Dimensionamento de vigas - flexão normal e cisalhamento Aula 25 UFERSA

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23/10/2012 
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AULA 25 
Dimensionamento de vigas – 
Flexão normal e Cisalhamento 
 
 
Estrutura de Concreto Armado I 
Dados 
 
L1 
L2 
L3 L4 
P1 P2 P3 P4 
P5 
P6 
P7 
P8 
P9 P10 P11 
V -01 
V
 -
0
2
 
V
 -
0
3
 
V -04 
V -05 
V
 -
0
6
 
V -08 
V
 -
0
7
 
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Dados 
 
P1 P2 P3 P4 
V -01 
V
 -
0
2
 
V
 -
0
3
 
V -04 
V -05 
V
 -
0
6
 
V -08 
V
 -
0
7
 
Pré-dimensionamento da Viga 
 H = L/12 = 4,50/12= 0,38 cm = 40 cm 
 Largura 15 cm, largura da alvenaria 
 Classe de Agressividade = C 1 
 Cobrimento 25 mm 
 Concreto C 25 
 Aço CA 50 
 Apoios 18 cm pilares 
 Vão 1º trecho 396 cm (face) 414 (eixo) 
 Vão 2º trecho 450 cm (face) 468 (eixo) 
 Vão 3º trecho 442 cm (face) 460 (eixo) 
 
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Ações na Viga 1º trecho 
 Peso próprio = 0,15 x 0,50 x 25 = 1,88 kN/m 
 Reação Laje = 4,02 kN/m 
 Alvenarias = 2,5 x 0,15 x 13 = 4,88 kN/m 
 Total 10,78 kN/m 
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Laje L1 
L1 
•Vão menor (Lx) = 414 cm 
•Vão maior (Ly) = 480 cm 
•Lambda – (λ=Ly/Lx) = 1.15 > Laje armada 2 direções 
•Caso : 2B 
•Ações (p=5,31 kN/m²) 
•Permanente+Acidental 
•REações nas vigas 
10
95,2 x
x
Lp
V


10
32,4
´ xx
Lp
V


10
83,1 x
y
Lp
V


mkNVx /48,6
10
14,431,595,2



mkN
Lp
V xx /50,9
10
32,4
´ 


mkN
Lp
V xy /02,4
10
83,1



Ações na Viga 2º e 3º trechos 
 Peso próprio = 0,15 x 0,50 x 25 = 1,88 kN/m 
 Reação Laje = 8,92 kN/m 
 Alvenarias = 2,5 x 0,15 x 13 = 4,88 kN/m 
 Total 15,68 kN/m 
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Análise Estrutural 
Cálculo dos Diagramas 
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Cálculo dos Diagramas 
Geometria da Seção 
 Diâmetros estimados para as barras 
 ϕt= 6,3 mm 
 ϕL= 20 mm 
 
 d’ = 3 + 0,63 + 2/2= 4,63 cm 
 d= h-d’=40-4,63=35,37cm 
 
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Esforços de projeto - Momentos 
 Momento Mk,(1+)= 12,60 kNm 
 Momento Mk,(1e2-)= -24,00 kNm 
 Momento Mk,(2+)= 13,10 kNm 
 Momento Mk,(2e3-)= -36,10 kNm 
 Momento Mk,(3+)= 25,40 kNm 
 Md=γf x Mk= 
 
 
Esforços de projeto - Momentos 
 Momento Md,(1+)= 1,4x12,60=17,64 kNm 
 Momento Md,(1e2-)= 1,4x24,00 =33,60kNm 
 Momento Md,(2+)= 1,4x13,10= 18,34 kNm 
 Momento Md,(2e3-)= 1,4x36,10 =50,40kNm 
 Momento Md,(3+)= 1,4x25,40=35,56 kNm 
 
 
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Esforços de projeto - Momentos 
 Cortante Vk,eixo(1+)=16,5 kN 
 Cortante Vk,eixo(1-)= -28,1 kN 
 Cortante Vk,eixo(2+)= 34,1 kN 
 Cortante Vk,eixo(2-)= -39,3 kN 
 Cortante Vk,eixo(3+)= 43,9 kN 
 Cortante Vk,eixo(3-)= 28,2 kN 
 
 Vd=γf x Vk 
 
 
Esforços de projeto - Momentos 
 Cortante Vd,eixo(1+)=1,4x16,5=23,10 kN 
 Cortante Vd,eixo(1-)= 1,4x28,1= 39,34 kN 
 Cortante Vd,eixo(2+)=1,4x 34,1= 47,74 kN 
 Cortante Vd,eixo(2-)= 1,4x39,3 = 55,02 kN 
 Cortante Vd,eixo(3+)= 1,4x43,9= 61,46 kN 
 Cortante Vd,eixo(3-)= 1,4x28,2 = 39,48 kN 
 
 
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Verificações 
 Momento limite = 
 Kc,lim=1,8 
 Md,lim= bd²/kc,lim 
 10425,31 kN cm 
 104 kNm 
 
 Md, máx<Md, lim 
Verificações 
 Momento limite =104 kNm OK!!! Armadura Simples 
 Biela resiste? 
 Vrd2= 230,22 kN 
 
 
 
 
 Vsd,face = 61,46 kN 
 
 OK!!! A biela resiste. 
 
