405,48 20.589,28 5 2.750,40 308,84 2.441,56 18.147,72 6 2.750,40 272,22 2.478,18 1.669,54 7 2.750,40 235,04 2.515,36 13.154,18 8 2.750,40 197,31 2.553,09 10.601,09 9 2.750,40 159,02 2.591,38 8.009,71 10 2.750,40 120,15 2.630,25 5.379,46 11 2.750,40 80,69 2.669,71 2.709,75 12 2.750,40 40,65 2.709,75 0,00 Total 33.004,80 3.004,80 30.000,00 - Referências Bibliográficas DANTE. Tudo é Matemática – 9º ANO. Ed. Ática, 2009. PUCCINI, Abelardo da Lima. Matemática Financeira - objetiva e aplicada. – Ed. Saraiva. SILVEIRA, Ênio e MARQUES, Cláudio. Matemática, Compreensão e Prática – 9º ANO. Ed. Moderna. Links Interessantes Acesse o site Só Matemática. Disponível em: www.somatematica.com.br. Acesso em 23 Fev. 2012. Acesse o site Mundo Educação. Disponível em: <mundoeducacao.uol.com.br>. Acesso em 23 Fev. 2012. Veja o site Matemática Didática. Disponível em: <www.matematicadidatica.com.br>. Acesso em 23 Fev. 2012. 25 oficina Aula 6 – Uso da Calculadora HP12C Leitura Obrigatória Aviso importante: antes de iniciar a aula, deve-se deixar claro que o objetivo deste curso não é ensinar os conceitos básicos de uso da HP 12C, como por exemplo o conceito de Reverse Polish Notation (RPN) – Notação Reversa Polonesa. Assume-se que o aluno já tenha conhecimento básico do uso dessa calculadora. Recomenda-se, para aqueles que não estão habituados ao uso dessa calculadora, que estudem o manual antes (existem diversos sites que disponibilizam gratuitamente este manual). A melhor maneira de aprender a usar a parte financeira da HP 12C é com exemplos. Serão dados, na sequência, diversos exemplos explicativos, bem como um pouco de teoria de matemática financeira. Para iniciar, alguns exemplos simples: Obs: antes de começar os cálculos na HP, recomenda-se limpar todos os registros que podem estar embutidos nela. Para isso: Tecle f (tecla amarela) e a seguir CLX: Usa-se também, acertar o número de casas decimais antes dos cálculos. Para isso: Tecle f, e depois o número de casas que se deseja. Normalmente usa-se 2 casas decimais. Portanto tecle f e a seguir 2. Feito isso, já se pode começar: Ex. 1: Uma pessoa faz uma aplicação de R$ 6.000,00 num banco, com taxa de juros efetivos de 0,7% 26 oficina ao mês. Que valor a aplicação terá depois de um ano (12 meses)? O PRESENT VALUE (PV) – valor presente ou valor atual é de R$ 6.000,00. Tecle 6000 – CHS – PV (a pessoa teoricamente desembolsou R$ 6000,00, então, do ponto de vista do fluxo de caixa, este valor deve ser negativo. Por isso tecla-se CHS – que significa Change Signal). Na sequência, introduza a taxa de juros: (juros em inglês se escreve como interest – daí o porquê da letra i) 0,7 e a seguir tecle i. Depois coloque o número de meses, no caso: tecle 12 e a seguir n. Pronto, a HP já tem os dados necessários para descobrir o FUTURE VALUE (FV) - valor futuro. Agora tecle FV: e no visor aparecerá o valor que a pessoa terá no banco após 12 meses de aplicação. 27 oficina Fácil não? Veja outro exemplo: Ex. 2: Uma pessoa fez um empréstimo num banco, no valor de R$ 8.000,00, com taxa de juros efetivos de 1,4% ao mês, e vai pagar em 12 parcelas fixas. Qual o valor de cada parcela? Entre com o valor de R$ 8.000,00 (agora positivo pois a pessoa recebeu esse dinheiro) e tecle PV. A seguir entre com a taxa de juros: E depois com o número de parcelas que ela vai pagar: Neste caso, obviamente queremos que o valor futuro (FV) seja “0” já que a pessoa quer quitar toda a dívida. Se não avisar a HP que o FV deverá ser “0”, ela assumirá este valor, ou seja, não há necessidade de colocar FV = 0. Para descobrir o valor de cada parcela, basta clicar em PMT (Periodic Payment) . Pronto, aparecerá no visor, o valor de cada parcela (aparecerá negativo porque a pessoa terá que desembolsar este valor). 28 oficina Veja outro exemplo: Ex. 3: Uma pessoa pode pagar uma parcela fixa de R$ 1.000,00 durante 12 meses. Sabendo que o banco cobra uma taxa de juros efetivos de 1% ao mês, que valor ela pode pegar emprestado do banco? Se quiser visualizar este fluxo de caixa, ele seria assim: Tecle Entre com o valor da parcela PMT = - 1000,00 (pois a pessoa desembolsará esse valor mensalmente) A seguir entre com a taxa de juros: Agora, com o número de parcelas: E agora tecle PV: E, então, o valor que a pessoa pegará emprestado do banco aparecerá no visor. 29 oficina Ou seja, ela poderá pegar R$ 11.255,08 emprestado do banco. Ex. 4: Um banco oferece uma taxa efetiva de 0,9% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule o valor do depósito mensal necessário para acumular um valor de R$ 15.000,00 no final de 1 ano, imediatamente após o 12º depósito. Veja o fluxo de caixa: Tecle: A seguir tecle o número de parcelas: Na sequência, tecle o Future Value (FV): Agora tecle a taxa de juros: 30 oficina E agora tecle PMT: Pronto! No visor aparecerá o valor que a pessoa terá que depositar todo mês para acumular R$ 15.000,00 ao fim de 1 ano. Ou seja, a pessoa terá que depositar R$ 1.189,33 todo mês para ter R$ 15.000,00 ao fim de 1 ano. Algumas observações finais: Obs1: a ordem em que se coloca os dados não tem influência no cálculo do valor desejado. Obs2: a HP tem, por padrão, trabalhar com juros compostos. Obs3: a HP tem por padrão trabalhar com séries “postecipadas”, ou seja, as capitalizações ocorrem ao término do período e não no início. Caso queira trabalhar com séries “antecipadas”, o visor deve apresentar a palavra “BEGIN”. Para isto,tecle: Deve aparecer no visor a palavra BEGIN Para apagar a palavra BEGIN, tecle: Para melhor entender o que significa série postecipada ou antecipada, veja mais um exemplo: Ex. 5: Suponha que uma pessoa vá comprar um produto de R$ 5.000,00, dividido em 6 parcelas, com juros efetivos de 1,2% ao mês, ”dando uma entrada”. O fato de dar ou não uma entrada é que 31 oficina determina se a série será antecipada ou postecipada. Caso ela dê uma entrada, se diz que a série é antecipada. E aí, deve-se fazer aparecer a palavra BEGIN no visor da HP. Veja a solução: Comprador dando entrada: Tecle: Agora tecle: Deve aparecer no visor a palavra BEGIN. Agora introduza o valor presente (PV): Agora introduza o número de parcelas: Agora a taxa de juros: Agora devemos descobrir qual o valor de cada parcela: Tecle PMT: 32 oficina Pronto, aparecerá no visor o valor de cada parcela: Ou seja, o comprador terá que pagar 1 entrada de 858,38 e + 5 parcelas de mesmo valor. Agora faça o cálculo se o comprador “NÃO” der entrada. Tecle: Façamos desaparecer a palavra BEGIN: Tecle: E agora fazemos novamente a mesma coisa: Introduza o valor presente (PV): Agora introduza o número de parcelas: Agora a taxa de juros: 33 oficina Agora devemos descobrir qual o valor de cada parcela: Tecle PMT: Pronto, aparecerá no visor o valor de cada parcela: Ou seja, o comprador terá que pagar 1 entrada de 858,38 e + 5 parcelas de mesmo valor. Agora faça o cálculo se o comprador “NÃO” der entrada. Tecle: Façamos desaparecer a palavra BEGIN: Tecle: E agora fazemos novamente a mesma coisa: Introduza o valor presente (PV): Agora introduza o número de parcelas: Agora a taxa de juros: 34 oficina Agora deve-se descobrir qual o valor de cada parcela: Tecle PMT: Pronto, aparecerá no visor o valor de cada parcela: Ou seja, caso o comprador NÃO dê uma entrada, ele terá que pagar 6 parcelas de 868,68. Atividades Obs: Todas essas atividades devem ser resolvidas utilizando a HP 12C. 1) Uma pessoa faz uma aplicação de R$ 15.000,00 num banco, com taxa de juros efetivos de 0,5% ao mês. Qual valor ela terá depois de 6 meses? 