 
37,3515
4,1
5,2
)
25
5,2
1(27,027,0 22  dbfV wcdvRd 
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Verificações 
 Momento limite =172 kNm OK!!! Armadura Simples 
 Biela resiste (Vrd2= 230 kN)>(Vsd,face = 46 kN) 
 OK!!! A biela resiste. 
 Vsd,min = força cortante referente a taxa mínima de 
armadura tranversal 
 
 
 
cswsd VVV  min,min,
ywdwswsw fdbV  9,0min,min,  kNVsw 31,215,4337,35159,0
100
1026,0
min, 
kNdbfV wckc 96,8737,35155,209,009,0
3 23 2 
faceVsdNkVsd ,27,109min, 
Verificações Conclusões 
 Momento limite =172 kNm OK!!! Armadura Simples 
 Biela resiste (Vrd2= 295,31 kN)>(Vsd,face = 41,14 kN) 
 OK!!! A biela resiste. 
 Vsd,min = força cortante referente a taxa mínima de 
armadura tranversal OK!!! E a Armadura estribo é a 
mínima para toda viga 
 
 
 
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Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


1764
37,3515 2
63,10ck
24,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²19,1
37,35
1764024,0
cm


Momento Md,(1+)= 17,64 kNm 
Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


1764
37,3515 2
63,10ck
24,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²19,1
37,35
1764024,0
cm


Resulta : 2 ϕ 10.0 usando brita #1 = 
1,57cm² de área efetiva: As,ef 
Momento Md,(1+)= 17,64 kNm 
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Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


3360
37,3515 2
58,5ck
25,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²37,2
37,35
3360025,0
cm


Momento Md,(1e2-) =33,60kNm 
Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


3360
37,3515 2
58,5ck
25,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²37,2
37,35
3360025,0
cm


Resulta : 2 ϕ 12.5 usando brita #1 = 
2,45cm² de área efetiva: As,ef 
Momento Md,(1e2-)=33,60kNm 
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Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


1834
37,3515 2
23,10ck
24,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²24,1
37,35
1834024,0
cm


Momento Md,(2+)= 18,34 kNm 
Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


1834
37,3515 2
63,10ck
24,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²24,1
37,35
1834024,0
cm


Resulta : 2 ϕ 10.0 usando brita #1 = 
1,57cm² de área efetiva: As,ef 
Momento Md,(2+)= 18,34 kNm 
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Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


5040
37,3515 2
72,3ck
25,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²56,3
37,35
5040025,0
cm


Momento Md,(2e3-) =50,40kNm 
Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


5040
37,3515 2
73,3ck
25,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²56,3
37,35
5040025,0
cm


Resulta : 3 ϕ 12.5 usando brita #1 = 
3,68cm² de área efetiva: As,ef 
Momento Md,(2e3-) =50,40kNm 
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Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


3556
37,3515 2
27,5ck
25,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²51,2
37,35
3556025,0
cm


Momento Md,(3+)= 35,56 kNm 
Dimensionamento 
Flexão 
 
 
 

d
c
M
bd
k
2


3556
37,3515 2
27,5ck
25,0sk
S
ds A
d
Mk
 ²51,2
37,35
3556025,0
cm


Resulta : 3 ϕ 12.5 usando brita #1 = 
3,68cm² de área efetiva: As,ef 
Momento Md,(3+)= 35,56 kNm 
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Dimensionamento ao cortante 
 Como Vsd,face<Vsd,min 
 Toda a viga tem armadura mínima ao corte 
 
 
 
 sw,min em % conforme tabela 
wswsw bmin,min,  
mcmmmsw /²54,1/10539,115,0
100
1026,0 24
min, 

Dimensionamento 
ao cortante 
 Como 
Vsd,face<Vsd,min 
 Toda a viga tem 
armadura mínima ao 
corte 
 
 Duas pernas 
 
 
mcmsw /²54,1min, 
)_(/²77,0
min,
pernasduasmcm
S
Asw

Resulta : ϕ 5.0 a cada 25cm 
Ou ϕ 6.3 a cada 33cm 
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Dimensionamento ao cortante 
Resultado prévio: ϕ 5.0 a cada 25cm 
 Espaçamento máximo e mínimo entre estribos















cm
d
VV
cm
d
VV
scm
Rdsd
Rdsd
20
3,0
67,0
30
6,0
67,0
7
2
2
Vrd2= 230 kN 
Vsd,face= 61 kN 


 

cm
cmd
scm
30
22,216,0
7
 Diâmetro máximo e mínimo da barra do estribo 
 
 
 
 
mmcmbmm wt 155,1)10/15(10/5 
Conclusão: ϕ 5.0 a cada 21cm = Estribo