2) Uma pessoa fez um empréstimo num banco, no valor de R$ 6.000,00, com taxa de juros efetivos de 1,2% ao mês, e vai pagar em 8 parcelas fixas. Qual será o valor de cada parcela? 3) Uma pessoa pode pagar uma parcela fixa de R$ 800,00 durante 10 meses. Sabendo que o banco cobra uma taxa de juros efetivos de 1,6% ao mês, qual valor ela poderá pegar emprestado do banco? 4) Um banco oferece uma taxa efetiva de 0,7% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule o valor do depósito mensal necessário para acumular um valor de R$ 20.000,00 no final de 2 anos, imediatamente após o 24º depósito. 5) Suponha que uma pessoa vá comprar um produto de R$ 4500,00, dividido em 12 parcelas, com juros efetivos de 0,9% ao mês, ”dando uma entrada”. Calcule o valor de cada parcela. 6) Suponha que uma pessoa vá comprar um produto de R$ 4.500,00, dividido em 12 parcelas, com juros efetivos de 0,9% ao mês, ”sem dar uma entrada”. 35 oficina 1) 2) Respostas das Atividades 36 oficina 3) 4) 37 oficina 5) 38 oficina Referências Bibliográficas DANTE. Tudo é Matemática – 9º ANO. Ed. Ática, 2009. PUCCINI, Abelardo da Lima. Matemática Financeira - objetiva e aplicada. – Ed. Saraiva. SILVEIRA, Ênio e MARQUES, Cláudio. Matemática, Compreensão e Prática. 9º ANO. Ed. Moderna. Manual da Calculadora HP 12 C. Links Interessantes Acesse o site do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá. Disponível em: http://www.dma.uem.br/kit/matfin/calc_hp12c.htm. Acesso em 23 Fev. 2012. Navegue pelo site da HP. Disponível em: http://www.hp.com/latam/br/produtos/calculadoras/12c.html. Acesso em 23 Fev. 2012. Leia o Guia do Usuário da calculadora financeira HP 12c. Disponível em: http://www.pontoxp.com/ tutoriais/hp12c/HP_12C_Manual.pdf. Acesso em 23 Fev. 2012. Baixe alguns emuladores, programas que simulam uma HP 12C, no seu computador. Disponíveis em: <http://www.superdownloads.com.br/download/51/emulador-da-calculadora-financeira-hp-12c/> e <http://www.baixaki.com.br/download/finanx-fx12c.htm>. Acesso em 23 Fev. 2012. Assista a vídeos tutoriais no Youtube. Disponíveis em: <http://www.youtube.com/ watch?v=8wvVsoxNaZ4> e <http://www.youtube.com/watch?v=uiJ7WMYh_ps>. Acesso em 23 Fev. 2012. 39 oficina Aula 7 – O Uso do programa EXCEL na Matemática Leitura Obrigatória Aviso importante: antes de iniciar esta aula, deve-se deixar claro que este curso não pretende ensinar os conceitos básicos de EXCEL como, por exemplo, formatar células, definir bordas, alterar altura de linhas etc... Assume-se que o aluno já tenha conhecimento básico do uso desse software. Caso o aluno não tenha conhecimentos básicos de EXCEL, recomenda-se que ele estude antes os diversos tutoriais existentes na internet. Nesta aula, será mostrado como fazer alguns cálculos financeiros “na raça” e também usando as funções financeiras que o EXCEL disponibiliza. Para isto, serão usados, a título de comparação, os mesmos exemplos dados na aula 6. Para começar, um exemplo simples (ex.1 da aula 6): Ex. 1: Uma pessoa faz uma aplicação de R$ 6.000,00 num banco, com taxa de juros efetivos de 0,7% ao mês. Que valor terá depois de um ano (12 meses)? Abra uma planilha EXCEL, e introduza os valores, como mostra a figura abaixo: A seguir, introduza as fórmulas necessárias para fazer o cálculo da quantia após 12 meses. A figura 40 oficina abaixo mostra a planilha com as fórmulas: Como foi dito anteriormente, espera-se que o aluno tenha os conhecimentos de arrastar e soltar, para não precisar digitar todas essas fórmulas (os alunos não habituados ao uso de planilhas deve antes tomar conhecimento desses recursos em tutoriais ou manuais do Excel). Feito isso, aparecerá na célula G16 o valor atualizado após 12 meses de aplicação. Repare que este valor coincide com o cálculo feito na HP 12 C na aula anterior. Você fará agora o mesmo cálculo, mas usando uma função financeira disponível no Excel: Abra uma planilha e coloque os valores (em células quaisquer): 41 oficina Agora coloque na célula G5 a função VF. Veja a figura: E se verificar o valor que a célula G5 dará: O valor de R$ 6.523,86 coincide com os valores anteriores. Faça agora o ex. 2 da aula anterior. Novamente, será feito “na raça” e depois será utilizada uma função financeira do Excel. Ex. 2: Uma pessoa fez um empréstimo num banco, no valor de R$ 8.000,00, com taxa de juros efetivos de 1,4% ao mês, e vai pagar em 12 parcelas fixas. Qual o valor de cada parcela? 42 oficina Abra uma planilha e coloque os valores como mostra a figura abaixo: Agora coloque as fórmulas necessárias (não se preocupe ainda com o valor da célula E6). Deixe o valor “0” propositadamente. Daqui a pouco isso será alterado. 43 oficina E teremos os valores: Repare que ao se pagar parcelas de “0”, tem-se, no final, uma dívida de R$ 9.452,47. Agora aumente o valor dos pagamentos para R$ 500,00 e acompanhe a célula F17, para ver se ela se anula. Veja a figura a seguir: 44 oficina Ainda resta uma dívida de R$ 2.968,22. Aumente o valor dos pagamentos para R$ 800,00 e veja o que acontece: Agora pague mais do que deve (sobraram R$ 922,33) Se prestar atenção, o que se quer saber é: Qual deve ser o valor da célula E6, para que a célula F17 se anule? Então use uma função do Excel chamada “Atingir meta”. Ela se encontra na aba “Dados” – “Teste de Hipóteses” – “Atingir meta”. Clique na célula F17 e a seguir clique na aba “Dados” – depois “Teste de Hipóteses” e “Atingir meta”.Aparecerá a janela: 45 oficina Definir célula F17, para valor: “0” Alternando a célula E6 Quando clicar em OK, aparecerá o valor das parcelas de modo a anular a célula F17. Veja a figura a seguir: E com isso descobra o valor das parcelas (R$ 728,88) que coincide com o cálculo feito pela HP 12C na aula anterior. Este método utilizado foi o da “força bruta”. Ele é muito útil para se entender os procedimentos usados nos cálculos financeiros. 46 oficina Use agora uma função financeira do Excel que fornecerá o valor das parcelas de uma maneira mais rápida. Abra uma planilha e coloque estes valores: Agora na célula G3 coloque a função: =PGTO (taxa;n;vp) Veja como fica a planilha: E ela fornecerá o valor da parcela: Você deve estar reparando como as funções financeiras ajudam muito os cálculos. Agora veja o ex. 3 da aula anterior: Ex. 3: Uma pessoa pode pagar uma parcela fixa de R$ 1.000,00 durante 12 meses. Sabendo que o banco cobra uma taxa de juros efetivos de 1% ao mês, que valor ela pode pegar emprestado do banco? Abandone agora a força bruta e utilize somente as funções financeiras do Excel. A intenção destes exemplos foi mostrar que no Excel, pode-se fazer todos os cálculos MANUALMENTE. Use agora a função VP: 47 oficina Abra uma planilha e coloque estes valores: Agora coloque na célula F4 a função VP(taxa;n;pgto). Veja como fica: E agora veja o valor fornecido: R$ 11.255,08, que coincide com o valor calculado pela HP 12C na aula anterior. Veja agora o ex. 4 da aula anterior: Ex. 4: Um banco oferece uma taxa efetiva de 0,9% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule o valor do depósito mensal necessário para acumular um valor de R$ 15.000,00 no final de 1 ano, imediatamente após o 12º depósito. 48 oficina Abra uma planilha e coloque estes valores: Agora na célula C4 coloque a função: =PGTO (taxa;n;vp;vf). Veja como fica: E os valores que aparecerão são: Portanto a pessoa deve depositar R$ 1.189,33 durante 1 ano para acumular R$ 15.000,00 (que coincide com o cálculo da HP 12C feito na aula anterior). Resolva agora o exemplo 5 da aula anterior, usando uma função financeira do Excel. Ex. 5: Suponha que uma pessoa vá comprar um produto de R$ 5.000,00, dividido em 6 parcelas, com juros efetivos de 1,2% ao mês, ”dando uma entrada”. Abra uma planilha e coloque estes conteúdos nas células: 49 oficina Agora clique na célula E4 e digite a função: =PGTO (taxa;n;vp;[vf];[tipo]). Quando algum parâmetro aparece entre colchetes, significa que colocá-lo ou não é optativo. Neste caso: A taxa é de: i = 0,0012. O número de parcelas é: n = 6. O valor presente é: vp = 5000. O valor futuro é: vf = 0 (você quer quitar a dívida toda). E agora vem a novidade: O parâmetro [tipo] indica se haverá ou não uma “entrada”. Existem 2 possibilidades: se você colocar tipo = 0, significa que não haverá uma “entrada”. Já se você colocar tipo = 1, significa que haverá uma “entrada”. Como neste caso o comprador dará uma entrada, então define-se como tipo = 1. Veja como ficará a célula E4: E os valores que aparecerão, são: 50 oficina Ou seja, o comprador terá que dar uma entrada de R$ 858,38 e mais 5 parcelas de mesmo valor. Veja agora o caso em que o comprador não dará uma “entrada”: 6) Suponha que uma pessoa vá comprar um produto de R$ 5.000,00, dividido em 6 parcelas, com juros efetivos de 1,2% ao mês, ”sem dar uma entrada”. Abra uma planilha e coloque estes conteúdos nas células: Agora clique na célula E4 e digite a função: =PGTO (taxa;n;vp;[vf];[tipo]). Neste caso: A taxa é de: i = 0,0012. O número de parcelas é: n = 6. O valor presente é: vp = 5000. O valor futuro é: vf = 0 (vc quer quitar a dívida toda). E agora o parâmetro [tipo] valerá “0” indicando que não haverá uma entrada. Veja como ficará a célula E4: Repare bem, porque a diferença é bastante sutil. Veja bem o final da célula E4. Agora coloque “0” e não “1”. Veja como ficam os valores agora: 51 oficina Ou seja, o comprador terá que pagar 6 parcelas iguais de R$ 868,68, mas sem dar “entrada”. Para finalizar, é importante enfatizar que o Excel possui muitas outras funções financeiras, algumas que fogem do objetivo deste curso. Mas, para quem quiser se aprofundar mais, existem diversos tutoriais na internet e o aluno também pode contar com a ajuda do próprio Excel, sempre clicando no botão: ou apertando o famoso “F1 Caso ele queira ajuda em alguma função específica, ele pode também clicar numa célula qualquer, digitar = e depois clicar no botão: Aparecerá, então, uma janela explicando cada uma das diversas funções do Excel: E depois basta verificar os parâmetros da função e exemplos de onde elas podem ser utilizadas. 52 oficina Termina aqui o curso de Matemática Financeira, em que foi visto alguns conceitos, dentre eles: Juros simples, juros compostos, noções de fluxo de caixa, taxas equivalentes, conceito de amortização e como usar as duas ferramentas mais importantes da matemática financeira: a HP 12C e o Excel. Agora é com você. Bons estudos e muita aplicação!!! Referências Bibliográficas CINTO, Antonio Fernando.Excel Avançado. Editora Novatec. DANTE. Tudo é Matemática – 9º ANO. Ed. Ática, 2009. GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. Editora Prentice Hall Brasil. MATOS, Luis e AURELIOLINKS, Daniel. Aprenda Excel: sem Fazer Esforço! Editora Digerati Books. PUCCINI, Abelardo da Lima. Matemática Financeira - objetiva e aplicada. – Ed. Saraiva. SILVEIRA, Ênio e MARQUES, Cláudio. Matemática, Compreensão e Prática. 9º ANO. Ed. Moderna. Links Interessantes Acesse o site Wikipedia. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_financeira. Acesso em 23 Fev. 2012. Assista a vídeos sobre o uso do Excel na Matemática Financeira no Youtube. Disponíveis em: <http:// www.youtube.com/watch?v=diuXvEXjbB0>. <http://www.youtube.com/watch?v=b2gcFSBy3aY&feature=related>. Acesso em 23 Fev. 2012.
Compartilhar